Câu 1: Biểu diễn biểu thức \(K = \sqrt[3]{{\frac{2}{3}\sqrt[3]{{\frac{2}{3}\sqrt {\frac{2}{3}} }}}}\) dưới dạng lũy thừa với số mũ hữu tỉ. A. \(K = {\left( {\frac{2}{3}} \right)^{\frac{5}{{18}}}}\) B. \(K = {\left( {\frac{2}{3}} \right)^{\frac{1}{{2}}}}\) C. \(K = {\left( {\frac{2}{3}} \right)^{\frac{1}{{8}}}}\) D. \(K = {\left( {\frac{2}{3}} \right)^{\frac{1}{{6}}}}\) Câu 2: Giả sử a là số thực dương, khác 1. Biểu thức \(\sqrt {a\sqrt[3]{a}}\) được viết dưới dạng \({a^\alpha }\). Khẳng định nào sau đây là đúng? A. \(\alpha = \frac{2}{3}\) B. \(\alpha = \frac{11}{6}\) C. \(\alpha = \frac{1}{6}\) D. \(\alpha = \frac{5}{3}\) Câu 3: Cho biểu thức \(P = \frac{{{a^{\frac{1}{3}}}{b^{ - \frac{1}{3}}} - {a^{ - \frac{1}{3}}}{b^{\frac{1}{3}}}}}{{\sqrt[3]{{{a^2}}} - \sqrt[3]{{{b^2}}}}}\). Mệnh đề nào dưới đây đúng? A. \(P = \frac{1}{{\sqrt[3]{{ab}}}}\). B. \(P = \sqrt[3]{{ab}}\). C. \(P = {\left( {ab} \right)^{\frac{2}{3}}}\). D. \(P = - \frac{1}{{\sqrt[3]{{{{\left( {ab} \right)}^2}}}}}\). Câu 4: Cho \(K = {\left( {{x^{\frac{1}{2}}} - {y^{\frac{1}{2}}}} \right)^2}{\left( {1 - 2\sqrt {\frac{y}{x}} + \frac{y}{x}} \right)^{ - 1}}.\) Khẳng định nào sau đây là đúng? A. \(K=x\) B. \(K=2x\) C. \(K=x+1\) D. \(K=x-1\) Câu 5: Tìm tất cả các giá trị của a để \(\sqrt[{21}]{{{a^5}}} > \sqrt[7]{{{a^2}}}?\) A. \(0 < a < 1.\) B. \(\frac{5}{{21}} < a < \frac{2}{7}.\) C. \(a>0\) D. \(a>1\) Hướng dẫn giải: Câu 1: Với \(x > 0,x \ne 1\) thì \(P = \sqrt {{x^4}.{x^{\frac{1}{3}}}} = \sqrt {{x^{\frac{{13}}{3}}}} = {\left( {{x^{\frac{{13}}{3}}}} \right)^{\frac{1}{2}}} = {x^{\frac{{13}}{6}}} = {x^2}.{x^{\frac{1}{6}}} = {x^2}\sqrt[6]{x}.\) Câu 2: Ta có \(\sqrt {a\sqrt[3]{a}} = {a^{\frac{2}{3}}} \Rightarrow \alpha = \frac{2}{3}.\) Câu 3: \(P = \frac{{{a^{\frac{1}{3}}}{b^{ - \frac{1}{3}}} - {a^{ - \frac{1}{3}}}{b^{\frac{1}{3}}}}}{{\sqrt[3]{{{a^2}}} - \sqrt[3]{{{b^2}}}}}\)\( = \frac{{\frac{{\sqrt[3]{a}}}{{\sqrt[3]{b}}} - \frac{{\sqrt[3]{b}}}{{\sqrt[3]{a}}}}}{{\sqrt[3]{{{a^2}}} - \sqrt[3]{{{b^2}}}}}\)\( = \frac{{\frac{{\sqrt[3]{{{a^2}}} - \sqrt[3]{{{b^2}}}}}{{\sqrt[3]{a}\sqrt[3]{b}}}}}{{\sqrt[3]{{{a^2}}} - \sqrt[3]{{{b^2}}}}}\)\( = \frac{{\sqrt[3]{{{a^2}}} - \sqrt[3]{{{b^2}}}}}{{\sqrt[3]{a}\sqrt[3]{b}}}.\frac{1}{{\sqrt[3]{{{a^2}}} - \sqrt[3]{{{b^2}}}}}\)\( = \frac{1}{{\sqrt[3]{a}\sqrt[3]{b}}}\)\( = \frac{1}{{\sqrt[3]{{ab}}}}\). Câu 4: \(\begin{array}{l} K = {({x^{\frac{1}{2}}} - {y^{\frac{1}{2}}})^2}{(1 - 2\sqrt {\frac{y}{x}} + \frac{y}{x})^{ - 1}} = (x + y - 2\sqrt {xy} ).\frac{1}{{1 - 2\sqrt {\frac{y}{x}} + \frac{y}{x}}}\\ = x(x + y - 2\sqrt {xy} ).\frac{1}{{x - 2\sqrt {xy} + y}} = x. \end{array}\) Câu 5: Ta có: \(\sqrt[{21}]{{{a^5}}} > \sqrt[7]{{{a^2}}} \Leftrightarrow {a^{\frac{5}{{21}}}} > {a^{\frac{2}{7}}} \Leftrightarrow 0 < a < 1.\)
