I. VECTƠ 1. Định nghĩa: Vectơ trong không gian là một đoạn thẳng có hướng. Kí hiệu \(\overrightarrow{AB}\) chỉ vectơ có điểm đầu A, điểm cuối B. Vectơ còn được kí hiệu là\(\overrightarrow{x},\overrightarrow{y},\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},...\) 2. Phép cộng và phép trừ vectơ trong không gian: · Quy tắc hình hộp: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có ba cạnh xuất phát từ đỉnh A là AB, AD, AA’ và có đường chéo là AC’. Khi đó ta có quy tắc hình hộp là: \(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AA'}=\overrightarrow{AC'}\) 3. Phép nhân vectơ với một số: Trong không gian, tích của vectơ \(\overrightarrow{a}\) với một số k ≠ 0 là vectơ\(k\overrightarrow{a}\) được định nghĩa tương tự như trong mặt phẳng và có các tính chất giống như các tính chất đã được xét trong mặt phẳng. II- ĐIỀU KIỆN ĐỒNG PHẲNG CỦA BA VECTƠ: 1. Khái niệm về sự đồng phẳng của ba vectơ trong không gian: Trường hợp các đường thẳng OA, OB, OC không cùng nằm trong một mặt phẳng, khi đó ta nói rằng ba vectơ \(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{c}\) không đồng phẳng. Trường hợp các đường thẳng OA, OB, OC cùng nằm trong một mặt phẳng thì ta nói ba vectơ \(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{c}\) đồng phẳng. * Chú ý:Việc xác định sự đồng phẳng hoặc không đồng phẳng của ba vectơ nói trên không phụ thuộc vào việc chọn điểm O. 2. Định nghĩa: Trong không gian ba vectơ được gọi là đồng phẳng nếu các giá của chúng cùng song song với một mặt phẳng. 3. Điều kiện để ba vectơ đồng phẳng: Định lí 1: Trong không gian cho hai vectơ \(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\) không cùng phương và vectơ \(\overrightarrow{c}\). Khi đó ba vectơ \(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{c}\)đồng phẳng khi và chỉ khi có cặp số m, n sao cho \(\overrightarrow{c}=m\overrightarrow{a}+n\overrightarrow{b}\) . Ngoài ra cặp số m, n là duy nhất. Định lí 2: Trong không gian cho ba vectơ không đồng phẳng \(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{c}\) . Khi đó với mọi vectơ \(\overrightarrow{x}\)ta đều tìm được một bộ ba số m, n, p sao cho \(\overrightarrow{x}=m\overrightarrow{a}+n\overrightarrow{b}+p\overrightarrow{c}\) . Ngoài ra bộ ba số m, n, p là duy nhất. III. Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng 1. ĐỊNH NGHĨA: Đường thẳng d được gọi là vuông góc với mặt phẳng (a) nếu d vuông góc với mọi đường thẳng a nằm trong mặt phẳng (a). Khi d vuông góc với (a) ta còn nói (a) vuông góc với d, hoặc d và (a) vuông góc với nhau. Kí hiệu: d(a). 2. ĐIỀU KIỆN ĐỂ ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI MẶT PHẲNG: Định lí: Nếu một đường thẳng vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau cùng thuộc một mặt phẳng thì nó vuông góc với mặt phẳng ấy. Hệ quả: Nếu một đường thẳng vuông góc với hai cạnh của một tam giác thì nó cũng vuông góc với cạnh thứ ba của tam giác đó. 3. TÍNH CHẤT: Tính chất 1: Có duy nhất một mặt phẳng đi qua một điểm cho trước và vuông góc với một đường thẳng cho trước. * Mặt phẳng trung trực của một đoạn thẳng: Người ta gọi mặt phẳng đi qua trung điểm I của đoạn thẳng AB và vuông góc với đường thẳng AB là mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB. Tính chất 2: Có duy nhất một đường thẳng đi qua một điểm cho trước và vuông góc với một mặt phẳng cho trước. 