Câu 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = {x^3} - 3{x^2} - 9x + 6\) trên \(\left[ { - 4;4} \right]\). A. \(\mathop {Min}\limits_{\left[ { - 4;4} \right]} y = 21\) B. \(\mathop {Min}\limits_{\left[ { - 4;4} \right]} y = - 14\) C. \(\mathop {Min}\limits_{\left[ { - 4;4} \right]} y = 11\) D. \(\mathop {Min}\limits_{\left[ { - 4;4} \right]} y = - 70\) Câu 2: Gọi M và m lần lượt là GTLN và GTNN của hàm số \(y = x\sqrt {1 - {x^2}}\) trên tập xác định. Tính M-m. A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 Câu 3: Tìm giá trị lớn nhất M của hàm số \(f\left( x \right) = \sin x - \sqrt 3 {\mathop{\rm cosx}\nolimits}\) trên khoảng \(\left( {0;\pi } \right).\) A. \(M=2\) B. \(M=\sqrt3\) C. \(M=1\) D. \(M=-\sqrt3\) Câu 4: Tìm giá trị nhỏ nhất m của hàm số \(y = \log _2^2x - 4{\log _2}x + 1\) trên đoạn [1;8]. A. m=-2 B. m=1 C. m=-3 D. m=-5 Câu 5: Tìm giá trị của m để hàm số \(y = - {x^3} - 3{x^2} + m\) có giá trị nhỏ nhất trên [-1;1] bằng 0? A. m=0 B. m=6 C. m=4 D. m=2 Hướng dẫn giải: Câu 1: \(y = f(x) = {x^3} - 3{x^2} - 9x + 6\) Đây là một câu hỏi dễ lấy điểm. Để tìm được GTNN của hàm số trên đoạn \(\left[ { - 4;4} \right]\) ta giải phương trình \(y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = - 1\\ x = 3 \end{array} \right.\). Ta lần lượt so sánh \(f\left( { - 4} \right),f\left( 4 \right),f\left( { - 1} \right),f\left( 3 \right)\) thì thấy \(f\left( { - 4} \right) = - 70\) là nhỏ nhất. Vậy đáp án đúng là D. Câu 2: Hàm số \(y = x\sqrt {1 - {x^2}}\) xác định trong đoạn \(\left[ { - 1;1} \right]\) Ta có \(y' = \sqrt {1 - {x^2}} - \frac{{{x^2}}}{{\sqrt {1 - {x^2}} }} = \frac{{1 - 2{x^2}}}{{\sqrt {1 - {x^2}} }}\) \(y' = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = \frac{1}{{\sqrt 2 }}}\\ {x = - \frac{1}{{\sqrt 2 }}} \end{array}} \right.\). Ta lần lượt so sánh các giá trị \(y\left( { - 1} \right) = 0;y\left( 1 \right) = 0;y\left( {\frac{1}{{\sqrt 2 }}} \right) = \frac{{ - 1}}{2};y\left( {\frac{{ - 1}}{{\sqrt 2 }}} \right) = \frac{1}{2}\) Vậy \(M - m = \frac{1}{2} - \left ( - \frac{1}{2} \right ) = 1\) Câu 3: \(f'\left( x \right) = \cos x + \sqrt 3 \sin x,f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = - \frac{\pi }{6} + k\pi \left( {k \in } \right)\) Vì \(x \in \left( {0;\pi } \right)\) nên \(x = \frac{5\pi}{6}\) Vậy, Hàm số đạt giá trị lớn nhất của hàm số là \(f\left( {\frac{{5\pi }}{6}} \right) = 2.\) Câu 4: Đặt \({\log _2}x = t\) với \(x\in \left[ {1;8} \right] \Rightarrow t \in \left[ {0;3} \right]\) Khi đó ta xét hàm số \(f(t) = {t^2} - 4t + 1\) \(f'(t) = 0 \Leftrightarrow t = 2\). \(\mathop {Min}\limits_{x \in \left[ {1;8} \right]} y = \mathop {M\inf (t)}\limits_{t \in \left[ {0;3} \right]} = Min\left\{ {f\left( 0 \right);f\left( 2 \right);f\left( 3 \right)} \right\} = f\left( 2 \right) = - 3\) Câu 5: Xét hàm số \(y = - {x^3} - 3{x^2} + m\) trên [-1;1]. \(\begin{array}{l} y' = - 3{x^2} - 6x\\ y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\\ x = - 2 \end{array} \right. \end{array}\) Vì \(x \in \left[ { - 1;1} \right] \Rightarrow x = 0\) \(\begin{array}{l} y( - 1) = - 2 + m\\ y(0) = m\\ y(1) = - 4 + m \end{array}\) Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số trên [-1;1] là \(y(0) = - 4 + m\) Ta có: \(- 4 + m = 0 \Leftrightarrow m = 4\).
