Câu 1: Tứ diện đều có bao nhiêu mặt phẳng đối xứng? A. 4 B. 8 C. 6 D. 10 Câu 2: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với đáy và \(SA = a\sqrt 3 .\) Tính thể tích V khối chóp S.ABC? A. \(V = \frac{{{a^3}}}{{12}}\) B. \(V = \frac{{{a^3}}}{2}\) C. \(V = \frac{{{a^3}}}{4}\) D. \(V = \frac{{{a^3}}}{6}\) Câu 3: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với đáy và thể tích của khối chóp đó bằng \(\frac{{{a^3}}}{4}.\) Tính độ dài cạnh bên SA. A. \(SA = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}.\) B. \(SA = 2a\sqrt 3 .\) C. \(SA = a\sqrt 3 .\) D. \(SA = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}.\) Câu 4: Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có tất cả các cạnh bằng a. Tính thể tích V của khối tứ diện ABA’C’. A. \(V = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{4}\) B. \(V = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{6}\) C. \(V = \frac{{{a^3}}}{6}\) D. \(V = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{{12}}\) Câu 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành và có thể tích bằng 1. Trên cạnh SC lấy điểm E sao cho SE=2EC. Tính thể tích V của khối tứ diện SEBD. A. \(V=\frac{1}{6}\) B. \(V=\frac{1}{12}\) C. \(V=\frac{1}{3}\) D. \(V=\frac{2}{3}\) Câu 6: Một tấm bìa hình vuông, người ta cắt bỏ mỗi góc của tấm bìa một hình vuông cạnh 12cm rồi gấp lại thành một hình hộp chữ nhật không có nắp. Nếu dung tích của cái hộp đó là 4,8 lít thì độ dài cạnh của tấm bìa là bao nhiêu. A. 42 cm B. 36 cm C. 44 cm D. 38 cm Câu 7: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật có \(AB = 3a,{\rm{ }}AC = 5a\) và cạnh bên SB vuông góc với mặt phẳng đáy. Biết thể tích khối chóp bằng \(6a^3\). Tính khoảng cách từ đỉnh B đến mặt phẳng (SAD). A. \(\frac{{3a\sqrt 5 }}{5}\) B. \(\frac{{3a\sqrt 2 }}{2}\) C. \(\frac{{3a\sqrt {10} }}{{10}}\) D. \(\frac{{a\sqrt 6 }}{6}\) Câu 8: Cho hình trụ có hai đường tròn đáy lần lượt là (O); (O’). Biết thể tích khối nón có đỉnh là O và đáy là hình tròn (O’) là \(a^3\) tính thể tích V của khối trụ đã cho? A. \(V = 2{a^3}\) B. \(V = 4{a^3}\) C. \(V = 6{a^3}\) D. \(V = 3{a^3}\) Câu 9: Cho mặt cầu có diện tích bằng \(\frac{{8\pi {a^2}}}{3}.\) Tìm bán kính R của mặt cầu. A. \(R = \frac{{a\sqrt 6 }}{3}\) B. \(R = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}\) C. \(R = \frac{{a\sqrt 6 }}{2}\) D. \(R = \frac{{a\sqrt 2 }}{3}\) Câu 10: Cho tam giác ABC đều cạnh a, đường cao AH. Tính thể tích V của khối nón sinh ra khi cho tam giác ABC quay xung quanh trục AH. A. \(V = \frac{{\pi {a^3}\sqrt 6 }}{{12}}\) B. \(V = \frac{{\pi {a^3}\sqrt 3 }}{{12}}\) C. \(V = \frac{{\pi {a^3}\sqrt 2 }}{{24}}\) D. \(V = \frac{{\pi {a^3}\sqrt 3 }}{{24}}\) Câu 11: Gọi \(V_1\) là thể tích giữa khối lập phương và \(V_2\) là thể tích khối cầu ngoại tiếp khối lập phương đó. Tính tỉ số \(\frac{{{V_1}}}{{{V_2}}}.