4. LIÊN HỆ GIỮA QUAN HỆ SONG SONG VÀ QUAN HỆ VUÔNG GÓC CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG: Tính chất 1: a) Cho hai đường thẳng song song. Mặt phẳng nào vuông góc với đường thẳng này thì cũng vuông góc với đường thẳng kia. b) Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì song song với nhau. Tính chất 2: a) Cho hai mặt phẳng song song. Đường thẳng nào vuông góc với mặt phẳng này thì cũng vuông góc với mặt phẳng kia. b) Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song với nhau. Tính chất 3: a) Cho đường thẳng a và mặt phẳng (a) song song với nhau. Đường thẳng nào vuông góc với (a) thì cũng vuông góc với a. b) Nếu một đường thẳng và một mặt phẳng (không chứa đường thẳng đó) cùng vuông góc với một đường thẳng khác thì chúng song song với nhau. 5. PHÉP CHIẾU VUÔNG GÓC VÀ ĐỊNH LÍ BA ĐƯỜNG VUÔNG GÓC: a) Phép chiếu vuông góc: Cho đường thẳng D vuông góc với mặt phẳng (a). Phép chiếu song song theo phương của D lên mặt phẳng (a) được gọi là phép chiếu vuông góc lên mặt phẳng (a). * Lưu ý : Phép chiếu vuông góc lên một mặt phẳng là trường hợp đặc biệt của phép chiếu song song nên có đầy đủ các tính chất của phép chiếu song song. Chú ý rằng người ta còn dùng tên gọi “phép chiếu lên mặt phẳng (a)” thay cho tên gọi “phép chiếu vuông góc lên mặt phẳng (a)” và dùng tên gọi H' là hình chiếu của H trên mặt phẳng (a) thay cho tên gọi là hình chiếu vuông góc của H trên mặt phẳng (a). b) Định lí ba đường vuông góc: Cho đường thẳng a nằm trong mặt phẳng (a) và b là đường thẳng không thuộc(a) đồng thời không vuông góc với (a). Gọi b’ là hình chiếu vuông góc của b trên (a). Khi đó a vuông góc với b khi và chỉ khi a vuông góc với b’. c) Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng: Định nghĩa: Cho đường thẳng d và mặt phẳng (a). - Trường hợp đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (a) thì ta nói rằng góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (a) bằng 90 độ - Trường hợp đường thẳng d không vuông góc với mặt phẳng (a) thì góc giữa d và hình chiếu d’ của nó trên (a) gọi là góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (a). * Chú ý: Nếu là góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (a) thì ta luôn có \(0^0\) và \(90^0\) IV. Hai mặt phẳng vuông góc. 1. Góc giữa hai mặt phẳng a. Định nghĩa: Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng lần lượt vuông góc với hai mặt phẳng đó. Nếu hai mặt phẳng song song hoặc trùng nhau thì ta nói rằng góc giữa hai mặt phẳng đó bằng 00. b. Cách xác định góc giữa hai mặt phẳng cắt nhau: Giả sử hai mặt phẳng (a) và (b) cắt nhau theo giao tuyến c. Từ một điểm I bất kì trên c ta dựng trong (a) đường thẳng a vuông góc với c và dựng trong (b) đường thẳng b vuông góc với c. Người ta chứng minh được góc giữa hai mặt phẳng (a) và (b) là góc giữa hai đường thẳng a và b. c. Diện tích hình chiếu của một đa giác: Cho đa giác H nằm trong mặt phẳng (a) có diện tích là S và H’ là hình chiếu vuông góc của H trên mặt phẳng(b), gọi j là góc giữa mp(a) và mp(b). Khi đó diện tích S’ của H’ được tính theo công thức: S’ = Scos 2. Hai mặt phẳng vuông góc a. Định nghĩa: Hai mặt phẳng