I.Các đẳng thức lượng giác cơ bản trong tam giác: Giả sử A, B, C là 3 góc của tam giác ABC.Khi đó với các điều kiện thỏa mãn, ta có: 1)$$\cos A + \cos B + \cos C = 1 + 4sin\dfrac{A}{2}sin\dfrac{B}{2}sin\dfrac{C}{2}$$ 2)$$\sin A + \sin B + \sin C = 4c{\rm{os}}\dfrac{A}{2}c{\rm{os}}\dfrac{B}{2}c{\rm{os}}\dfrac{C}{2}$$ 3)$$\sin 2A + \sin 2B + \sin 2C = 4\sin A\sin B\sin C$$ 4)$${\sin ^2}A + {\sin ^2}B + {\sin ^2}C = 2 + 2c{\rm{osA}}c{\rm{osB}}c{\rm{osC}}$$ 5)$$\tan \dfrac{A}{2}\tan \dfrac{B}{2} + \tan \frac{B}{2}\tan \dfrac{C}{2} + \tan \dfrac{C}{2}\tan \dfrac{A}{2} = 1$$ 6)$$\cot A\cot B + \cot B\cot C + \cot C\cot A = 1$$ 7)$${\mathop{\rm t}\nolimits} {\rm{anA + }}\tan B + \tan C = {\mathop{\rm t}\nolimits} {\rm{anA}}\tan B\tan C$$ II.Các bất đẳng thức lượng giác cơ bản trong tam giác Giả sử A, B, C là 3 góc của tam giác ABC.Khi đó với các điều kiện thỏa mãn, ta có: 1)\[\cos A + \cos B + \cos C \le \frac{3}{2}\] 2)\[sin\frac{A}{2} + sin\frac{B}{2} + sin\frac{C}{2} \le \frac{3}{2}\] 3)\[\sin A + \sin B + \sin C \le \frac{{3\sqrt 3 }}{2}\] 4)\[c{\rm{os}}\frac{A}{2} + c{\rm{os}}\frac{B}{2} + c{\rm{os}}\frac{C}{2} \le \frac{{3\sqrt 3 }}{2}\] 5)\[\cos A\cos B\cos C \le \frac{1}{8}\] 6)\[sin\frac{A}{2}sin\frac{B}{2}sin\frac{C}{2} \le \frac{1}{8}\] 7)\[\sin A\sin B\sin C \le \frac{{3\sqrt 3 }}{8}\] 8)\[c{\rm{os}}\frac{A}{2}c{\rm{os}}\frac{B}{2}c{\rm{os}}\frac{C}{2} \le \frac{{3\sqrt 3 }}{8}\] 9)\[c{\rm{ot}}\frac{A}{2} + c{\rm{ot}}\frac{B}{2} + c{\rm{ot}}\frac{C}{2} \ge 3\sqrt 3 \] 10)\[{\rm{tanA}} + {\rm{tanB + tanC}} \ge 3\sqrt 3 \] 11)\[{\cos ^2}A + {\cos ^2}B + {\cos ^2}C \ge {\sin ^2}\frac{A}{2} + {\sin ^2}\frac{B}{2} + {\sin ^2}\frac{C}{2} \ge \frac{3}{4}\] 12)\[{\sin ^2}A + {\sin ^2}B + si{n^2}C \le c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}\frac{A}{2} + c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}\frac{B}{2} + c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}\frac{C}{2} \le \frac{9}{4}\] Bây giờ chúng ta sẽ xét một số bài toán bất đẳng thức hình học đưa được về dạng bất đẳng thức cơ bản quen thuộc như trên. Bài toán 1 Cho $\Delta ABC$ có $a,b,c$ là độ dài tương ứng các cạnh BC, CA, AB. Chứng minh rằng: $$(b^2 + c^2 - a^2)(c^2 + a^2 - b^2)(a^2 + b^2 - c^2) \le a^2b^2c^2$$ Lời giải Áp dụng định lí Cosin, ta có: \[{b^2} + {c^2} - {a^2} = 2bc.\cos A\] \[{c^2} + {a^2} - {b^2} = 2ca.c{\rm{osB}}\] \[{a^2} + {b^2} - {c^2} = 2ab.c{\rm{osC}}\] Do đó \[({b^2} + {c^2} - {a^2})({c^2} + {a^2} - {b^2})({a^2} + {b^2} - {c^2}) \le {a^2}{b^2}{c^2}\] tương đương \[ 8{a^2}{b^2}{c^2}\cos A\cos B\cos C \le {a^2}{b^2}{c^2}\] tương đương \[ \Leftrightarrow \cos A\cos B\cos C \le \frac{1}{8}\] Đây là bất đẳng thức lượng giác cơ bản ta dễ dàng chứng minh. Bài toán 2 Cho $\Delta ABC$ có $a,b,c$ là độ dài tương ứng các cạnh BC, CA, AB và R là bán kính đường tròn ngoại tiếp của tam giác $\Delta ABC$.Chứng minh rằng: $$a + b + c \le 3R\sqrt 3 $$ Lời giải Áp dụng định lí Sin, ta có:\[a + b + c \le 3R\sqrt 3 \Leftrightarrow 2R(\sin A + \sin B + \sin C) \le 3R\sqrt 3 \] tương đương \[ \sin A + \sin B + \sin C \le \frac{{3\sqrt 3 }}{2}\] (Đây là bất đẳng thức cơ bản trong tam giác nên dễ dàng chứng minh). Bài toán 3 Cho $\Delta ABC$ có $a,b,c$ là độ dài tương ứng các cạnh BC, CA, AB và R là bán kính đường tròn ngoại tiếp của tam giác $\Delta ABC$.Chứng minh rằng: $$abc \le {\left( {R\sqrt 3 } \right)^3}$$ Lời giải Áp dụng định lí Sin, ta có:\[abc \le {\left( {R\sqrt 3 } \right)^3} \Leftrightarrow 8{R^3}.\sin A\sin B\sin C \le 3\sqrt 3 .{R^3}\] tương đương \[\sin A\sin B\sin C \le \frac{{3\sqrt 3 }}{8}\] (Bất đẳng thức cơ bản trong tam giác). Bài toán 4 Cho $\Delta ABC$ có $a,b,c$ là độ dài tương ứng các cạnh BC, CA, AB và R là bán kính đường tròn ngoại tiếp của tam giác $\Delta ABC$.Chứng minh rằng: $$\sqrt[3]{{{a^2}b}} + \sqrt[3]{{{b^2}c}} + \sqrt[3]{{{c^2}a}} \le 3\sqrt 3 R$$ Lời giải Áp dụng bất đẳng thức Holder, ta có: \[{\left( {\sqrt[3]{{{a^2}b}} + \sqrt[3]{{{b^2}c}} + \sqrt[3]{{{c^2}a}}} \right)^3} \le {(a + b + c)^3}\] tương đương \[\sqrt[3]{{{a^2}b}} + \sqrt[3]{{{b^2}c}} + \sqrt[3]{{{c^2}a}} \le a + b + c\] Ta chỉ cần chứng minh \[a + b + c \le 3\sqrt 3 R\] Thật vậy: \[a + b + c \le 3\sqrt 3 R \Leftrightarrow 2R(\sin A + \sin B + \sin C) \le 3\sqrt 3 R\] tương đương \[\sin A + \sin B + \sin C \le \frac{{3\sqrt 3 }}{2}\] (đây là bất đẳng thức cơ bản trong tam giác). Bài toán 5 Chứng minh rằng trong $\Delta ABC$ ta luôn có: $$\dfrac{{h_a^2}}{{{b^2} + {c^2}}}.\dfrac{{h_b^2}}{{{c^2} + {a^2}}}.\dfrac{{h_c^2}}{{{a^2} + {b^2}}} \le {\left( {\dfrac{3}{8}} \right)^3}$$ Lời giải Áp dụng công thức ${h_a} = b\sin C$, định lí Sin, ta có: \[\frac{{h_a^2}}{{{b^2} + {c^2}}} = \frac{{{b^2}{{\sin }^2}C}}{{{b^2} + {c^2}}} = \frac{{{{\sin }^2}B{{\sin }^2}C}}{{{{\sin }^2}B + {{\sin }^2}C}} \le \frac{{{{\sin }^2}B{{\sin }^2}C}}{{2\sin B\sin C}} = \frac{1}{2}\sin B\sin C\] Tương tự, ta có: \[\frac{{h_b^2}}{{{c^2} + {a^2}}} \le \frac{1}{2}\sin C\sin A,\frac{{h_c^2}}{{{a^2} + {b^2}}} \le \frac{1}{2}\sin A\sin B\] Nhân các bất đẳng thức trên ta có: \[\frac{{h_a^2}}{{{b^2} + {c^2}}}.\frac{{h_b^2}}{{{c^2} + {a^2}}}.\frac{{h_c^2}}{{{a^2} + {b^2}}} \le \frac{1}{8}{(\sin A.\sin B.\sin C)^2}\] Ta chỉ cần chứng minh \[{(\sin A.\sin B.