Câu 1: Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề sai? A. Hiệu của một số phức và số phức liên hợp của nó là một số thuần ảo B. Tích của một số phức và số phức liên hợp của nó là một số ảo C. Điểm \(M\left( {a,b} \right)\) trong một hệ tọa độ vuông góc của mặt phẳng được gọi là điểm biểu diễn số phức \(z = a + bi\) D. Môđun của số phức \(z = a + bi\) là \(\left| z \right| = \sqrt {{a^2} + {b^2}}\) Câu 2: Cho số phức \(z = \left( {{m^2} + m - 2} \right) + \left( {{m^2} - 1} \right)i\,(m \in R)\). Tìm giá trị của m để z là số thuần ảo và khác 0. A. m=1 B. m=2 C. m=-2 D. \(m = \pm 1\) Câu 3: Cho số phức z, biết \(z - \left( {2 + 3i} \right)\bar z = 1 - 9i\). Tìm phần ảo của số phức z. A. -1 B. -2 C. 1 D. 2 Câu 4: Cho số phức z=2–3i. Tìm môđun của số phức \(\omega = 2z + \left( {1 + i} \right)\overline z\). A. \(\left| \omega \right| = 4\) B. \(\left| \omega \right| = 2\sqrt 2\) C. \(\left| \omega \right| = \sqrt {10}\) D. \(\left| \omega \right| = 2\) Câu 5: Tìm số phức z thỏa mãn \(z + z.\overline z = \frac{i}{2}\). A. \(z = \frac{1}{2} + \frac{1}{2}i\) B. \(z = - \frac{1}{2} + \frac{1}{2}i\) C. \(z= \frac{1}{2} + \frac{3}{2}i\) D. \(z = - \frac{1}{2}i\) Hướng dẫn giải: Câu 1: Với mệnh đề A: ta có \(z- \overline z = \left( {a + bi} \right) - \left( {a - bi} \right) = 2bi\) đây là một số thuần ảo. Vậy đáp án A đúng. Với mệnh đề B: ta có \(z.\overline z = \left( {a + bi} \right)\left( {a - bi} \right) = {a^2} - {b^2}.{i^2} = {a^2} + {b^2}\) (do \({i^2} = - 1).\) Đây là số thực, vậy mệnh đề này sai. C và D là các mệnh đề đúng. Câu 2: z là số thuần ảo và khác 0 khi và chỉ khi: \(\left\{ \begin{array}{l} {m^2} + m - 2 = 0\\ {m^2} - 1 \ne 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow m = - 2.\) Câu 3: Đặt \(z = a + bi\,\,\,(a,b \in \mathbb{R}),\) ta có: \(\begin{array}{l} z - \left( {2 + 3i} \right)\bar z = 1 - 9i \Leftrightarrow (a + bi) - (2 + 3i)(a - bi) = 1 - 9i\\ \Leftrightarrow a + bi - 2a + 2bi - 3ai - 3b = 1 - 9i\\ \Leftrightarrow - a - 3b - 1 + i(3b - 3a + 9) = 0\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - a - 3b - 1 = 0\\ (3b - 3a + 9) = 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a = 2\\ b = - 1 \end{array} \right. \end{array}\) Vậy phần ảo của số phức là -1. Câu 4: \({\rm{w}} = 2z + (1 + i)\overline z = 2(2 - 3i) + (1 + i)(2 + 3i)\) \(= 4 - 6i + 2 + 3i + 2i + 3{i^2} = 4 - 6i + 2 + 3i + 2i - 3 = 3 - i\) \(\Rightarrow \left| {\rm{w}} \right| = \sqrt {9 + 1} = \sqrt {10}\) Câu 5: Đặt \(z = x + yi\,(x,y \in R)\) \(z + z.\overline z = \frac{i}{2} \Leftrightarrow x + iy + {x^2} + {y^2} = \frac{i}{2}\) \(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x + {x^2} + {y^2} = 0\\ y = \frac{1}{2} \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x = - \frac{1}{2}\\ y = \frac{1}{2} \end{array} \right.\) \(\Rightarrow z = - \frac{1}{2} + \frac{1}{2}i\).
