Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' có tâm O. Đặt \(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{a},\, \overrightarrow{BC}=\overrightarrow{b}\). M là điểm xác định bởi \(\overrightarrow{OM}=\dfrac{1}{2}\left(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}\right)\) . Khẳng định nào sau đây là đúng? M là tâm hình bình hành ABB'A'. M là tâm hình bình hành BCC'B'. M là trung điểm BB'. M là trung điểm CC'. Hướng dẫn giải: Ta thấy \(\overrightarrow{OM}=\dfrac{1}{2}\left(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}\right)=\dfrac{1}{2}\left(\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{CB}\right)=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{DB}=\overrightarrow{OM'}\) Với M' là trung điểm BB'. Vậy M là trung điểm BB'.
Trong không gian cho ba đường thẳng phân biệt a, b, c. Khẳng định nào sau đây là sai? Nếu a và b cùng nằm trong một mặt phẳng và cùng vuông góc với c thì a//b. Nếu a//b và c\(\perp\)a thì \(c\perp b.\) Nếu góc giữa a và c bằng góc giữa b và c thì a//b. Nếu a và b cùng nằm trong mặt phẳng \(\left(\alpha\right)\) // c thì góc giữa a và c bằng góc giữa b và c.
Cho tứ diện ABCD có \(AB=CD=a,\, IJ=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}\) (I, J lần lượt là trung điểm của BC và AD). Số đo góc giữa hai đường thẳng AB và CD là bao nhiêu? $30^o$ $45^o$ $90^o$ $60^o$
Cho hình chóp \[S.ABC\] có cạnh \[SA \bot \left( {ABC} \right)\] và đáy \[ABC\] là tam giác cân ở\[C\] . Gọi \[H\] và \[K\] lần lượt là trung điểm của \[AB\] và\[SB\] . Khẳng định nào sau đây có thể sai ? \[CH \bot SA\]. \[CH \bot SB\]. \[CH \bot AK\]. \[AK \bot SB\;\].
Cho tứ diện ABCD có AC = BD. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của AB, BC, CD, DA. Tính số đo góc \(\left(MP,NQ\right)\) ta được kết quả: \(45^o\) \(90^o\) \(60^o\) Kết quả khác Hướng dẫn giải: Tứ giác MNPQ là hình bình hành. Mặt khác do AC = BD nên tứ giác MNPQ là hình thoi. Vì vậy \(MP\perp PQ\).
Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D'. Chọn khẳng định đúng: \(CD\perp C'D'\) \(CD\perp A'C'\) \(A'B\perp DC'\) \(AD\perp B'C'\)
Cho tứ diện ABCD có \(AB=AC=AD\) và \(\widehat{BAC}=\widehat{BAD}=60^o,\widehat{CAD}=90^o\). Xác định góc giữa AB, CD. \(60^o\) \(45^o\) \(120^o\) \(90^o\) Hướng dẫn giải: Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của AC, BC, AD. Theo tính chất của đường trung bình của tam giác ta có MN // AB và MP // DC. Tam giác ABC, tam giác ACD đều nên ta đặt \(AB=AC=AD=BC=DC=a\) . Theo tính chất đường trung bình của tam giác: \(MN=\dfrac{1}{2}AB\) \(=\) \(MP=\dfrac{1}{2}DC\)\(=\dfrac{1}{2}a\). \(AN=\sqrt{AB^2-BN^2}=\sqrt{a^2-\left(\dfrac{a}{2}\right)^2}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}a\). \(ND=\sqrt{a^2+\left(\dfrac{a}{2}\right)^2}=\dfrac{\sqrt{5}a}{2}\). NP là đường trung tuyến của NAD nên \(NP=\sqrt{\dfrac{2\left(NA^2+ND^2\right)-AD^2}{4}}=\sqrt{\dfrac{2\left[\left(\dfrac{\sqrt{3}a}{2}\right)^2+\left(\dfrac{\sqrt{5}a}{2}\right)^2\right]-a^2}{4}}\)\(=\dfrac{\sqrt{3}}{2}a\). \(cos\widehat{NMP}\) \(=\dfrac{MN^2+MP^2-NP^2}{2MN.MP}=\dfrac{\left(\dfrac{a}{2}\right)^2+\left(\dfrac{a}{2}\right)^2-\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^2}{2.\dfrac{a}{2}.\dfrac{a}{2}}=-\dfrac{1}{2}\). Suy ra \(\widehat{NMP}=120^o\). vậy góc giữa AB và CD bằng \(60^o\).
Cho hình lập phương ABCD.EFGH. Góc giữa AF và EG bằng: \(30^o\) \(90^o\) \(0^o\) \(60^o\) Hướng dẫn giải: Ta chứng minh được rằng AF = FC = AC . Do EG // AC nên góc giữa hai đường thẳng AF và EG bằng góc giữa AF và AC. Tam giác AFC đều nên \(\widehat{FAC}=60^o\).
Qua một điểm O cho trước có bao nhiêu đường thẳng vuông góc với đường thẳng \(\left(\Delta\right)\) cho trước? 2 3 1 vô số
Cho tứ diện đều ABCD. Góc giữa hai cạnh AB và CD bằng bao nhiêu? \(90^o\) \(45^o\) \(60^o\) \(30^o\) Hướng dẫn giải: Đặt \(AB=AD=AC=BD=BC=DC=a\). Theo tính chất đường trung bình của tam giác ta có: \(MP=MN=\dfrac{a}{2}\). \(PD=\sqrt{a^2-\left(\dfrac{a}{2}\right)^2}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}a\). \(PN=\sqrt{PD^2-ND^2}=\sqrt{\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}a\right)^2-\left(\dfrac{a}{2}\right)^2}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}a\). \(cos\widehat{PMN}=\dfrac{\left(\dfrac{a}{2}\right)^2+\left(\dfrac{a}{2}\right)^2-\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}a\right)^2}{2.\dfrac{a}{2}.\dfrac{a}{2}}=0\). Vậy góc giữa AB và CD bằng \(90^o\).
