Câu 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm \(A\left( {1; - 1;1} \right);B\left( {2;1; - 2} \right),C\left( {0;0;1} \right).\) Gọi \(H\left( {x;y;z} \right)\) là trực tâm của tam giác ABC. Tính giá trị của \(Q = x + y + z.\) A. Q=1 B. \(Q=\frac{1}{3}\) C. Q=2 D. Q=3 Câu 2: Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho đường thẳng \(\left( d \right):x - 1 = \frac{{y - 2}}{2} = \frac{{z - 4}}{3}\) và song song với mặt phẳng \(\left( P \right):x + 4y + 9z - 9 = 0.\) Tìm giao điểm I của (d ) và (P). A. I(2;4;-1) B. I(1;2;0) C. I(1;0;0) D. I(0;0;1) Câu 3: Trong không gian với hệ trục Oxyz, tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của điểm A(0;1;2) trên mặt phẳng \(\left( P \right):x + y + z = 0.\) A. (-1;0;1) B. (-2;0;2) C. (-1;1;0) D. (-2;2;0) Câu 4: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, tìm tất cả các giá trị thực của m để đường thẳng \(\Delta :\frac{{x - 1}}{2} = \frac{{y + 2}}{{ - 1}} = \frac{{z + 1}}{1}\) song song với mặt phẳng (P): \(x + y - z + m = 0.\) A. \(m\neq 0\) B. \(m=0\) C. \(m\in \mathbb{R}\) D. Không có giá trị nào của m Câu 5: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu \((S):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x - 4y + 4z - 16 = 0\) và đường thẳng \(d:\frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y + 3}}{2} = \frac{z}{2}.\) Mặt phẳng nào trong các mặt phẳng sau đây chứa d và tiếp xúc với mặt cầu (S). A. \((P):2x - 2y + z - 8 = 0\) B. \((P): - 2x + 11y - 10z - 105 = 0\) C. \((P): - 2x + 2y - z + 11 = 0\) D. \((P):2x - 11y + 10z - 35 = 0\) Câu 6: Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng \(\left( \Delta \right):\frac{{x - 1}}{2} = \frac{{y + 1}}{1} = \frac{{z - 2}}{1}\). Tìm hình chiếu vuông góc của \(\left( \Delta \right)\) trên mặt phẳng (Oxy). A. \(\left\{ \begin{array}{l} x = 0\\ y = - 1 - t\\ z = 0 \end{array} \right.\) B. \(\left\{ \begin{array}{l} x = 1 + 2t\\ y = - 1 + t\\ z = 0 \end{array} \right.\) C. \(\left\{ \begin{array}{l} x = - 1 + 2t\\ y = 1 + t\\ z = 0 \end{array} \right.\) D. \(\left\{ \begin{array}{l} x = - 1 + 2t\\ y = - 1 + t\\ z = 0 \end{array} \right.\) Câu 7: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm \(M\left( { - 2;1;0} \right)\) và đường thẳng \(\Delta :\frac{{x - 2}}{1} = \frac{{y - 1}}{{ - 1}} = \frac{{z - 1}}{2}.\) Viết phương trình mặt phẳng (P) qua M và chứa đường thẳng \(\Delta\). A. \(\left( P \right):x - 7y - 4z + 9 = 0\) B. \(\left( P \right):3x - 5y - 4z + 9 = 0\) C. \(\left( P \right):2x - 5y - 3z + 8 = 0\) D. \(\left( P \right):4x - 3y - 2z + 7 = 0\) Câu 8: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng \(d:\frac{{x - 1}}{1} = \frac{y}{1} = \frac{{z + 1}}{2}\) và điểm \(I\left( {1;0;2} \right).