gọi là vuông góc với nhau nếu góc giữa hai mặt phẳng đó là góc vuông. Nếu hai mặt phẳng (a) và(b) vuông góc với nhau ta kí hiệu (a)(b). b. Các định lí: Định lí 1: Điều kiện cần và đủ để hai mặt phẳng vuông góc với nhau là mặt phẳng này chứa một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng kia. Hệ quả 1: Nếu hai mặt phẳng vuông góc với nhau thì bất cứ đường thẳng nào nằm trong mặt phẳng này và vuông góc với giao tuyến thì vuông góc với mặt phẳng kia. Hệ quả 2: Cho hai mặt phẳng (a) và (b) vuông góc với nhau. Nếu từ một điểm thuộc mặt phẳng (a) ta dựng một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (b) thì đường thẳng này nằm trong mặt phẳng (a). Định lí 2: Nếu hai mặt phẳng cắt nhau và cùng vuông góc với một mặt phẳng thì giao tuyến của chúng vuông góc với mặt phẳng đó. V. KHOẢNG CÁCH 1. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng: Cho điểm O và đường thẳng a. Trong mặt phẳng (O,a) gọi H là hình chiếu vuông góc của O trên a. Khi đó khoảng cách giữa hai điểm O và H được gọi là khoảng cách từ điểm O đến đường thẳng a, kí hiệu làd(O,a). 2. Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng: Cho điểm O và mặt phẳng (a). Gọi H là hình chiếu vuông góc của O lên mặt phẳng (a). Khi đó khoảng cách giữa hai điểm O và H được gọi là khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng (a) và được kí hiệu là d(O, (a)). 3. Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song: Định nghĩa: Cho đường thẳng a song song với mặt phẳng (a). Khoảng cách giữa đường thẳng a và mặt phẳng (a) là khoảng cách từ một điểm bất kì của a đến mặt phẳng (a), kí hiệu là d(a, (a)). 4. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song: Định nghĩa: Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song là khoảng cách từ một điểm bất kì của mặt phẳng này đến mặt phẳng kia. Ta kí hiệu khoảng cách giữa hai mặt phẳng (a) và (b) song song với nhau là d((a),(b)). Khi đó d((a),(b)) = d(M, (b)) với M(a), và d((a),(b)) = d(M’,(a)) với M’(b). 5. Đường vuông góc chung và khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau a. Định nghĩa: #) Đường thẳng cắt hai đường thẳng chéo nhau a, b và cùng vuông góc với mỗi đường thẳng ấy được gọi là đường vuông góc chung của a và b. #) Nếu đường vuông góc chung cắt hai đường thẳng chéo nhau a, b lần lượt tại M, N thì độ dài đoạn thẳng MN gọi là khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau a và b. b. Cách tìm đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau: Cho hai đường thẳng chéo nhau a và b. Gọi (b) là mặt phẳng chứa b và song song với a, a’ là hình chiếu vuông góc của a trên mặt phẳng (b). Vì a // (b) nên a // a’. Do đó a’ và b’ cắt nhau tại một điểm. Gọi điểm này là N. Gọi (a) là mặt phẳng chứa a và a’là đường thẳng đi qua N và vuông góc với (b). Khi đó (a) vuông góc với (b). Như vậy D nằm trong (a)nên cắt đường thẳng a tại M và cắt đường thẳng b tại N, đồng thời cùng vuông góc với cả a và b. Do đó là đường vuông góc chung của a và b. c. Nhận xét: #) Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng khoảng cách giữa một trong hai đường thẳng đó và mặt phẳng song song với nó chứa đường thẳng còn lại. #) Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song lần lượt chứa hai đường thẳng đó.
Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. Tìm hệ thức sai trong số các hệ thức dưới đây ? \(\overrightarrow{AC'}+\overrightarrow{CA'}+2\overrightarrow{C'C}=\overrightarrow{0}\) \(\overrightarrow{AC'}+\overrightarrow{A'C}=2\overrightarrow{AC}\) \(\overrightarrow{AC'}+\overrightarrow{A'C}=\overrightarrow{A'A}\) \(\overrightarrow{CA'}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{CC'}\) Hướng dẫn giải:
Cho khối tứ diện ABCD. Gọi P là trung điểm AC, Q là trung điểm BD. Tìm hệ thức đúng? \(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{CD}=4\overrightarrow{PQ}\) \(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{CD}=2\overrightarrow{PQ}\) \(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{CD}=3\overrightarrow{PQ}\) \(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{PQ}\) Hướng dẫn giải:
Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D'. Gọi I là tâm của mặt CDD'C'. Tìm hệ thức liên quan giữa \(\overrightarrow{AI}\) với các vectơ \(\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AD};\overrightarrow{AA'}\) . \(\overrightarrow{AI}=\frac{\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AA'}}{2}+\overrightarrow{AD}\) \(\overrightarrow{AI}=\frac{\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}}{2}+\overrightarrow{AA'}\) \(\overrightarrow{AI}=\frac{\overrightarrow{AA'}+\overrightarrow{AD}}{2}+\overrightarrow{AB}\) \(\overrightarrow{AI}=\frac{\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AA'}+AD}{2}\) Hướng dẫn giải:
Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D'. Gọi O là tâm của hình lập phương. Tìm hệ thức giữa \(\overrightarrow{AO}\) và các vectơ \(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD},\overrightarrow{AA'}\) . \(\overrightarrow{AO}=\frac{\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AA'}}{3}\) \(\overrightarrow{AO}=\frac{\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AA'}}{4}\) \(\overrightarrow{AO}=\frac{\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AA'}}{2}\) \(\overrightarrow{AO}=\frac{2\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AA'}\right)}{3}\) Hướng dẫn giải: Ta có \(\overrightarrow{AO}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AC}=\dfrac{1}{2}\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AA'}\right)\)
Cho tứ diện ABCD, giả sử \(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{b};\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{c};\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{d}\). Gọi G là trọng tâm của tam giác BCD. Tìm hệ thức giữa \(\overrightarrow{AG}\) và 3 vectơ \(\overrightarrow{b};\overrightarrow{c};\overrightarrow{d}\) . \(\overrightarrow{AG}=\frac{\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}+\overrightarrow{d}}{4}\) \(\overrightarrow{AG}=\frac{\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}+\overrightarrow{d}}{3}\) \(\overrightarrow{AG}=\frac{\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}+\overrightarrow{d}}{2}\) \(\overrightarrow{AG}=\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}+\overrightarrow{d}\) Hướng dẫn giải:
Cho khối tứ diện ABCD. Nếu \(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{a};\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{b};\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{c}\) . Gọi M là trung điểm của BC thì ta có hệ thức nào dưới đây? \(\overrightarrow{DM}=\frac{\overrightarrow{a}+\overrightarrow{c}-2\overrightarrow{b}}{2}\) \(\overrightarrow{DM}=\frac{\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}-2\overrightarrow{a}}{2}\) \(\overrightarrow{DM}=\frac{\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}-2\overrightarrow{c}}{2}\) \(\overrightarrow{DM}=\frac{\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b}-2\overrightarrow{c}}{2}\) Hướng dẫn giải: \(\overrightarrow{DM}=\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{AM}=-\overrightarrow{c}+\frac{\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}}{2}=\frac{\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}-2\overrightarrow{c}}{2}\)
Cho khối tứ diện ABCD. M là trung điểm AC; N là trung điểm BD. Hãy chọn hệ thức SAI trong số các hệ thức dưới đây: \(\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MD}=2\overrightarrow{MN}\) \(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD}=2\overrightarrow{MN}\) \(\overrightarrow{NC}+\overrightarrow{NA}=2\overrightarrow{MN}\) \(\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{CB}=2\overrightarrow{MN}\) Hướng dẫn giải:
Cho ba điểm thẳng hàng A, B, C và một điểm M tùy ý trong không gian. Tìm hệ thức đúng. \(2\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}-3\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{AB}-3\overrightarrow{AC}\) \(2\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}-3\overrightarrow{MC}=3\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}\) \(2\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}-3\overrightarrow{MC}=3\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}\) \(2\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}-3\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{AC}-3\overrightarrow{AB}\) Hướng dẫn giải:
Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. AC' cắt mặt phẳng (A'BD) tại E , cắt mặt phẳng (CB'D') tại F. Xác định hệ thức sai ? \(\overrightarrow{EA'}+\overrightarrow{EB}+\overrightarrow{ED}=\overrightarrow{0}\) \(\overrightarrow{FC}+\overrightarrow{FD'}+\overrightarrow{FB'}=\overrightarrow{0}\) \(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AA'}=2\overrightarrow{AC'}\) \(\overrightarrow{EF}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AC'}\) Hướng dẫn giải:
