Cho khối tứ diện ABCD. G là trọng tâm của tứ diện. A' là trọng tâm của tam giác BCD. M là một điểm tùy ý trong không gian. Hãy chọn hệ thức sai ? \(\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{GD}=3\overrightarrow{GA'}\) \(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{GD}=\overrightarrow{O}\) \(\overrightarrow{AA'}=3\overrightarrow{AG}\) \(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{MD}=4\overrightarrow{MG}\) Hướng dẫn giải:
Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. Hãy chọn hệ thức sai : \(\overrightarrow{AA'}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AC'}\) \(\overrightarrow{A'B'}+\overrightarrow{A'D'}+\overrightarrow{A'A}=\overrightarrow{AC'}\) \(\overrightarrow{C'D'}+\overrightarrow{C'B'}+\overrightarrow{CC'}=\overrightarrow{C'A}\) \(\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BB'}=\overrightarrow{D'B}\) Hướng dẫn giải:
Cho hình lăng trụ ABC.A'B'C'. M là trung điểm của BB'. Đặt \(\overrightarrow {CA} = \overrightarrow a ,\,\overrightarrow {CB} = \overrightarrow b ,\,\overrightarrow {CC'} = \overrightarrow c \) Khẳng định nào sau đây đúng? \(\overrightarrow {AM} = \overrightarrow b + \overrightarrow c - \frac{1}{2}\overrightarrow a \) \(\overrightarrow {AM} = \overrightarrow a - \overrightarrow c - \frac{1}{2}\overrightarrow b \) \(\overrightarrow {AM} = \overrightarrow a + \overrightarrow c - \frac{1}{2}\overrightarrow b \) \(\overrightarrow {AM} = \overrightarrow b - \overrightarrow a + \frac{1}{2}\overrightarrow c \)
Trong không gian cho điểm O và bốn điểm A, B, C, D không thẳng hàng. Đẳng thức nào sau đây là điều kiện cần và đủ để ABCD là một hình bình hành? \(\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} + \overrightarrow {OD} = \overrightarrow 0 \) \(\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OC} = \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OD} \) \(\overrightarrow {OA} + \frac{1}{2}\overrightarrow {OB} = \overrightarrow {OC} + \frac{1}{2}\overrightarrow {OD} \) \(\overrightarrow {OA} + \frac{1}{2}\overrightarrow {OC} = \overrightarrow {OB} + \frac{1}{2}\overrightarrow {OD} \) Hướng dẫn giải: \(\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OC} = \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OD} \) tương đương dấu hiệu tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Đặt \(\overrightarrow {SA} = \overrightarrow a ,\,\overrightarrow {SB} = \overrightarrow b ,\,\overrightarrow {SC} = \overrightarrow c ,\,\overrightarrow {SD} = \overrightarrow d \). Khẳng định nào sau đây đúng? \(\overrightarrow a + \overrightarrow c = \overrightarrow b + \overrightarrow d \) \(\overrightarrow a + \overrightarrow b = \overrightarrow c + \overrightarrow d \) \(\overrightarrow a + \overrightarrow d = \overrightarrow b + \overrightarrow c \) \(\overrightarrow a + \overrightarrow c + \overrightarrow b + \overrightarrow d = \overrightarrow 0 \) Hướng dẫn giải: Giao điểm O hai đường chéo của hình bình hành ABCD là trung điểm mỗi đường nên \(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{c}=2\overrightarrow{SO};\overrightarrow{b}+\overrightarrow{d}=2\overrightarrow{SO}\) Do đó \(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{c}=\overrightarrow{b}+\overrightarrow{d}.\)
Cho tứ diện ABCD. Gọi M và P lần lượt là trung điểm của AB và CD. Đặt \(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{b};\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{c};\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{d}.\) Khẳng định nào dưới đây là đúng? \(\overrightarrow {MP} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow c + \overrightarrow d - \overrightarrow b } \right)\) \(\overrightarrow {MP} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow d + \overrightarrow b - \overrightarrow c } \right)\) \(\overrightarrow {MP} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow c + \overrightarrow b - \overrightarrow d } \right)\) \(\overrightarrow {MP} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow c + \overrightarrow d + \overrightarrow b } \right)\) Hướng dẫn giải: Ta có \(\overrightarrow{MP}=\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{AP}=-\dfrac{\overrightarrow{AB}}{2}+\dfrac{\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AD}}{2}=\dfrac{1}{2}\left(\overrightarrow{c}+\overrightarrow{d}-\overrightarrow{b}\right)\)