\) Viết phương trình mặt cầu tâm I và tiếp xúc với đường thẳng d. A. \({\left( {x - 1} \right)^2} + {y^2} + {\left( {z - 2} \right)^2} = 3\) B. \({\left( {x + 1} \right)^2} + {y^2} + {\left( {z + 2} \right)^2} = 3\) C. \({\left( {x - 1} \right)^2} + {y^2} + {\left( {z - 2} \right)^2} = 19\) D. \({\left( {x - 1} \right)^2} + {y^2} + {\left( {z - 2} \right)^2} = 9\) Câu 9: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm \(A\left( {0;1;2} \right),B\left( {2; - 2;1} \right),C\left( { - 2;0;1} \right)\) và mặt phẳng \(\left( P \right):2x + 2y + z - 3 = 0\). Tìm tọa độ điểm M thuộc mặt phẳng (P) sao cho M cách đều ba điểm A, B, C. A. \(M\left( { - 7;3;2} \right)\) B. \(M\left( { 2;3;-7} \right)\) C. \(M\left( { 3;2;-7} \right)\) D. \(M\left( { 3;-7;2} \right)\) Câu 10: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm I(1;3;-2) và đường thẳng \(\Delta :\frac{{x - 4}}{1} = \frac{{y - 4}}{2} = \frac{{z + 3}}{{ - 1}}\). Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm là điểm I và cắt tại hai điểm phân biệt A, B sao cho đoạn thẳng AB có độ dài bằng 4. A. \(\left( S \right):{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} + {z^2} = 9\) B. \(\left( S \right):{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} + {\left( {z - 2} \right)^2} = 9\) C. \(\left( S \right):{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} + {\left( {z + 2} \right)^2} = 9\) D. \(\left( S \right):{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 3} \right)^2} + {\left( {z + 2} \right)^2} = 9\) Hướng dẫn giải: Câu 1: \(\overrightarrow {AB} = \left( {1;2; - 3} \right);\overrightarrow {BC} = \left( { - 2; - 1;3} \right);\overrightarrow {AC} = \left( { - 1;1;0} \right)\) \(\left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {BC} } \right] = \left( {3;3;3} \right) \Rightarrow \overrightarrow {{n_{\left( {ABC} \right)}}} = \left( {1;1;1} \right)\) là VTPT của mặt phẳng (ABC). Mặt khác (ABC) đi qua A nên có phương trình: \(\left( {ABC} \right):x + y + z - 1 = 0.\) \(\overrightarrow {AH} = \left( {x - 1;y + 1;z - 1} \right);\overrightarrow {BH} = \left( {x - 2;y - 1;z + 2} \right);\overrightarrow {CH} = \left( {x;y;z - 1} \right)\) \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\begin{array}{*{20}{c}} {\overrightarrow {AH} .\overrightarrow {BC} = 0}\\ {\overrightarrow {BH} .\overrightarrow {AC} = 0} \end{array}}\\ {H \in \left( {ABC} \right)} \end{array}} \right. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\begin{array}{*{20}{c}} { - 2x - y + 3z = 2}\\ { - x + y = - 1} \end{array}}\\ {x + y + z - 1 = 0} \end{array}} \right. \Rightarrow H\left( {\frac{5}{9};\frac{{ - 4}}{9};\frac{8}{9}} \right).\) Câu 2: Do \(I \in \left( d \right) \Rightarrow I\left( {t + 1;2t + 2;3t + 4} \right)\) Thay vào phương trình (P) ta có: \(t + 1 + 4\left( {2t + 2} \right) + 9\left( {3t + 4} \right) - 9 = 0 \Leftrightarrow t = - 1\) Suy ra điểm I(0;0;1). Câu 3: Phương trình đường thẳng d qua A và vuông góc với (P) là \(\frac{x}{1} = \frac{{y - 1}}{1} = \frac{{z - 2}}{1}.\) Gọi H là hình chiếu của A trên mp (P) suy ra H là giao điểm của d và (P). H thuộc d nên tọa độ có dạng \(H\left( {t;t + 1;t + 2} \right).\) Thay vào phương trình của (P): \(t + t + 1 + t + 2 = 0 \Leftrightarrow 3t + 3 = 0 \Leftrightarrow t = - 1 \Rightarrow H\left( { - 1;0;1} \right).\) Câu 4: Mặt phẳng (P) có VTPT: \(\overrightarrow {{n_{(P)}}} = (1;1; - 1).\) Đường thẳng \(\Delta\) có VTCP: \(\overrightarrow {{u_\Delta }} = (2; - 1;1).\) Ta có: \(\Delta // \left( P \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \overrightarrow {{n_{\left( P \right)}}} .