\) A. \(\frac{{{V_1}}}{{{V_2}}} = \frac{{3\pi }}{{2\sqrt 3 }}.\) B. \(\frac{{{V_1}}}{{{V_2}}} = \frac{{\pi \sqrt 2 }}{3}.\) C. \(\frac{{{V_1}}}{{{V_2}}} = \frac{3}{{\pi \sqrt 2 }}.\) D. \(\frac{{{V_1}}}{{{V_2}}} = \frac{{2\sqrt 3 }}{{3\pi }}.\) Câu 12: Một hình trụ có bán kính đáy bằng \(2a\sqrt 2\), thiết diện qua trục là một hình chữ nhật ABCD với \(AD=2AB\). Tính diện tích xung quanh S của hình trụ. A. \(S = 6\pi {a^2}\) B. \(S = 24\pi {a^2}\) C. \(S = \frac{4}{3}\pi {a^2}\) D. \(S = 64\pi {a^2}\) Câu 13: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A, \(BC=2a\) . SA vuông góc (ABC) và \(SA = 2a\sqrt 2\). Tính thể tích V của khối cầu ngoại tiếp hình chóp đã cho. A. \(V = 4\pi {a^3}\sqrt 3\) B. \(V = \frac{{2\pi {a^3}\sqrt 3 }}{3}\) C. \(V=\frac{{4\pi {a^3}\sqrt 3 }}{3}\) D. \(V={a^3}\sqrt 3\) Câu 14: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC biết \(A(5;1;3),B(1;6;2),C(5;0;4).\) Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC. A. \(G\left( {\frac{{11}}{3};3;7} \right)\) B. \(G\left( {\frac{{11}}{3}; - \frac{7}{3};3} \right)\) C. \(G\left( {\frac{{11}}{3};\frac{7}{3};3} \right)\) D. \(G\left( {\frac{{11}}{3};\frac{7}{2};3} \right)\) Câu 15: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho \(A\left( {1;0;2} \right),B\left( {1;1;1} \right),C\left( {2;3;0} \right).\) Vectơ nào sau đây là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (ABC). A. \(\overrightarrow {{n_1}} = (1;1;1)\) B. \(\overrightarrow {{n_2}} = (1; - 1; - 1)\) C. \(\overrightarrow {{n_3}} = ( - 1; - 1;1)\) D. \(\overrightarrow {{n_4}} = (1; - 1;1)\) Câu 16: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho đường thẳng \(d:\left\{ \begin{array}{l} x = 1\\ y = 2 + 3t\,\,\,\,(t \in\mathbb{R} )\\ z = 5 - t \end{array} \right.\). Vectơ nào dưới đây là vectơ chỉ phương của d? A. \(\,\overrightarrow {{u_1}} = \left( {0;3; - 1} \right).\) B. \(\,\overrightarrow {{u_2}} = \left( {1;3; - 1} \right).\) C. \(\,\overrightarrow {{u_3}} = \left( {1; - 3; - 1} \right).\) D. \(\,\overrightarrow {{u_4}} = \left( {1;2;5} \right).\) Câu 17: Trong không gian với hệ Oxyz, cho hai điểm A(1;2;3) và B(3;2;1). Viết phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB. A. \(x + y - z - 2 = 0\) B. \(y-z=0\) C. \(z-x=0\) D. \(x-y=0\) Câu 18: rong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, viết phương trình của mặt cầu đi qua ba điểm \(A(2;0;1),B(1;0;0),C(1;1;1)\) và có tâm thuộc mặt phẳng \((P):x + y + z - 2 = 0.\) A. \({(x - 1)^2} + {y^2} + {(z - 1)^2} = 1\) B. \({(x - 1)^2} + {y^2} + {(z - 1)^2} = 4\) C. \({(x - 3)^2} + {(y - 1)^2} + {(z + 2)^2} = 1\) D. \({(x - 3)^2} + {(y - 1)^2} + {(z + 2)^2} = 4\) Câu 19: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho đường thẳng \(d:\frac{{x - 1}}{2} = \frac{y}{1} = \frac{{z + 1}}{3}\) và \(\left( P \right):2x + y - z = 0.\) Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa đường thẳng d và vuông góc mặt phẳng (P). A. \(2x - y - z = 0\) B. \(2x - y + z = 0\) C. \(x + 2y + z = 0\) D. \(x - 2y - 1 = 0\) Câu 20: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng \({d_1},{d_2}\) có phương trình lần lượt là \(\frac{x}{2} = \frac{{y - 1}}{{ - 1}} = \frac{{z + 2}}{1},\left\{ \begin{array}{l} x = - 1 + 2t\\ y = 1 + t\\ z = 3 \end{array} \right.(t \in\mathbb{R} ).\) Viết phương trình đường thẳng vuông góc với \((P) = 7x + y - 4z = 0\) và cắt cả hai đường thẳng \({d_1},{d_2}\). A. \(\frac{x}{7} = \frac{{y - 1}}{1} = \frac{{z + 2}}{{ - 4}}\) B. \(\frac{{x - 2}}{7} = \frac{y}{1} = \frac{{z + 1}}{{ - 4}}\) C. \(\frac{{x + 1}}{7} = \frac{{y - 1}}{1} = \frac{{z - 3}}{{ - 4}}\) D. \(\frac{{x + \frac{1}{2}}}{7} = \frac{{y - 1}}{1} = \frac{{z - \frac{1}{2}}}{{ - 4}}\) Gợi ý lời giải: Câu 1: Tứ diện đều có mặt phẳng đối xứng là mặt phẳng tạo bởi một cạnh với trung điểm của cạnh đối diện của nó. Câu 2: \(V = \frac{1}{3}SA.{s_{day}} = \frac{1}{3}a\sqrt 3 .\frac{1}{2}.a.a.\sin {60^0} = \frac{1}{4}{a^3}.\) Câu 3: Đáy là tam giác đều cạnh a nên diện tích \({S_{ABC}} = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}\). SA là đường cao nên \({V_{S.ABC}} = \frac{1}{3}SA.{S_{ABC}} \Rightarrow SA = \frac{{3{V_{S.ABC}}}}{{{S_{ABC}}}} = \frac{{\frac{{3{a^3}}}{4}}}{{\frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}}} = a\sqrt 3\). Câu 4: Dựng \(C'H \bot A'B' \Rightarrow C'H \bot \left( {ABA'} \right)\) \( S{ _{\Delta AA'B}} = \frac{1}{2}AA'.AB = \frac{1}{2}{a^2} \Rightarrow {V_{ABA'C'}} = \frac{1}{3}C'H.{S_{\Delta AA'B}} = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{{12}}.\) Câu 5: Ta có: \(\frac{{{V_{SEBD}}}}{{{V_{SBCD}}}} = \frac{{SE}}{{SC}} = \frac{2}{3}\) Mà: \({V_{SCBD}} = \frac{1}{2}V \Rightarrow {V_{SEBD}} = \frac{2}{3}.\frac{1}{2}.V = \frac{1}{3}V = \frac{1}{3}.\) Câu 6: Gọi độ dài cạnh của hình vuông là x cm Thể tích của hình hộp chữ nhật là \(V = 12.{\left( {x - 24} \right)^2}\,(c{m^3})\) Mặt khác \(V=4,8l =4800cm^3\) suy ra \(12.{\left( {x - 24} \right)^2} = 4800 \Leftrightarrow {\left( {x - 24} \right)^2} = 400 \Leftrightarrow x = 44\,\,(cm).\) Câu 7: Dựng \(BH \bot SA\). Do \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {BA \bot AD}\\ {AD \bot SB} \end{array}} \right. \Rightarrow AD \bot BH\) Mặt khác \(BH \bot SA \Rightarrow BA \bot \left( {SAD} \right)\) Do đó \(d\left( {B;\left( {SAD} \right)} \right) = BH = \frac{{SB.SA}}{{\sqrt {S{B^2} + B{A^2}} }}\) Trong đó \(BC = \sqrt {A{C^2} - A{B^2}} = 4a\) Suy ra \(V = \frac{1}{3}{S_{ABCD}}.SB \Rightarrow SB = \frac{{3a}}{2} \Rightarrow d = \frac{{3a\sqrt 5 }}{5}.