Câu 1: Cho biểu thức \(P = \sqrt[3]{{{x^2}\sqrt {x\sqrt[5]{{{x^3}}}} }}.\) Mệnh đề nào dưới đây đúng? A. \(P = {x^{\frac{{14}}{{15}}}}\) B. \(P = {x^{\frac{{17}}{{36}}}}\) C. \(P = {x^{\frac{{13}}{{15}}}}\) D. \(P = {x^{\frac{{16}}{{15}}}}\) Câu 2: Giải phương trình \({9^{\sqrt {x - 1} }} = {e^{\ln 81}}.\) A. \(x=5\) B. \(x=4\) C. \(x=6\) D. \(x=17\) Câu 3: Cho hàm số \(y = {x^2}{e^x}.\) Giải bất phương trình \(y'<0\). A. \(x \in \left( { - \infty ;0} \right) \cup \left( {2; + \infty } \right)\) B. \(x \in (-2;0)\) C. \(x \in (0;2)\) D. \(x \in \left( { - \infty ; - 2} \right) \cup \left( {0; + \infty } \right)\) Câu 4: Tính đạo hàm của hàm số \(f\left( x \right) = {e^x}.\sin x.\) A. \(f'\left( x \right) = \sqrt 2 \cos \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right).{e^x}\) B. \(f'\left( x \right) = \sqrt 2 sin\left( {x + \frac{\pi }{4}} \right).{e^x}\) C. \(f'\left( x \right) = \sin \left( {x - \frac{\pi }{4}} \right).{e^x}\) D. \(f'\left( x \right) = \frac{1}{{\sqrt 2 }}\cos \left( {x - \frac{\pi }{4}} \right).{e^x}\) Câu 5: Tập giá trị của tham số m để phương trình \({5.16^x} - {2.81^x} = m{.36^x}\) có đúng một nghiệm? A. \(m \in \left( { - \infty ; - \sqrt 2 } \right) \cup \left( {\sqrt 2 ; + \infty } \right)\) B. \(m \in \left( {0; + \infty } \right)\) C. \(m \in \mathbb{R}\) D. \(m \in \mathbb{Q}\) Câu 6: Tìm tập nghiệm S của bất phương trình \({\log _{\frac{\pi }{4}}}\left( {{x^2} + 1} \right) < {\log _{\frac{\pi }{4}}}\left( {2x + 4} \right).\) A. \(S = \left( { - 2; - 1} \right)\) B. \(S = \left( { - 2; + \infty } \right)\) C. \(S = \left( {3; + \infty } \right) \cup \left( { - 2; - 1} \right)\) D. \(S = \left( {3; + \infty } \right)\) Câu 7: Cho 3 số thực dương a, b, c khác 1. Đồ thị hàm số \(y = {\log _a}x;y = {\log _b}x\)như hình vẽ. Khẳng định nào sau đây là đúng? A. \(b<a<c\) B. \(a<b<c\) C. \(a<c<b\) D. \(c<a<b\) Câu 8: Cho \(\log 2 = a;log3 = b.\) Tính \({\log_6}90\) theo a, b. A. \(lo{g_6}90 = \frac{{2b - 1}}{{a + b}}\) B. \(lo{g_6}90 = \frac{{b+1}}{{a + b}}\) C. \(lo{g_6}90 = \frac{{2b +1}}{{a + b}}\) D. \(lo{g_6}90 = \frac{{2b + 1}}{{a +2 b}}\) Câu 9: Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn \(b = \log a + 1,c = \log b + 2.\) Khẳng định nào sau đây là đúng? A. \(\log \frac{a}{b} = b + c + 1\) B. \(\log \left( {ab} \right) = b + c - 3\) C. \(\log \left( {ab} \right) = \left( {b - 1} \right)\left( {c - 2} \right)\) D. \(\log \left( {ab} \right) = \frac{{b - 1}}{{c - 2}}\) Câu 10: Tìm m để phương trình \({3^{{x^2} - 4}}{.5^{x + m}} = 3\) có 2 nghiệm phân biệt thỏa mãn phương trình \(\left | x_1 - x _2 \right | = {\log _3}5\). A. \(m = 4{\log _5}3\) B. \(m = 5{\log _5}3\) C. \(m = 2\) D. \(m = -2\) Gợi ý lời giải: Câu 1: \(P = \sqrt[3]{{{x^2}\sqrt {x\sqrt[5]{{{x^3}}}} }} = \sqrt[3]{{{x^2}\sqrt {{x^{\frac{8}{5}}}} }} = \sqrt[3]{{{x^2}.{x^{\frac{4}{5}}}}} = {x^{\frac{{14}}{{15}}}}.\) Câu 2: Điều kiện: \(x>1\) khi đó: \({9^{\sqrt {x - 1} }} = {e^{\ln 81}} \Leftrightarrow {9^{\sqrt {x - 1} }} = {9^2} \Leftrightarrow \sqrt {x - 1} = 2 \Leftrightarrow x = 5.\) Câu 3: \(y' = 2x{e^x} + {x^2}{e^x} < 0 \Leftrightarrow x{e^x}(2 + x) < 0 \Leftrightarrow - 2 < x < 0.\) Câu 4: \(f'\left( x \right) = {e^x}\sin x + {e^x}\cos x = \left( {\sin x + \cos x} \right){e^x} = \sqrt 2 \sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right).{e^x}\) Câu 5: Ta có \(PT \Leftrightarrow 5.{\left( {\frac{{16}}{{81}}} \right)^x} - m{\left( {\frac{{36}}{{81}}} \right)^x} - 1 = 0 \Leftrightarrow 5{\left( {\frac{4}{9}} \right)^{2x}} - m{\left( {\frac{4}{9}} \right)^x} - 2 = 0\) Đặt \(t = {\left( {\frac{4}{9}} \right)^x} > 0\) phương trình trở thành \(5{t^2} - mt - 2 = 0\) luôn có 2 nghiệm trái dấu Giải sử \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{\left( {\frac{4}{9}} \right)}^{{x_1}}} = {t_1} > 0}\\ \\ {{{\left( {\frac{4}{9}} \right)}^{{x_2}}} = {t_2} < 0} \end{array}} \right.\). Do đó đã cho luôn có 1 nghiệm với mọi m. Câu 6: Điều kiện: \(2x + 4 > 0 \Leftrightarrow x > - 2\) Khi đó: \(\begin{array}{l} {\log _{\frac{\pi }{4}}}\left( {{x^2} + 1} \right) < {\log _{\frac{\pi }{4}}}\left( {2x + 4} \right) \Leftrightarrow {x^2} + 1 > 2x + 4\left( {do\frac{3}{4} < 1} \right)\\ \Leftrightarrow {x^2} - 2x - 3 > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x < - 1\\ x > 3 \end{array} \right.. \end{array}\) Kết hợp với điều kiện ta có tập nghiệm BPT là: \(S = \left( {3; + \infty } \right) \cup \left( { - 2; - 1} \right).\) Câu 7: Dựa vào đồ thị ta có \(a < 1;b > 1;c > 1.\) Hơn nữa với cùng giá trị x thì \({\log _c}x < {\log _b}x \Rightarrow c > b.\) Câu 8: \({\log _6}90 = \frac{{\log 90}}{{\log 6}} = \frac{{\log 9 + \log 10}}{{\log 2 + \log 3}} = \frac{{2b + 1}}{{a + b}}\) Câu 9: Với a,b,c > 0 ta có: \(\log \frac{a}{b} = b + c + 1 \Leftrightarrow {\log _a} - {\log _b} = b + c + 1 \Leftrightarrow \left( {b - 1} \right) - \left( {c - 2} \right) = b + c + 1 \Rightarrow A\) Sai. \(\log \left( {ab} \right) = b + c - 3 \Leftrightarrow \log a + \log b = b + c - 3\) \(\Leftrightarrow \left( {b - 1} \right) + \left( {c - 2} \right) = b + c - 3 \Rightarrow B\) Đúng. \(\log \left( {ab} \right) = \left( {b - 1} \right)\left( {c - 2} \right) \Leftrightarrow \log a + \log b = bc - 2b - c + 2\) \(\Leftrightarrow \left( {b - 1} \right) + \left( {c - 2} \right) = bc - 2b - c + 2 \Rightarrow C\) Sai. \(\log \left( {ab} \right) = \frac{{b - 1}}{{c - 2}} \Leftrightarrow \log a + \log b = \frac{{b - 1}}{{c - 2}} \Leftrightarrow \left( {b - 1} \right) + \left( {c - 1} \right) = \frac{{b - 1}}{{c - 2}} \Rightarrow D\) Sai. Câu 10: \({3^{{x^2} - 4}}{.5^{x + m}} = 3 \Leftrightarrow {3^{{x^2} - 5}}{.5^{x + m}} = 1 \Leftrightarrow \left( {{x^2} - 5} \right)\ln 3 + \left( {x + m} \right)\ln 5 = 0\) \(\Leftrightarrow {x^2}.\ln 3 + x.\ln 5 - 5\ln 3 + m\ln 5 = 0\,(*)\) Giải sử (*) có nghiệm \(x_1, x_2\). Áp dụng định lý Vi-et ta có: \(\begin{cases} & x_1 + x_2 = \frac{{\ln 5}}{{\ln 3}} \\ & x_1.x_2 = - 5 + m\frac{{\ln 5}}{{\ln 3}} \end{cases}\) Khi đó: \(\left| x_1 - x_2 \right| = {\log _3}5 \Leftrightarrow \left( x_1 + x_2 \right)^2 - 4x_1x_2 = \frac{{{{\ln }^2}5}}{{{{\ln }^2}3}} \Leftrightarrow {\left( { - \frac{{\ln 5}}{{\ln 3}}} \right)^2} - 4\left( { - 5 + \frac{{m\ln 5}}{{\ln 3}}} \right)\)\(= \frac{{{{\ln }^2}5}}{{{{\ln }^2}3}}\) \(\Leftrightarrow \frac{{m\ln 5}}{{\ln 3}} = 5 \Leftrightarrow m = 5{\log _5}3\).