Gọi O là tâm của hình hộp ABCD. A'B'C'D và I' là tâm hình bình hành A'B'C'D'. Đặt \(\overrightarrow{AC'}=\overrightarrow{u};\overrightarrow{CA'}=\overrightarrow{v};\overrightarrow{BD'}=\overrightarrow{x};\overrightarrow{DB'}=\overrightarrow{y}.\) Khẳng định nào dưới đây là đúng? \(2\overrightarrow {OI'} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow u + \overrightarrow v + \overrightarrow x + \overrightarrow y } \right)\) \(2\overrightarrow {OI'} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow u + \overrightarrow v + \overrightarrow x + \overrightarrow y } \right)\) \(2\overrightarrow {OI'} = \frac{1}{4}\left( {\overrightarrow u + \overrightarrow v + \overrightarrow x + \overrightarrow y } \right)\) \(2\overrightarrow {OI'} = - \frac{1}{4}\left( {\overrightarrow u + \overrightarrow v + \overrightarrow x + \overrightarrow y } \right)\) Hướng dẫn giải: Ta có \(\overrightarrow{OI'}=\overrightarrow{\dfrac{OA'}{2}}+\dfrac{\overrightarrow{OC'}}{2}=\dfrac{\overrightarrow{CA'}}{4}+\dfrac{\overrightarrow{AC'}}{4}\) \(\overrightarrow{OI'}=\overrightarrow{\dfrac{OB'}{2}}+\dfrac{\overrightarrow{OD'}}{2}=\dfrac{\overrightarrow{DB'}}{4}+\dfrac{\overrightarrow{BD'}}{4}\) Vậy nên \(2\overrightarrow {OI'} = \frac{1}{4}\left( {\overrightarrow u + \overrightarrow v + \overrightarrow x + \overrightarrow y } \right)\).
Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. Gọi I và K lần lượt là tâm của hình bình hành ABB'A' và BCC'B'. Khẳng định nào sau đây sai ? \(\overrightarrow {IK} = \frac{1}{2}\overrightarrow {AC} = \frac{1}{2}\overrightarrow {A'C'} \). \(\overrightarrow {BD} + 2\overrightarrow {IK} = 2\overrightarrow {BC} \). Bốn điểm I, K ,C , A đồng phẳng. Ba vecto \(\overrightarrow{BD};\overrightarrow{IK};\overrightarrow{B'C'}\) không đồng phẳng.
Cho tứ diện ABCD. Người ta định nghĩa "G là trọng tâm tứ diện ABCD khi và chỉ khi \(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{GD}=\overrightarrow{0}\) ". Khẳng định nào sau đây là sai? G là trung điểm của đoạn IJ (I, J lần lượt là trung điểm của AB và CD). G là trung điểm của đoạn thẳng nối trung điểm của AB và CD. G là trung điểm của đoạn thẳng nối trung điểm của AD và BC. Chưa thể xác định được.
Cho tứ diện ABCD có G là trọng tâm tam giác BCD. Đặt \(\overrightarrow x = \overrightarrow {AB} ,\,\overrightarrow {\,y} = \overrightarrow {AC} ,\,\,\overrightarrow z = \overrightarrow {AD} \). Khẳng định nào sau đây là đúng? \(\overrightarrow {AG} = \frac{1}{3}\left( {\overrightarrow x + \overrightarrow y + \overrightarrow z } \right)\) \(\overrightarrow{AG}=-\dfrac{1}{3}\left(\overrightarrow{x}+\overrightarrow{y}+\overrightarrow{z}\right)\) \(\overrightarrow{AG}=\dfrac{2}{3}\left(\overrightarrow{x}+\overrightarrow{y}+\overrightarrow{z}\right)\) \(\overrightarrow{AG}=-\dfrac{2}{3}\left(\overrightarrow{x}+\overrightarrow{y}+\overrightarrow{z}\right)\) Hướng dẫn giải: Ta có: \(\overrightarrow{AG}=\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{MG}=\dfrac{\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}}{2}+\dfrac{\overrightarrow{MD}}{3}\) \(=\dfrac{\overrightarrow{x}+\overrightarrow{y}}{2}+\dfrac{\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{AD}}{3}=\dfrac{\overrightarrow{x}+\overrightarrow{y}}{2}+\dfrac{-\dfrac{\overrightarrow{x}+\overrightarrow{y}}{2}+\overrightarrow{z}}{3}\) \(=\dfrac{\overrightarrow{x}+\overrightarrow{y}+\overrightarrow{z}}{3}.\)
