Câu 1: Cho hàm số \(y = {x^2}(3 - x).\) Mệnh đề nào sau đây là đúng? A. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng \((-\infty ;0)\) B. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng \((2;+\infty)\) C. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng \((-\infty;3)\) D. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng \((0;2)\) Câu 2: Cho hàm số \(y = \sqrt {{x^2} - 1} .\) Mệnh đề nào dưới đây đúng? A. Hàm số đồng biến trên khoảng \((0;+\infty )\) B. Hàm số đồng biến trên \((-\infty ;+\infty )\) C. Hàm số đồng biến trên khoảng \((1 ;+\infty )\) D. Hàm số nghịch biến trên khoảng \((-\infty ;0)\) Câu 3: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số \(y = {x^3} - m{x^2} + 3x + 4\) đồng biến trên \(\mathbb{R}\). A. \(- 2 \le m \le 2\) B. \(- 3 \le m \le 3\) C. \(m \ge 3\) D. \(m \le - 3\) Câu 4: Tìm tập hợp các giá trị của tham số thực m để hàm số \(y = \sqrt {{x^2} + 1} - mx - 1\) đồng biến trên khoảng \(\left( { - \infty ; + \infty } \right).\) A. \(\left( { - \infty ;1} \right)\) B. \(\left[ {1; + \infty } \right)\) C. \(\left[ { - 1;1} \right]\) D. \(\left( { - \infty ; - 1} \right]\) Câu 5: Tìm tập hợp tất cả giá trị thực của tham số m sao cho hàm số \(y = \frac{{\left( {m + 1} \right)x + 2m + 2}}{{x + m}}\) nghịch biến trên khoảng \(\left( { - 1; + \infty } \right)\). A. \(m \in ( - \infty ;1) \cup (2; + \infty )\) B. \(m \in \left[ {1; + \infty } \right)\) C. \(m \in \left( { - 1;2} \right)\) D. \(m \in \left[ {1;2} \right)\) Hướng dẫn giải: Câu 1: \(\begin{array}{l} y = {x^2}(3 - x) = - {x^3} + 3{x^2}\\ y' = - 3{x^2} + 6x = 0\\ y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\\ x = 2 \end{array} \right. \end{array}\) Vậy hàm số đồng biến trên khoảng (0;2). Câu 2: Hàm số có tập xác định \(D = \left( { - \infty ; - 1} \right] \cup \left[ {1; + \infty } \right).\) Khi đó \(y' = {\left( {\sqrt {{x^2} - 1} } \right)} = \frac{x}{{\sqrt {{x^2} - 1} }} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} y' > 0,x > 1\\ y' < 0,x < - 1 \end{array} \right.\) Suy ra hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( {1; + \infty } \right)\) và nghịch biến trên khoảng \(\left( { - \infty ; - 1} \right)\). Câu 3: Ta có: \(y' = 3{x^2} - 2mx + 3\) Đồ thị hàm số đã cho đồng biến trên R thì \(y'(x) \ge 0,\forall x \in \mathbb{R}\) Điều này xảy ra khi: \(\Delta ' \le 0,\forall x \in \mathbb{R} \Leftrightarrow {m^2} - 9 \le 0,\forall x \in \mathbb{R} \Leftrightarrow - 3 \le m \le 3.\) Câu 4: Hàm số \(y = \sqrt {{x^2} + 1} - mx - 1\) \(y' = \frac{x}{{\sqrt {{x^2} + 1} }} - m\) Hàm số luôn đồng biến khi và chi khi \(m \le \frac{x}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}.\) Xét hàm số \(f(x) = \frac{x}{{\sqrt {{x^2} + 1} }};\,\,f'(x) = \frac{1}{{\sqrt {{{({x^2} + 1)}^3}} }} > 0,\forall x\) Suy ra f(x) luôn đồng biến trên \(\mathbb{R}\) Mặt khác \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{x}{{\sqrt {{x^2} + 1} }} = - 1\) Vậy để hàm số đồng biến trên \(\mathbb{R}\) thì \(m \le - 1.\) Câu 5: TXĐ: \(D =\mathbb{R} \backslash \left\{ { - m} \right\}\) \(y' = \frac{{{m^2} - m - 2}}{{{{\left( {x + m} \right)}^2}}}\) \(y' = 0\) khi m=-1, m=2. Với m=-1 thì y=0 là hàm hằng. Với m=2 thì y=2 là hàm hằng. Vậy hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( { - 1; + \infty } \right)\) khi: \(\left\{ \begin{array}{l} - m \notin \left( { - 1; + \infty } \right)\\ y' < 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} m \ge 1\\ {m^2} - m - 2 < 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow 1 \le m < 2\).