\) Câu 8: Thể tích khối nón: \({V_1} = \frac{1}{3}S.h = {a^3}.\) Công thức tính thể tích khối trụ: \(V = S.h = 3{V_1} = 3{a^3}.\) Câu 9: Bán kính mặt cầu cần tính là: \(S = 4\pi {R^2} = \frac{{8\pi {a^2}}}{3} \Leftrightarrow {R^2} = \frac{{2{a^2}}}{3} \Rightarrow R = \frac{{a\sqrt 6 }}{3}.\) Câu 10: Khi quay tam giác ABC quanh trục AH ta được khối nón có bán kính \(r = \frac{{BC}}{2} = \frac{a}{2}\) Và chiều cao của khối nón là \(h = AH = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\) Vậy thể tích khối nón cần tính là \(V = \frac{1}{3}.\pi {r^2}h = \frac{{\pi {a^3}\sqrt 3 }}{{24}}\). Câu 11: Không mất tính tổng quát gọi độ dài cạnh của khối lập phương bằng 1, khi đó bán kính khối cầu ngoại tiếp khối lập phương là \(R = \frac{{\sqrt {{1^2} + {1^2} + {1^2}} }}{2} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}.\) Suy ra \({V_1} = 1;{\rm{ }}{V_2} = \frac{4}{3}\pi {\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)^3} = \frac{{\pi \sqrt 3 }}{2} \Rightarrow \frac{{{V_1}}}{{{V_2}}} = \frac{{2\sqrt 3 }}{{3\pi }}.\) Câu 12: Gọi r và h lần lượt là bán kính đáy và chiều cao của hình trụ. Theo giả thuyết của đề bài ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {AB = 2r}\\ {AD = h} \end{array} \Rightarrow h = AD = 2AB = 4r = 8a\sqrt 2 \Rightarrow {S_{xq}} = 2\pi rh = 64\pi {a^2}} \right..\) Câu 13: Ta có: \(AB = AC = \frac{{BC}}{{\sqrt 2 }} = a\sqrt 2 ;AM = \frac{{BC}}{2} = a\) Gọi M là trung điểm của BC, dựng đường thẳng qua M song song với SA và cắt mặt phẳng trung trực của SA tại O Khi đó O là tâm mặt cầu ngoại tiếp khối cầu ngoại tiếp hình chóp. Dể thấy OEAM là hình chữ nhật nên \(OM=EA=\frac{SA}{2}=a\sqrt2\). Ta có: \(R = OA = \sqrt {O{M^2} + M{A^2}} = \sqrt {{{\left( {a\sqrt 2 } \right)}^2} + {a^2}} = a\sqrt 3\) \(\Rightarrow V = \frac{4}{3}\pi {R^3} = 4\pi {a^3}\sqrt 3 .\) Câu 14: Trọng tâm của tam giác ABC có tọa độ là \(G\left( {\frac{{5 + 1 + 5}}{3};\frac{{1 + 6 + 0}}{3};\frac{{3 + 2 + 4}}{3}} \right) = G\left( {\frac{{11}}{3};\frac{7}{3};3} \right).\) Câu 15: Gọi \(\vec{n}\) là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (ABC). Khi đó: \(\overrightarrow n = k\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = k\left( {1; - 1; - 1} \right)\,\,(k \in\mathbb{R} )\) Chọn \(k = 1 \Rightarrow \overrightarrow n = (1; - 1; - 1).\) Câu 16: Vectơ chỉ phương của d là: \(\overrightarrow u = \left( {0;3; - 1} \right).