Câu 81: Cho số phức z có phần ảo khác 0. Điểm nào sau đây biểu diễn số phức z biết số phức z thỏa mãn điều kiện \(\left| {z - \left( {2 + i} \right)} \right| = \sqrt {10} \) và \(z.\overline z = 25?\) A. \({M_2}\left( {3; - 4} \right).\) B. \({M_3}\left( {4; - 3} \right).\) C. \({M_4}\left( {3;4} \right).\) D. \({M_1}\left( {4;3} \right).\) Spoiler: Xem đáp án Đặt \(z = a + bi\,\,\left( {a \in \mathbb{R},b \ne 0} \right).\) Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\left| {z - \left( {2 + i} \right)} \right| = \sqrt {10} \\z.\overrightarrow z = 25\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left| {a + bi - \left( {2 + i} \right)} \right| = \sqrt {10} \\\left( {a + bi} \right)\left( {a - bi} \right) = 25\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {a - 2} \right)^2} + {\left( {b - 1} \right)^2} = 10\\{a^2} + {b^2} = 25\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2{\rm{a}} + b = 10\\{a^2} + {b^2} = 25\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = 3;\,\,b = 4\\a = 5;\,\,b = 0\end{array} \right. \Rightarrow z = 3 + 4i \Rightarrow {M_4}\left( {3;4} \right).\)
Câu 82: Tìm phần thực và phần ảo của số phức \(z = \left( {1 + 3i} \right) - \left( {2 + i} \right).\) A. Phần thực bằng 2, phần ảo bằng \( - 1.\) B. Phần thực bằng \( - 1\), phần ảo bằng \(2i.\) C. Phần thực bằng \( - 1\), phần ảo bằng \(4.\) D. Phần thực bằng \( - 1\), phần ảo bằng \(2.\) Spoiler: Xem đáp án Ta có: \(z = \left( {1 - 2} \right) + \left( {3i - i} \right) = - 1 + 2i.\)
Câu 83: Tìm môđun của số phức z biết \(\overline z \left( {1 + 3i} \right) + 5i = 3.\) A. \(\frac{{\sqrt {85} }}{5}.\) B. \(\frac{{13}}{5}.\) C. \(\frac{{\sqrt {97} }}{5}.\) D. \(\frac{7}{5}.\) Spoiler: Xem đáp án Ta có: \(\overline z \left( {1 + 3i} \right) + 5i = 3 \Leftrightarrow \overline z = \frac{{3 - 5i}}{{1 + 3i}} = - \frac{6}{5} - \frac{7}{5}i \Rightarrow \left| z \right| = \sqrt {{{\left( { - \frac{6}{5}} \right)}^2} + {{\left( { - \frac{7}{5}} \right)}^2}} = \frac{{\sqrt {85} }}{5}.\)
Câu 84: Biết phương trình \({z^2} - 6{\rm{z}} + 25 = 0\) có hai nghiệm là \({z_1}\) và \({z_2}.\) Tính \(\left| {{z_1}} \right| + \left| {{z_2}} \right|.\) A. \(\left| {{z_1}} \right| + \left| {{z_2}} \right| = 6.\) B. \(\left| {{z_1}} \right| + \left| {{z_2}} \right| = 10.\) C. \(\left| {{z_1}} \right| + \left| {{z_2}} \right| = 14.\) D. \(\left| {{z_1}} \right| + \left| {{z_2}} \right| = 5.\) Spoiler: Xem đáp án \(\begin{array}{l}{z^2} - 6{\rm{z}} + 25 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}z = 3 + 4i\\z = 3 - 4i\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{z_1} = 3 + 4i\\{z_2} = 3 - 4i\end{array} \right.\\ \Rightarrow \left| {{z_1}} \right| = \left| {{z_2}} \right| = 5 \Rightarrow \left| {{z_1}} \right| + \left| {{z_2}} \right| = 10.\end{array}\)
Câu 85: Tìm số phức liên hợp của số phức \(z = 2i\left( {5 - i} \right).\) A. \(2 + 10i.\) B. \(2 - 10i.\) C. \( - 2 - 10i.\) D. \( - 2 + 10i.\) Spoiler: Xem đáp án Ta có: \(z = 2i\left( {5 - i} \right) = 2 + 10i \Rightarrow \overline z = 2 - 10i.\)
