Câu 1: Khẳng định nào sau đây là sai? A. Thể tích khối cầu có bán kính R: \(V = \frac{4}{3}\pi {R^3}\). B. Diện tích mặt cầu có bán kính R: \(S = 4\pi {R^2}\). C. hể tích của khối trụ có bán kính đáy R và chiều cao h là: \(V = \pi {R^2}h\). D. Thể tích của khối nón có bán kính đáy R và chiều cao h là: \(V = \frac{1}{3}{\pi ^2}{R^2}h\). Câu 2: Một khối nón tròn xoay có độ dài đường sinh l = 13 cm và bán kính đáy r=5 cm. Tính thể tích V của khối nón. A. \(V = 100\pi \,\,c{m^3}\) B. \(V = 300\pi \,\,c{m^3}\) C. \(V = \frac{325}{3}\pi \,\,c{m^3}\) D. \(V = 20\pi \,\,c{m^3}\) Câu 3: Một tam giác ABC vuông tại A có AB=6, AC=8. Cho đường gấp khúc ABC quay quanh cạnh AC được hình nón có diện tích xung quanh là diện tích toàn phần lần lượt là S1, S2. Hãy chọn kết quả đúng. A. \(\frac{{{S_1}}}{{{S_2}}} = \frac{8}{5}\) B. \(\frac{{{S_1}}}{{{S_2}}} = \frac{5}{8}\) C. \(\frac{{{S_1}}}{{{S_2}}} = \frac{5}{9}\) D. \(\frac{{{S_1}}}{{{S_2}}} = \frac{9}{5}\) Câu 4: Cho hình trụ có hai đường tròn đáy lần lượt là (O); (O’). Biết thể tích khối nón có đỉnh là O và đáy là hình tròn (O’) là \(a^3\). Tính thể tích V của khối trụ đã cho? A. \(V = 2{a^3}\) B. \(V = 4{a^3}\) C. \(V = 6{a^3}\) D. \(V = 3{a^3}\) Câu 5: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A′B′C′D′ có \(AB=AD=2a, AA' = 3\sqrt 2 a.\) Tính điện tích toàn phần S của hình trụ có hai đáy lần lượt ngoại tiếp hai đáy của hình hộp chữ nhật đã cho. A. \(S=16 \pi a^2\) B. \(S=20 \pi a^2\) C. \(S=7 \pi a^2\) D. \(S=12 \pi a^2\) Câu 6: Một cái phễu rỗng phần trên có kích thước như hình vẽ. Tính diện tích xung quanh cái phễu. A. \({S_{xq}} = 360\pi \,\,c{m^2}\) B. \({S_{xq}} = 424\pi \,\,c{m^2}\) C. \({S_{xq}} = 296\pi \,\,c{m^2}\) D. \({S_{xq}} = 960\pi \,\,c{m^2}\) Câu 7: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có đáy là hình vuông cạnh a và cạnh bên bằng 2a. Tính diện tích xung quanh \(S_{xq}\) của hình nón có đỉnh là tâm O của hình vuông A’B’C’D’ và đáy là hình tròn nội tiếp hình vuông ABCD. A. \(S_{xq}=\frac{{\pi {a^2}\sqrt {17} }}{4}\) B. \({S_{xq}} = \pi {a^2}\) C. \({S_{xq}} = \frac{{\pi {a^2}\sqrt {17} }}{2}\) D. \({S_{xq}} = \pi {a^2}\sqrt {17}\) Câu 8: Cho hai hình vuông cùng có cạnh bằng 5 được xếp chồng lên nhau sao cho đỉnh X của một hình vuông là tâm của hình vuông còn lại (như hình vẽ bên). Tính thể tích V của vật thể tròn xoay khi quay mô hình trên xung quanh trục XY. A. \(V = \frac{{125\left( {1 + \sqrt 2 } \right)\pi }}{6}\) B. \(V = \frac{{125\left( {5 + 2\sqrt 2 } \right)\pi }}{{12}}\) C. \(V = \frac{{125\left( {5 + 4\sqrt 2 } \right)\pi }}{{24}}\) D. \(V = \frac{{125\left( {2 + \sqrt 2 } \right)\pi }}{4}\) Câu 9: Trong một chiếc hộp hình trụ người ta bỏ vào đó 6 quả banh tennis, biết rằng đáy của hình trụ bằng hình tròn lớn trên quả banh và chiều cao hình trụ bằng 6 lần đường kính của quả banh. Gọi V1 là tổng thể tích của 6 quả banh và V2 là thể tích của khối trụ. Tính tỉ số \(\frac{V_1}{V_2}\)? A. \(\frac{{{V_1}}}{{{V_2}}} = \frac{1}{3}\) B. \(\frac{{{V_1}}}{{{V_2}}} = \frac{2}{3}\) C. \(\frac{{{V_1}}}{{{V_2}}} = \frac{1}{2}\) D. \(\frac{{{V_1}}}{{{V_2}}} = \frac{1}{4}\) Câu 10: Một hình trụ có trục \(OO' = 2\sqrt 7\), ABCD là