\sin C)^2} \le {\left( {\frac{{3\sqrt 3 }}{8}} \right)^2} \Leftrightarrow \sin A.\sin B.\sin C \le \frac{{3\sqrt 3 }}{8}\] (Đây là bất đẳng thức cơ bản trong tam giác dễ dàng chứng minh) Bài toán 6 Chứng minh rằng trong mọi $\Delta ABC$ nhọn, ta luôn có: $$\dfrac{1}{{ - {a^2} + {b^2} + {c^2}}} + \dfrac{1}{{{a^2} - {b^2} + {c^2}}} + \dfrac{1}{{{a^2} + {b^2} - {c^2}}} \ge \dfrac{1}{{2Rr}}$$ Lời giải Ta có: \[S = \frac{{abc}}{{4R}} = pr \Leftrightarrow R = \dfrac{{abc}}{{4rp}}\] Áp dụng định lí Cosin và công thức $R = \dfrac{{abc}}{{4rp}}$.Bất đẳng thức đã cho trở thành: \[\frac{a}{{c{\rm{osA}}}} + \frac{b}{{c{\rm{osB}}}} + \frac{c}{{c{\rm{osC}}}} \ge 2(a + b + c)\] tương đương \[\frac{{2R\sin A}}{{c{\rm{osA}}}} + \frac{{2R\sin B}}{{c{\rm{osB}}}} + \frac{{2R\sin C}}{{c{\rm{osC}}}} \ge 4R(\sin A + \sin B + \sin C)\] tương đương \[{\mathop{\rm t}\nolimits} {\rm{anA + tanB + tanC}} \ge 2({\rm{sinA + sinB + sinC)}} \qquad{(*)}\] Mặt khác ta đã biết hai bất đẳng thức cơ bản: \[{\mathop{\rm t}\nolimits} {\rm{anA + tanB + tanC}} \ge {\rm{3}}\sqrt {\rm{3}} \] và \[\sin A + \sin B + \sin C \le \frac{{3\sqrt 3 }}{2}\] Nên bất đẳng thức (*) đúng.Vậy ta có điều phải chứng minh. Bài toán 7 Cho $\Delta ABC$ có $a,b,c$ là độ dài tương ứng các cạnh BC, CA, AB và R là bán kính đường tròn ngoại tiếp của tam giác $\Delta ABC$.Chứng minh rằng: $$18{R^3} \ge ({a^2} + {b^2} + {c^2})R + \sqrt 3 abc$$ Lời giải Trước hết ta chứng minh \[{a^2} + {b^2} + {c^2} \le 9{R^2}\] Thật vậy, Áp dụng định lí Sin, ta có: \[{a^2} + {b^2} + {c^2} \le 9{R^2} \Leftrightarrow {\sin ^2}A + {\sin ^2}B + {\sin ^2}C \le \frac{9}{4} \qquad{(1)}\] Mặt khác, ta chứng minh \[abc \le {(R\sqrt 3 )^3} \Leftrightarrow \sin A\sin B\sin C \le \frac{{3\sqrt 3 }}{8} \qquad{(2)}\] Bất đẳng thức (1) và (2) là các bất đẳng thức cơ bản trong tam giác dễ dàng chứng minh. Từ (1) và (2) ta được điều phải chứng minh. Bài toán 8 Cho $\Delta ABC$ có $a,b,c$ là độ dài các cạnh và $S$ là diện tích của tam giác $\Delta ABC$ .Chứng minh rằng: $$\dfrac{{9abc}}{{a + b + c}} \ge 4\sqrt 3 .S$$ Lời giải Ta có: \[\frac{{9abc}}{{a + b + c}} \ge 4\sqrt 3 .S\] tương đương \[\frac{{9abc}}{{a + b + c}} \ge 4\sqrt 3 .\frac{{abc}}{{4R}} \Leftrightarrow 9R \ge \sqrt 3 (a + b + c)\] Áp dụng định lí Sin, ta có :\[a = 2R.\sin A,b = 2R.\sin B,c = 2R.