\overrightarrow {{u_\Delta }} = 0\\ M\left( {1; - 2; - 1} \right) \notin \left( P \right)\left( {M \in \Delta } \right) \end{array} \right.\) \(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 2.1 - 1 - 1 = 0\\ 1 - 2 + 1 + m \ne 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow m \ne 0.\) Câu 5: Mặt cầu có tâm I(1;2;-2), bán kính R=5. Ta có điểm M(1;-3;0) thuộc d, thay vào phương trình mặt phẳng (P) ở các phương án loại B và C. Cón lại phương án A và D, ta kiểm tra bằng cách tính khoảng cách từ I đến mặt phẳng (P). \({d_1} = \frac{{\left| {2.1 - 2.2 + 1( - 2) - 8} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {2^2} + {1^2}} }} = 4\ne 5\) \({d_1} = \frac{{\left| {2.1 - 11.2 + 10( - 2) - 35} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 11} \right)}^2} + {{10}^2}} }} = 5\) Vậy D là phương án đúng. Câu 6: Đường thẳng \(\left( \Delta \right)\) có phương trình tham số \(\left\{ \begin{array}{l} x = 1 + 2t\\ y = - 1 + t\\ z = 2 + t \end{array} \right.\). Hình chiếu vuông góc của \(\left( \Delta \right)\) trên mặt phẳng (Oxy) nên z=0 suy ra \(\left\{ \begin{array}{l} x = 1 + 2t\\ y = - 1 + t\\ z = 0 \end{array} \right.\) Câu 7: Đường thẳng \(\Delta\) qua \(N(2;1;1)\), vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {{u_\Delta }} = \left( {1; - 1;2} \right)\) Gọi \(\overrightarrow {{n_P}}\) là VTPT của mặt phẳng (P) Ta có: \(\overrightarrow {MN} = \left( {4;0;1} \right) \Rightarrow \overrightarrow {{n_P}} = \left[ {\overrightarrow {MN} ;\overrightarrow {{u_\Delta }} } \right] = \left( { - 1;7;4} \right)\) \(\Rightarrow \left( P \right):x - 7y - 4z + 9 = 0.\) Câu 8: Gọi \(H\left( {1 + t;t; - 1 + 2t} \right) \in d\) Khi đó \(\overrightarrow {IH} = \left( {t;t;2t - 3} \right) \Rightarrow \overrightarrow {IH} .\overrightarrow {{u_d}} = 0 \Leftrightarrow t + t + 2\left( {2t - 3} \right) = 0\) \(\Leftrightarrow 6t - 6 = 0 \Leftrightarrow t = 1 \Rightarrow \overrightarrow {IH} \left( {1;1; - 1} \right) \Rightarrow IH = \sqrt 3 = R\) Do đó phương trình mặt cầu tâm I và tiếp xúc với đường thẳng d là \({\left( {x - 1} \right)^2} + {y^2} + {\left( {z - 2} \right)^2} = 3.\) Câu 9: Ta có \(\overrightarrow {AB} = \left( {2; - 3; - 1} \right);\overrightarrow {AC} = \left( { - 2; - 1; - 1} \right);\left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AC} } \right] = 2\left( {1;2; - 4} \right).\) Do \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = 0\) nên tam giác ABC vuông tại A. Trục đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC đi qua trung điểm \(M\left( {0; - 1;1} \right)\) của BC và vuông góc với mặt phẳng (ABC) có PT là: \(\frac{x}{1} = \frac{{y + 1}}{2} = \frac{{z - 1}}{{ - 4}}\left( d \right)\) Khi đó \(M = d \cap \left( P \right) \Rightarrow M\left( {2;3; - 7} \right)\) . Câu 10: Giả sử mặt cầu (S) cắt \(\Delta\) tại 2 điểm A, B sao cho AB=4 => (S) có bán kính R=IA. Gọi H là trung điểm đoạn AB, khi đó: \(IH \bot AB \Rightarrow \Delta IHA\) vuông tại H Ta có:\(HA = 2;IH = d\left( {I,\Delta } \right) = \sqrt 5\) \(R = I{A^2} = I{H^2} + H{A^2} = {\left( {\sqrt 5 } \right)^2} + {2^2} = 9\) Vậy phương trình mặt cầu cần tìm là: \(\left( S \right):{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} + {\left( {z + 2} \right)^2} = 9.\)
