Cho hình chóp S.ABC đều. Biết khoảng cách từ S đến mp(ABC) bằng \(\dfrac{a\sqrt{6}}{3}\) và tam giác ABC đều cạnh a. Tính khoảng cách giữa SA và BC. \(\dfrac{a\sqrt{2}}{2}\) \(\dfrac{a\sqrt{6}}{3}\) \(a\sqrt{2}\) \(\dfrac{a\sqrt{3}}{4}\) Hướng dẫn giải: \(AH=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}\); \(AO=\dfrac{2}{3}AH=\dfrac{a\sqrt{3}}{3}\); \(SA=\sqrt{AO^2+SO^2}=\sqrt{\left(\dfrac{a\sqrt{3}}{3}\right)^2+\left(\dfrac{a\sqrt{6}}{3}\right)^2}=a\). Suy ra hình chóp S.ABC là tứ diện đều. Gọi I là trung điểm của SA, suy ra IH là đường vuông góc chung của SA và BC. Suy ra \(IH.SA=AH.SO\Leftrightarrow IH=\dfrac{AH.SO}{SA}=\dfrac{\dfrac{a\sqrt{3}}{2}.\dfrac{a\sqrt{6}}{3}}{a}=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}\).
Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, BB' = a và hình chiếu của B lên mp(A'B'C') trùng với trọng tâm của tam giác A'B'C'. Độ dài đường vuông góc chung của BB' và AC là: \(\dfrac{\sqrt{2}}{2}a\) \(\sqrt{2}a\) \(\dfrac{\sqrt{6}a}{3}\) \(\sqrt{3}a\) Hướng dẫn giải: Gọi M là trung điểm của A'C', G là trọng tâm của tam giác A'B'C'. Có \(B'G\perp A'C'\) và \(BG\perp A'C'\) nên \(\left(B'BG\right)\perp A'C'\) hay \(\left(B'BM\right)\perp A'C'\). Trong \(mp\left(B'BM\right)\), kẻ \(MK\perp B'B\left(K\in B'B\right)\), suy ra MK là đường vuông góc chung của B'B và A'C.. \(B'M=\dfrac{\sqrt{3}a}{2}\); \(BG=\sqrt{B'B^2-B'G^2}=\sqrt{a^2-\left(\dfrac{2}{3}.\dfrac{\sqrt{3}a}{2}\right)^2}=\dfrac{\sqrt{6}a}{3}\). Dựa vào công thức tính diện tích tam giác tam giác ta có: \(BG.B'M=MK.B'B\) \(\Leftrightarrow MK=\dfrac{BG.B'M}{B'B}=\dfrac{\dfrac{\sqrt{6}a}{3}.\dfrac{\sqrt{3}a}{2}}{a}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}a\).
Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông đỉnh B, AB = a, SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA = 2a. Khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC) bằng \(\dfrac{\sqrt{5}a}{3}\) \(\dfrac{\sqrt{5}a}{5}\) \(\dfrac{2\sqrt{2}a}{3}\) \(\dfrac{2\sqrt{5}a}{5}\) Hướng dẫn giải: Ta thấy :\(\left\{{}\begin{matrix}BC\perp BA\\BC\perp SA\end{matrix}\right.\Rightarrow BC\perp\left(SAB\right)\) Trong mặt phẳng (SAB), kẻ AH vuông góc SB. Ta thấy ngay \(BC\perp\left(SAB\right)\Rightarrow BC\perp AH\) Do \(\left\{{}\begin{matrix}AH\perp BS\\AH\perp BC\end{matrix}\right.\Rightarrow AH\perp\left(SBC\right)\) Vậy nên \(d\left(A;\left(SBC\right)\right)=AH.\) Tam giác ABS vuông tại A có chiều cao AH nên áp dụng hệ thức lượng ta có: \(\dfrac{1}{AH^2}=\dfrac{1}{AS^2}+\dfrac{1}{AB^2}\Rightarrow AH=\dfrac{2\sqrt{5}a}{5}\)
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật, AB = a, BC = 2a, SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA = a. Khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và SB bằng: \(\dfrac{2a}{3}\) \(\dfrac{a}{2}\) \(\dfrac{a}{3}\) \(\dfrac{\sqrt{6}a}{2}\)
Cho tứ diện ABCD. Gọi G là trọng tâm của tứ diện và A' là trọng tâm tam giác BCD. Xét các khẳng định sau: 1) \(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{GD}=\overrightarrow{0}\). 2) \(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{MD}=4\overrightarrow{MG}\) với M là một điểm tùy ý. 3) \(\overrightarrow{GA}=-\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AA'}\). 4) \(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AD}=3\overrightarrow{AA'}\). Các khẳng định đúng là: (1) ; (2); (3). (2); (3); (4). (1);(2);(3);(4). (3); (4).
Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D'. Gọi O là giao điểm của AC' và BD', I là giao điểm của BD và AC. Chọn khẳng định SAI: \(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}+\overrightarrow{OA'}+\overrightarrow{OB'}+\overrightarrow{OC'}+\overrightarrow{OD'}=\overrightarrow{0}\). \(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AA'}=\overrightarrow{AC'}\). \(\overrightarrow{OI}=-\dfrac{1}{2}\left(\overrightarrow{CA}-\overrightarrow{A'A}\right)\). \(\overrightarrow{AI}=\dfrac{1}{2}\left(\overrightarrow{A'B'}+\overrightarrow{A'D'}\right)\).
Mệnh đề nào sau đây ĐÚNG: Hai đường thẳng cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song với nhau. Hai đường thẳng cùng vuông góc với một đường thẳng thì vuông góc với nhau. Một đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng song song thì vuông góc với đường thẳng kia. Một đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng vuông góc với nhau thì song song với đường thẳng còn lại.
Cho hai mặt phẳng phân biệt \(\left(P\right),\left(Q\right)\) và \(a\perp\left(P\right)\). Mệnh đề nào sau đây là SAI: Nếu \(\left(P\right)\) // \(\left(Q\right)\) thì \(a\perp\left(Q\right)\). Nếu \(a\) // \(\left(Q\right)\) thì \(\left(P\right)\perp\left(Q\right)\). Nếu \(a\perp\left(Q\right)\) thì \(\left(P\right)\) // \(\left(Q\right)\). Nếu \(\left(P\right)\perp\left(Q\right)\) thì \(a\) \(\perp\left(Q\right)\).
Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau: Hai đường thẳng cùng vuông góc với một mặt phẳng thì vuông góc với nhau. Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song. Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng song song. Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì song song.
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng: Hai mặt phẳng vuông góc với nhau thì mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng này sẽ vuông góc với mặt phẳng kia. Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì vuông góc với nhau. Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì song song với nhau. Ba mệnh đề còn lại đều sai.
