Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D'. Góc giữa BD và mp(BB'A'A) bằng bao nhiêu? Kết quả đúng là: \(45^o\) \(90^o\) \(60^o\) \(30^o\)
Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D'. Gọi I là trung điểm của BB'. Góc giữa AI' và mp(BB'C'C) bằng bao nhiêu? Kết quả đúng là: \(45^o\) \(90^o\) \(60^o\) \(30^o\)
Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D'. Gọi I là trung điểm của BB'. Tính diện tích tam giác IA'C' là ? \(\dfrac{\sqrt{6}}{4}a^2\) \(\dfrac{\sqrt{6}}{2}a^2\) \(\dfrac{\sqrt{3}}{2}a^2\) \(\dfrac{\sqrt{6}}{10}a^2\) Hướng dẫn giải: \(A'I=C'I=\sqrt{a^2+\left(\dfrac{a}{2}\right)^2}=\dfrac{\sqrt{5}}{2}a\). \(A'C'=\sqrt{a^2+a^2}=\sqrt{2}a\). Gọi H là hình chiếu của I lên A'C'. \(A'H=\dfrac{\sqrt{2}a}{2}\). \(IH=\sqrt{IA'^2-A'H^2}=\sqrt{\left(\dfrac{\sqrt{5}}{2}a\right)^2-\left(\dfrac{\sqrt{2}a}{2}\right)^2}\)\(=\dfrac{\sqrt{3}}{2}a\). Diện tích tam giác IA'C' là: \(\dfrac{1}{2}A'C'.IH=\dfrac{1}{2}.\sqrt{2}a.\dfrac{\sqrt{3}}{2}a=\dfrac{\sqrt{6}}{4}a^2\).
Cho hình chóp S.ABC có \(SA\perp mp\left(ABC\right)\). Chọn câu SAI: \(BC\perp mp\left(SAH\right)\) AH, SK, BC đồng quy \(SC\perp mp\left(BHK\right)\) \(AH\perp\left(SBC\right)\) Do H là trực tâm của tam giác ABC nên \(AH\perp BC\) mà \(SA\perp BC\) nên \(mp\left(SAH\right)\perp BC\). Gọi I là giao điểm của AH với BC thì giao tuyến của mp(SBC) và mp(SAH) là SI. Suy ra \(SI\perp BC\). K là trực tâm của tam giác SBC nên \(SK\perp BC\). Trong mp(SBC) có \(SI\perp BC\) và \(SK\perp BC\) nên S, I, K thẳng hàng. Suy ra AH, SK, BC đồng quy. Do H và K lần lượt là trọng tâm của tam giác ABC và SAC. Vì vậy \(BH\perp SC,BK\perp SC\). Suy ra \(SC\perp mp\left(BHK\right)\). \(AH\perp BC\) nhưng chưa thể kết luận được \(AH\perp\left(SBC\right)\).
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi, SA = SB = SC = SD = a. Chọn mệnh đề sai. \(SO\perp mp\left(ABCD\right)\) \(BD\perp mp\left(SAC\right)\) \(AC\perp mp\left(SBD\right)\) \(SA\perp mp\left(ABCD\right)\) Hướng dẫn giải: Tam giác SAC cân tại S mà O là trung điểm của AC vì vậy \(SO\perp AC\). Tam giác SBD cân tại S mà O là trung điểm của BD vì vậy \(SO\perp BD\). Suy ra \(SO\perp mp\left(ABCD\right)\). Theo tính chất hình thoi \(AC\perp BD\) và \(SO\perp BD\) nên \(BD\perp mp\left(SAC\right)\).. Tương tự \(AC\perp mp\left(SBD\right)\). Dễ thấy SA và AC không vuông góc với nhau nên \(SA\perp mp\left(ABCD\right)\) không thể xảy ra.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O. Biết SA = SC và SB = SD. Khẳng định nào sau đây là SAI: \(BD\perp mp\left(SAC\right)\) \(SA\perp DC\) \(AC\perp mp\left(SBD\right)\) \(SO\perp mp\left(ABCD\right)\) Hướng dẫn giải:
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt đáy, góc giữa cạnh SB và mặt đáy bằng \(60^o\). Độ dài cạnh SC bằng: \(\sqrt{5}a\) \(\sqrt{3}a\) \(\sqrt{2}a\) \(\dfrac{\sqrt{5}a}{2}\) Hướng dẫn giải: Do SA vuông góc với mặt phẳng đáy nên góc giữa SB và mặt đáy bằng góc giữa SB và AB. Suy ra \(\widehat{SBA}=60^o\). \(SA=AB.tan\widehat{SBA}=AB.tan60^o=a\sqrt{3}\). \(AC^2=\sqrt{a^2+a^2}=\sqrt{2}a\). Do \(SA\perp mp\left(ABCD\right)\) nên \(SA\perp AC\). Suy ra \(SC=\sqrt{\left(\sqrt{3}a\right)^2+\left(\sqrt{2}a\right)^2}=\sqrt{5}a\).
Cho hình thoi ABCD có tâm O, \(BD=4a,AC=2a\). Lấy điểm S không thuộc mp(ABCD) sao cho \(SO\perp mp\left(ABCD\right)\). Biết \(tan\widehat{SBO}=\dfrac{1}{2}\). Tính số đo của góc giữa SC và mp(ABCD). Kết quả đúng là: \(60^o\) \(30^o\) \(45^o\) \(75^o\) Hướng dẫn giải: \(OC=\dfrac{AC}{2}=a\). \(OB=OD=\dfrac{BD}{2}=2a\). \(SO=OB.tan\widehat{SBD}=2a.\dfrac{1}{2}=a\). \(tan\widehat{OCS}=\dfrac{OS}{OC}=\dfrac{a}{a}=1\). Suy ra \(\widehat{OCS}=45^o\). Số đo của góc giữa SC và mp(ABCD) bằng \(45^o\).
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông và SA vuông góc với mặt đáy. Mệnh đề nào sau đây là đúng? \(BD\perp SC\) \(AC\perp mp\left(SBD\right)\) \(BC\perp SC\) \(CD\perp mp\left(SBC\right)\)
Cho tứ diện đều ABCD có cạnh a, gọi (P) là mặt phẳng qua B và vuông góc với AD. Thiết diện của (P) và hình chóp có diện tích bằng: \(\dfrac{\sqrt{2}}{4}a^2\) \(\dfrac{\sqrt{2}}{2}a^2\) \(\dfrac{\sqrt{2}}{6}a^2\) \(\dfrac{\sqrt{2}}{3}a^2\) Hướng dẫn giải: Trong mp(ABD), từ B kẻ \(BI\perp AD\), suy ra I là trung điểm của AD. Ta có \(I\in mp\left(P\right)\). Gọi M là trung điểm của BC. Do các tam giác ABC và tam giác BCD đều nên \(AM\perp BC,DM\perp BC\). Suy ra \(BC\perp mp\left(AMD\right)\). Vì vậy \(BC\perp AD\). Vậy \(BC\in mp\left(P\right)\). Thiết diện của mp(P) với hình chóp chính là tam giác BCI. \(BI=IC=AB.sin60^o=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}\). \(IM=\sqrt{BI^2-BM^2}=\sqrt{\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}a\right)^2-\left(\dfrac{a}{2}\right)^2}=\dfrac{\sqrt{2}a}{2}\). Diện tích tam giác BIM là: \(\dfrac{1}{2}BC.IM=\dfrac{1}{2}.a.\dfrac{\sqrt{2}}{2}a=\dfrac{\sqrt{2}}{4}a^2\).
