Cho tứ diện ABCD có \(AB=CD=a,IJ=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}\) (\(I,J\) lần lượt là trung điểm của BC và AD). Số đo góc giữa hai đường thẳng AB và CD là: \(60^o\) \(40^o\) \(50^o\) \(30^o\) Hướng dẫn giải: Gọi K là trung điểm của AB. Góc giữa hai đường thẳng AB và CD bằng góc giữa KI và KJ. Áp dụng định lý Cô-sin ta có: \(cos\widehat{IKJ}=\dfrac{KI^2+KJ^2-IJ^2}{2KI.KJ}\) \(=\dfrac{\left(\dfrac{a}{2}\right)^2+\left(\dfrac{a}{2}\right)^2-\left(\dfrac{a\sqrt{3}}{2}\right)^2}{2.\dfrac{a}{2}.\dfrac{a}{2}}=-\dfrac{1}{2}\). Suy ra góc giữa hai đường thẳng KI và KJ bằng \(60^o\) hay góc giữa AB và CD bằng \(60^o\).
Cho hình chóp S.ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a và \(\widehat{ADC}=120^o\). Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD và SD. Tính số đo của góc (MN,SC) ta được kết quả: \(60^o\) \(120^o\) \(30^o\) \(45^o\) Hướng dẫn giải: Do MN // SA nên (MN,SC) = (SA, SC). Áp dụng định lý Cô-sin trong tam giác ADC ta có: \(AC^2=AD^2+DC^2-2.AD.DC.cos\widehat{ADC}\) \(=a^2+a^2-2.a.a.\left(-\dfrac{1}{2}\right)=3a^2\). Suy ra \(AC=\sqrt{3}a\). \(cos\widehat{ASC}=\dfrac{a^2+a^2-3a^2}{2.a.a}=-\dfrac{1}{2}\). Suy ra \(\widehat{ASC}=120^o\). vậy \(\left(MN,SC\right)=60^o\).
Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau và OA = OB = OC. Gọi M là trung điểm của BC (tham khảo hình vẽ bên). Góc giữa hai đường thẳng OM và AB bằng: \(90^o\) \(30^o\) \(60^o\) \(45^o\) Hướng dẫn giải: Cách 1 (tự luận): Gọi N là trung điểm của AC. Ta thấy ngay MN là đường trung bình tam giác ABC. Vậy thì AB song song và bằng một nửa AB. Khi đó ta có \(\widehat{\left(OM;AB\right)}=\widehat{\left(OM;MN\right)}=\widehat{NMO}\) Ta thấy tam giác OBC vuông, OM là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền nên OM = BC/2 Tương tự ON = AC/2; MN = AB/2 Mà do OA = OB = OC nên BA = BC = CA hay OM = ON = MN Vậy tam giác OMN là tam giác đều hay \(\widehat{NMO}=60^o\) Cách 2 (casio): Chọn hệ trục tọa độ (hình vẽ) Trong đó O(0;0;0), C(2;0;0), B(0;2;0), A(0;0;2). Trung điểm M của BC có tọa độ \(\)(1;1;0). Do đó \(\overrightarrow{OM}=\left(1;1;0\right),\overrightarrow{AB}=\left(0;2;-2\right)\). Ta có \(\cos\left(OM,AB\right)=\cos\left(\overrightarrow{OM},\overrightarrow{AB}\right)=\dfrac{\left|\overrightarrow{OM}.\overrightarrow{AB}\right|}{\left|\overrightarrow{OM}\right|\left|\overrightarrow{AB}\right|}\). Sử dụng MODE VECTOR để tính: - Nhập VCTA = (1;1;0), VCTB = (0;2;-2): w8111=1=0=q51210=2=p2= - Tính (Abs(VCTA.VCTB)) : (Abs(VCTA)xAbs(VCTB)): C(qcq53q57q54))P(qcq53)Oqcq54))= - Kết quả là 0,5 suy ra đáp số đúng là \(60^0\)
Cho hình chóp \[S.ABC\] có \[SA \bot \left( {ABC} \right)\] và \[AB \bot BC\]. Gọi \[O\] là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác \[SBC\]. \[H\] là hình chiếu vuông góc của \[O\] lên \[\left( {ABC} \right)\]. Khẳng định nào sau đây đúng ? \[H\] là trung điểm cạnh \[AB\]. \[H\] là trung điểm cạnh \[AC\]. \[H\] là trọng tâm tam giác\[ABC\]. \[H\] là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác\[ABC\]. Hướng dẫn giải: Do \(SA\perp\left(ABC\right)\Rightarrow SA\perp BC\) Ta thấy \(\left\{{}\begin{matrix}BC\perp SA\\BC\perp AB\end{matrix}\right.\Rightarrow BC\perp\left(SAB\right)\Rightarrow BC\perp SB\) Suy ra tam giác SBC vuông tại B. Vậy tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác là O, và O là trung điểm SC. Lại có trong (SAC): \(SA\perp AC\) mà \(OH\perp AC\Rightarrow\) OH // SA. O là trung điểm SC, vậy H là trung điểm AC.
Cho hai đường thẳng phân biệt a và b và mặt phẳng (P), trong đó \(a\perp\left(P\right)\). Mệnh đề nào sau đây là sai? Nếu \(b\perp\left(P\right)\) thì b // a Nếu b // a thì \(b\perp\left(P\right)\) Nếu b // (P) thì \(b\perp a\) Nếu \(b\perp a\) thì b // (P)
Cho hình chóp S.ABCD có \(SA\perp\left(ABCD\right)\), tứ giác ABCD là hình vuông. Đường vuông góc kẻ từ C đến mp(SAD) là: Đường vuông góc kẻ từ C đến AD Đường vuông góc kẻ từ C đến SD Đường vuông góc kẻ từ C đến SA Đường vuông góc kẻ từ A đến SD
Cho hình chóp S.ABCD có \(SA\perp\left(ABCD\right)\), ABCD là hình vuông tâm O. Đường vuông góc kẻ từ B đến mp(SAC) là: BO BD BA BS
Cho hình chóp S.ABCD có \(SA\perp mp\left(ABCD\right)\), ABCD là hình chữ nhật tâm O. Chọn câu đúng: \(SO\perp BD\) \(SA\perp BD\) \(SC\perp BD\) \(AD\perp SC\)
Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D'. Gọi O, O' lần lượt là trung điểm của BD và B'D'. Chọn câu SAI: \(OO'\perp\left(ABCD\right)\) \(OO'\perp\left(A'B'C'D'\right)\) \(BD\perp\left(AA'C'C\right)\) \(AC\perp\left(BB'D'D\right)\) \(A'C'\perp\left(ABCD\right)\)
Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh a. Góc giữa đường thẳng BD và mp(A'B'C'D') bằng bao nhiêu? Kết quả đúng là: \(45^o\) \(0^o\) \(60^o\) \(90^o\)
