Câu 1: Rút gọn biểu thức \(A = {\log _a}\frac{{{a^2}.\sqrt[3]{{{a^2}}}.a.\sqrt[5]{{{a^4}}}}}{{\sqrt[3]{a}}}\) với \(a > 0;\,\,a \ne 1\). A. \(A = \frac{{62}}{5}\) B. \(A = \frac{{16}}{5}\) C. \(A = \frac{{22}}{5}\) D. \(A = \frac{{67}}{5}\) Câu 2: Tính giá trị của biểu thức \(P = {\log _a}a\sqrt[3]{{a\sqrt[3]{{a\sqrt a }}}}\) với \(0 < a \ne 1.\) A. \(P = \frac{3}{{10}}\) B. \(P = 4\) C. \(P = \frac{1}{2}\) D. \(P = \frac{1}{4}\) Câu 3: Đặt \(a = {\log _2}3,b = {\log _5}3\). Hãy biểu diễn \({\log _6}45\) theo a và b. A. \({\log _6}45 = \frac{{2{a^2} - 2ab}}{{ab}}\) B. \({\log _6}45 = \frac{{2{a^2} - 2ab}}{{ab + b}}\) C. \({\log _6}45 = \frac{{a + 2ab}}{{ab + b}}\) D. \({\log _6}45 = \frac{{a + 2ab}}{{ab + b}}\) Câu 4: Cho \({\log _{12}}8 = a\). Biểu diễn \({\log _2}3\) theo a. A. \({\log _2}3 = \frac{{1 - a}}{{a - 2}}\) B. \({\log _2}3 = \frac{{2a - 1}}{{a - 2}}\) C. \({\log _2}3 = \frac{{a - 1}}{{2a - 2}}\) D. \({\log _2}3 = \frac{{1 - 2a}}{{a - 2}}\) Câu 5: Cho \(a > 0;b > 0\) thỏa mãn \({a^2} + {b^2} = 7ab\). Khẳng định nào sau đây là đúng? A. \(3\log (a + b) = \frac{1}{2}({\log _a} + {\log _b})\) B. \(\log \frac{{a + b}}{3} = \frac{1}{2}({\log _a} + {\log _b})\) C. \(2({\log _a} + {\log _b}) = \log (7ab)\) D. \(2({\log _a} + {\log _b}) = \log (7ab)\) Hướng dẫn giải: Câu 1: \(A = {\log _a}\frac{{{a^2}.\sqrt[3]{{{a^2}}}.a.\sqrt[5]{{{a^4}}}}}{{\sqrt[3]{a}}} = {\log _a}{a^{2 + \frac{2}{3} + 1 + \frac{4}{5} - \frac{1}{3}}} = {\log _a}{a^{\frac{{62}}{{15}}}} = \frac{{62}}{5}.\) Câu 2: \(a\sqrt[5]{{a\sqrt[3]{{a\sqrt a }}}} = a.{a^{\frac{1}{5}}}.{a^{\frac{1}{{15}}}}.{a^{\frac{1}{{30}}}} = {a^{\frac{3}{{10}}}}\) \(\Rightarrow P = {\log _a}{a^{\frac{3}{{10}}}} = \frac{3}{{10}}.\) Câu 3: \({\log _6}45 = \frac{{{{\log }_2}45}}{{{{\log }_2}6}} = \frac{{{{\log }_2}\left( {5.9} \right)}}{{{{\log }_2}\left( {2.3} \right)}} = \frac{{{{\log }_2}5 + 2{{\log }_2}3}}{{1 + {{\log }_2}3}}\) \(= \frac{{{{\log }_2}3.{{\log }_3}5 + 2{{\log }_2}3}}{{1 + {{\log }_2}3}} = \frac{{{{\log }_2}3.\frac{1}{{{{\log }_3}5}} + 2.{{\log }_2}3}}{{1 + {{\log }_2}3}}\) \(= \frac{{\frac{a}{b} + 2{\rm{a}}}}{{1 + a}} = \frac{{a + 2ab}}{{ab + b}}\) Câu 4: Ta có: \({\log _{12}}18 = \frac{{{{\log }_2}18}}{{{{\log }_2}12}} = \frac{{{{\log }_2}\left( {{{2.3}^2}} \right)}}{{{{\log }_2}({2^2}.3)}} = \frac{{1 + 2{{\log }_2}3}}{{2 + {{\log }_2}3}}\) Đặt \(t = {\log _2}3\), ta có: \({\log _{12}}18 = a = \frac{{1 + 2x}}{{2 + x}}\) \(\Rightarrow a(2 + x) = 1 + 2x \Rightarrow x(a - 2) = 1 - 2a\) \(\Rightarrow {\log _2}3 = x = \frac{{1 - 2a}}{{a - 2}}\) Câu 5: Ta có: \({a^2} + {b^2} = 7{\rm{a}}b \Leftrightarrow {\left( {a + b} \right)^2} = 9ab\) \(\Leftrightarrow \frac{{{{\left( {a + b} \right)}^2}}}{{{3^2}}} = ab \Leftrightarrow \log {\left( {\frac{{a + b}}{3}} \right)^2} = \log ab\) \(2\log \frac{{a + b}}{3} = \log a + {\mathop{\rm logb}\nolimits}\) \(\Leftrightarrow \log \frac{{a + b}}{2} = \frac{1}{2}\left( {\log a + \log b} \right)\)