Câu 86: Xác định tập hợp các điểm M trong mặt phẳng phức biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều kiện \(\left| {{z^2} - {{\left( {\overline z } \right)}^2}} \right| = 4.\) A. Là đường Hyperbol \(\left( {{H_2}} \right):y = - \frac{1}{x}.\) B. Là đường Hyperbol \(\left( {{H_1}} \right):y = \frac{1}{x}.\) C. Là đường tròn tâm O(0;0) bán kính R = 4. D. Là hai đường Hyperbol \(\left( {{H_1}} \right):y = \frac{1}{x}\);\(\left( {{H_2}} \right):y = - \frac{1}{x}.\) Spoiler: Xem đáp án Đặt \(z = x + yi;x,y \in \mathbb{R} \Rightarrow \left| {{{\left( {x + yi} \right)}^2} - {{\left( {x - yi} \right)}^2}} \right| = 4 \Leftrightarrow \left| {4xyi} \right| = 4 \Leftrightarrow 16{x^2}{y^2} = 16 \Rightarrow \left| {xy} \right| = 1\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}xy = 1\\xy = - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}y = \frac{1}{x}\\y = - \frac{1}{y}\end{array} \right.\). Suy ra tập hợp các điểm M biểu diễn số phức z thỏa mãn đề bài là hai đường Hyperbol \(\left( {{H_1}} \right):y = \frac{1}{x};\left( {{H_2}} \right):y = - \frac{1}{x}.\)
Câu 87: Cho ba số phức z1, z2, z3 thỏa mãn \(\left\{ \begin{array}{l}\left| {{z_1}} \right| = \left| {{z_2}} \right| = \left| {{z_3}} \right|\\{z_1} + {z_2} + {z_3} = 1\\{z_1}{z_2}{z_3} = 1\end{array} \right.\). Mệnh đề nào dưới đây đúng? A. Các điểm biểu diễn của z1, z2, z3 lập thành tam giác đều. B. Hệ phương trình trên có nghiệm là hoán vị các phần tử của bộ ba \(\left( {1;i; - i} \right).\) C. Hệ phương trình trên có ngiệm là hoán vị các phần tử của bộ ba \(\left( {1;\frac{1}{{\sqrt 2 }} + \frac{1}{{\sqrt 2 }}i;\frac{1}{{\sqrt 2 }} - \frac{1}{{\sqrt 2 }}i} \right).\) D. Một trong ba số z1, z2, z3 phải bằng 0. Spoiler: Xem đáp án Thử 2 phương án B, C. Ta thấy B là phương án đúng nên không cần xét các phương án còn lại.
Câu 88: Cho các mệnh đề sau: (I) Trên tập hợp các số phức thì phương trình bậc hai luôn có nghiệm. (II) Trên tập hợp các số phức thì số thực âm không có căn bậc hai. (III) Môđun của một số phức là một số phức. (IV) Môđun của một số phức là một số thực dương. Trong bốn mệnh đề trên có bao nhiêu mệnh đề đúng? A. 3 B. 1 C. 4 D. 2 Spoiler: Xem đáp án Các mệnh đề đúng là (I), (III). Chú ý: Môđun của số phức là số thực không âm (số thực cũng là số phức).
Câu 89: Cho số phức \(z = a + bi\left( {a,b \in R} \right)\) thỏa mãn\(z\left( {2i - 3} \right) - 8i.\overline z = - 16 - 15i\). Tính \(S = a - 3b.\) A. 4 B. 6 C. 5 D. -1 Spoiler: Xem đáp án Ta có \(\left( {a + bi} \right)\left( {2i - 3} \right) - 8i\left( {a - bi} \right) = - 16 - 15i \Leftrightarrow \left( { - 3a - 10b} \right) + \left( { - 6a - 3b} \right)i = - 16 - 15i\) \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 3a - 10 = - 16\\ - 6a - 3b = - 15\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 2\\b = 1\end{array} \right. \Rightarrow S = - 1.\)
Câu 90: Tìm số phức liên hợp của số phức \(z = i\left( {24i - 1} \right).\) A. \(\overline z = - 24 + i\) B. \(\overline z = - 24 - i\) C. \(\overline z = 24 + i\) D. \(\overline z = 24 - i\) Spoiler: Xem đáp án Ta có \(z = i\left( {24i - 1} \right) = - 24 - i \Rightarrow \overline z = - 24 + i.\)