hình vuông có cạnh bằng 8 có đỉnh nằm trên hai đường tròn đáy sao cho tâm của hình vuông trùng với trung điểm của OO'. Tính thể tích V của hình trụ. A. \(V = 50\pi \sqrt 7\) B. \(V = 25\pi \sqrt 7\) C. \(V = 16\pi \sqrt 7\) D. \(V = 25\pi \sqrt {14}\) Hướng dẫn giải: Câu 1: Thể tích của khối nón có bán kính đáy R và chiều cao h là: \(V = \frac{1}{3}{\pi }{R^2}h\). Câu 2: Chiều cao h của khối nón là \(h = \sqrt {{{13}^2} - {5^2}} = 12cm\). Thể tích khối nón: \(V = \frac{1}{3}\pi {.5^2}.12 = 100\pi \,\,c{m^3}\). Câu 3: Cho tam giác vuông ABC quay quanh cạnh AC ta được khối nón có độ dài đường sinh là l= C, bán kính đáy là R= B. \(BC = \sqrt {{6^2} + {8^2}} = 10\) Diện tích xung quanh khối nón là: \({S_{xq}} = \pi Rl = \pi .6.10 = 60\pi\). Diện tích toàn phần khối nón là: \({S_{tp}} = \pi Rl + \pi {R^2} = 96\pi\). \(\frac{{{S_{xq}}}}{{{S_{tp}}}} = \frac{{60}}{{96}} = \frac{5}{8}\). Câu 4: Thể tích khối nón: \({V_1} = \frac{1}{3}S.h = {a^3}.\) Công thức tính thể tích khối trụ: \(V = S.h = 3{V_1} = 3{a^3}.\) Câu 5: Hình trụ có bán kính đáy: \(AI = \frac{1}{2}AC = \frac{1}{2}\sqrt {A{B^2} + A{D^2}} = a\sqrt 2\) Diện tích toàn phần của hình trụ là: \(S = {S_{xq}} + 2.{S_{day}} = 2\pi \sqrt 2 a.3\sqrt 2 a + 2\pi {(\sqrt 2 a)^2} = 16\pi {a^2}.\) Câu 6: \({S_{xq}} = 2.\pi .8.10 + \pi .8.17 = 296\pi \,\,c{m^2}\). Câu 7: Bán kính đáy hình nón là bán kính đường tròn nội tiếp hình vuông nên \(r=\frac{a}{2}\) Chiều cao hình nón là khoảng cách từ O đến mặt phẳng (ABCD) nên h=2a. Độ dài đường sinh hình nón là: \(l = \sqrt {{h^2} + {r^2}} = \sqrt {4{{\rm{a}}^2} + \frac{{{a^2}}}{4}} = \frac{{a\sqrt {17} }}{2}\) Vậy diện tích xung quanh của hình nón là: \({S_{xq}} = \pi {\rm{r}}l = \pi \frac{a}{2}.\frac{{a\sqrt {17} }}{2} = \frac{{\pi {a^2}\sqrt {17} }}{4}.\) Câu 8: Khi ta quay hình thứ nhất quay trục XY, ta được 2 hình nón ghép lại với nhau trong đó: \(h = \frac{{\sqrt {{5^2} + {5^2}} }}{2} = \frac{{5\sqrt 2 }}{2} = r\). Áp dụng công thức thể tích ta có: \({V_1} = 2.\frac{1}{3}\pi r{h^2} = 2.\frac{1}{3}.\pi {\left( {\frac{{5\sqrt 2 }}{2}} \right)^3} = \frac{{125\pi }}{{3\sqrt 2 }}.\) Khi ta quay hình còn lại theo trục XY thì ta được hình trụ có chiều cao là 5, bán kính \(r = \frac{5}{2}.\). Áp dụng công thức thể tích ta có: \({V_2} = S.h = \pi {r^2}h = \frac{{125\pi }}{4}.\) Phần bị trùng sẽ là tam giác vuông của 2 hình vuông đè vào nhau, là 1 hình nón \(r = h = \frac{5}{2} \Rightarrow {V_3} = \frac{1}{3}\pi {r^2}h = \frac{{125\pi }}{{24}}.\) Như vậy: \(V = 125\pi \left( {\frac{1}{{3\sqrt 2 }} + \frac{1}{4} - \frac{1}{{24}}} \right) = \frac{{125\pi \left( {5 + 4\sqrt 2 } \right)}}{{24}}.\) Câu 9: Gọi bán kính quả banh tennis là r, theo giả thiết ta có bán kính đáy của hình trụ là r, chiều cao của hình trụ là 6.2r Thể tích của 6 quả banh là \({V_1} = 6.\frac{4}{3}\pi {r^3}\) Thể tích của khối trụ là \({V_2} = \pi {r^2}.6.2r\) Tỉ số \(\frac{{{V_1}}}{{{V_2}}} = \frac{{6.\frac{4}{3}\pi {r^3}}}{{2\pi {r^3}.6}} = \frac{2}{3}.\) Câu 10: Từ giả thiết \(h = OO' = 2\sqrt 7\). Suy ra: \(OI = \sqrt 7 ,IH = 4 \Rightarrow OH = 3\). \(HB = 4 \Rightarrow r = OB = 5\). \(\Rightarrow V = \pi {r^2}h = \pi {.5^2}.2\sqrt 7 = 50\sqrt 7 \pi\).