\) Câu 17: Trung điểm của AB là I(2;2;2) Phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB đi qua I(2;2;2) và nhận \(\overrightarrow n = \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} = \left( {1;0; - 1} \right)\) làm vectơ pháp tuyến, nên có phương trình là: \((x - 2) + 0(y - 2) - (z - 2) = 0 \Leftrightarrow x - z = 0 \Leftrightarrow z - x = 0.\) Câu 18: ọi I(x;y;z) là tâm của mặt cầu (S) suy ra IA=IB=IC và \(I \in (P) \Rightarrow x + y + z - 2 = 0.\) Mặt khác \(\overrightarrow {AI} = (x - 2;y;z - 1),\overrightarrow {BI} = (x - 1;y;z),\overrightarrow {CI} = (x - 1;y - 1;z - 1)\) Nên ta có hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l} I \in (P)\\ IA = IB\\ IA = IC \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x + y + z - 2 = 0\\ x + z = 2\\ y + z = 1 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} z = 1\\ y = 0\\ z = 1 \end{array} \right. \Rightarrow I(1;0;1)\)Và \(R = IA = 1.\) Vậy phương trình mặt cầu (S) là \({(x - 1)^2} + {y^2} + {(z - 1)^2} = 1.\) Câu 19: Gọi \(\overrightarrow {{n_{(Q)}}}\) là VTPT của mặt phẳng (Q) Mặt phẳng (P) có VTPT \(\overrightarrow {{n_{(P)}}} = (2;1; - 1)\) Đường thẳng d có VTCP \(\overrightarrow {{u_d}} = \left( {2;1;3} \right)\) Ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {d \subset \left( Q \right)}\\ {\left( Q \right) \bot \left( P \right)} \end{array} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\overrightarrow {{n_{\left( Q \right)}}} \bot \overrightarrow {{u_d}} }\\ {\overrightarrow {{n_{\left( Q \right)}}} \bot \overrightarrow {{u_{\left( P \right)}}} } \end{array}} \right.} \right.\) Chọn \(\left[ {\overrightarrow {{n_{\left( P \right)}}} ;\overrightarrow {{n_d}} } \right] = \left( { - 4;8;0} \right) = - 4(1; - 2;0)\) Vậy: \(\overrightarrow {{n_{(Q)}}} = (1; - 2;0)\) Mặt khác \(d:\frac{{x - 1}}{2} = \frac{y}{1} = \frac{{z + 1}}{3}\) qua M(1;0;-1) nên \(M\in (Q)\) nên phương trình mặt phẳng (Q) là: \(\left( Q \right):x - 2y - 1 = 0.\) Câu 20: Giả sử \(d \cap {d_1} = A \Rightarrow A = {d_1}\) nên \(A(2u;1 - u;u - 2)\) \(d \cap {d_2} = B \Rightarrow B = {d_2}\) nên \(B(2t - 1;t + 1;3)\) Vì thế \(\overrightarrow {AB} = (2t - 2u - 1;t + u;5 - u)\) là vectơ chỉ phương của d. Do \(d\perp (P)\) nên \(\overrightarrow {AB} //\overrightarrow n = (7;1; - 4)\) ở đây \(\vec{n}\) là vectơ pháp tuyến của mp(P). Từ đó có hệ phương trình \(\frac{{2t - 2u - 1}}{7} = \frac{{t + u}}{1} = \frac{{5 - u}}{{ - 4}} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 2t - 2u - 1 = 7t + 7u\\ 4(t + u) = u - 5 \end{array} \right.\) \(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} t = - 2\\ u = 1 \end{array} \right. \Rightarrow \overrightarrow {AB} = ( - 7; - 1;4).\) Và đường thằng d đi qua điểm \(A(2;0;-1)\) nên \((d):\frac{{x - 2}}{7} = \frac{y}{1} = \frac{{z + 1}}{{ - 4}}.\)