\sin C\] Ta có: \[9R \ge \sqrt 3 (a + b + c)\] tương đương \[9R \ge 2\sqrt 3 R(\sin A + \sin B + \sin C)\] tương đương \[\sin A + \sin B + \sin C \le \frac{{3\sqrt 2 }}{2}\] (Bất đẳng thức này dễ dàng được chứng minh) Bài toán 9 Cho $\Delta ABC$ có $a,b,c$ là độ dài các cạnh và $S$ là diện tích của tam giác $\Delta ABC$ .Chứng minh rằng: $$3abc \ge 4\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} .S$$ Lời giải Áp dụng công thức $S = \dfrac{{abc}}{{4R}}$, ta có: \[3abc \ge 4\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} .S\] tương đương \[3abc \ge 4\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} .\frac{{abc}}{{4R}}\] tương đương \[3R \ge \sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \] tương đương \[9{R^2} \ge {a^2} + {b^2} + {c^2}\] Áp dụng định lí sin, ta có: \[9{R^2} \ge {a^2} + {b^2} + {c^2} \Leftrightarrow 9{R^2} \ge 4{R^2}({\sin ^2}A + {\sin ^2}B + {\sin ^2}C)\] tương đương \[{\sin ^2}A + {\sin ^2}B + {\sin ^2}C \le \frac{9}{4}\] (Bất đẳng thức cơ bản trong tam giác). Bài toán 10 Cho $\Delta ABC$ có $a,b,c$ là độ dài các cạnh và $S$ là diện tích của tam giác $\Delta ABC$ .Chứng minh rằng: $${a^2} + 2bc \ge 4S\sqrt 3$$ Lời giải Áp dụng định lí Cosin, ta có:\[{a^2} = {b^2} + {c^2} - 2bc.c{\rm{osA}} \ge {\rm{2bc(1 - }}c{\rm{osA)}}\qquad{(1)}\] Lại có:\[S = \frac{1}{2}bc\sin A \qquad{(2)}\] Từ (1) và (2) ta có: \[{a^2} + 2bc \ge 4S\sqrt 3 \] tương đương \[2bc(2 - c{\rm{osA}}) \ge 2\sqrt 3 bc\sin A\] tương đương \[2 - c{\rm{osA}} \ge \sqrt 3 \sin A\] tương đương \[\sqrt 3 \sin A + c{\rm{osA}} \le {\rm{2}}\] tương đương \[\frac{{\sqrt 3 }}{2}\sin A + \frac{1}{2}c{\rm{osA}} \le {\rm{1}}\] hay \[\sin (A + \frac{\pi }{6}) \le 1\](luôn đúng). Như vậy thông qua 10 ví dụ điển hình trên, chúng ta đã nắm rõ được phần nào ý tưởng sử dụng lượng giác chứng minh bất đẳng thức hình học, để kết thức bài viết xin mời bạn đọc thực hành một số ví dụ sau: Bài toán 11 Cho $\Delta ABC$ có $a,b,c$ là độ dài các cạnh và $p$ là nửa chu vi của tam giác $\Delta ABC$ .Chứng minh rằng: $$\sqrt{a(p-b)(p-c)}+\sqrt{b(p-c)(p-a)}+\sqrt{c(p-a)(p-b)}\leq \dfrac{3}{2}\sqrt{abc}$$ Bài toán 12 Cho $\Delta ABC$ có $a,b,c$ là độ dài các cạnh và $S$ là diện tích của tam giác $\Delta ABC$ .Chứng minh rằng: $$a^2+b^2+c^2\geq 4\sqrt{3}S+(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2$$ Bài toán 13 Cho $\Delta ABC$ có $a,b,c$ là độ dài các cạnh và $S$ là diện tích, $R$ là bán kính đường tròn ngoại tiếp của tam giác $\Delta ABC$ .Chứng minh rằng: $$3\sqrt{3}R\geq 2S$$ Bài toán 14 Cho $\Delta ABC$ có $a,b,c$ là độ dài các cạnh và $R,r$ lần lượt là bán kính đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp của tam giác $\Delta ABC$ .Chứng minh rằng: $$a(p-a)+b(p-b)+c(p-c)\le 9Rr$$ Bài toán 15 Cho $\Delta ABC$ có $a,b,c$ là độ dài các cạnh và $R$ là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác $\Delta ABC$ .Chứng minh rằng: $${a^2} + b^2+R^2 \ge c^2$$
