Cho hình lăng trụ tứ giác đều \(ABCD.A'B'C'D'\) có cạnh bằng \(a\), góc giữa hai mặt phẳng \(ABCD\) và \(ABC'\) có số đo bằng \(60^o\). Tính độ dài cạnh bên của hình lăng trụ. \(\sqrt{3}a\) \(\sqrt{2}a\) \(2a\) \(\sqrt{6}a\) Hướng dẫn giải: Diện tích hình vuông ABCD là: \(a^2\). Hình chiếu của tứ giác ADC'B' lên mp(ABCD) là tứ giác ABCD. Ta có \(S'=S.cos\varphi\). Suy ra \(a^2=S.cos60^o\Leftrightarrow S=2a^2\). Mà \(S=AB'.B'C'\Rightarrow AB'=\dfrac{2a^2}{a}=2a\). Mà \(AB'=\sqrt{A'A^2+A'B'^2}\)\(=2a\). Suy ra \(A'A^2=4a^2-a^2=3a^2\) hay \(A'A=\sqrt{3}a\).
Cho hình chóp S.ABCD có \(SA\perp mp\left(ABCD\right)\), \(ABCD\) là hình vuông cạnh \(a\), \(SA=\sqrt{3}a\), gọi \(\alpha\) là góc giữa \(\left(SBC\right)\) và \(\left(ABCD\right)\). Tính số đo của \(\alpha\). \(60^o\) \(30^o\) \(45^o\) \(90^o\) Hướng dẫn giải: Do \(SA\perp mp\left(ABCD\right)\) nên \(mp\left(SAB\right)\perp mp\left(ABCD\right)\). \(\left\{{}\begin{matrix}BC\perp AB\\BC\perp SA\end{matrix}\right.\) nên \(BC\perp mp\left(SAB\right)\). Suy ra \(mp\left(SAB\right)\perp mp\left(SBC\right)\). Vậy góc giữa \(mp\left(ABCD\right)\) và \(mp\left(SBC\right)\) là \(\left(AB,SB\right)\). \(tan\widehat{SBA}=\dfrac{SA}{AB}=\dfrac{\sqrt{3}a}{a}=\sqrt{3}\). vậy \(\widehat{SBA}=60^o\).
Cho hình chóp \(S.ABC\) có \(SA\perp mp\left(ABC\right)\) và \(AB\perp BC\). Góc giữa hai mặt phẳng \(\left(SBC\right)\) và \(\left(ABC\right)\) là góc nào sau đây? Góc SIA (I là trung điểm của BC) Góc SCA Góc SCB Góc SBA
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có cạnh đáy bằng \(a\) . Gọi \(SH\) là đường cao của hình chóp. Khoảng cách từ trung điểm \(I\) của \(SH\) đến \(\left(SBC\right)\) bằng \(b\). Tính độ dài \(SH\). \(\dfrac{2ab}{\sqrt{a^2-16b^2}}\) \(\dfrac{2ab}{\sqrt{a^2+16b^2}}\) \(\dfrac{2ab}{\sqrt{a^2+4b^2}}\) Kết quả khác Hướng dẫn giải: Gọi O là trung điểm của BC. Tứ giác ABCD là hình vuông nên \(HO\perp BC\). mà \(SH\perp BC\) nên \(BC\perp mp\left(SHO\right)\). Từ H kẻ \(HK\perp SO\left(K\in SO\right)\). Gọi I là trung điểm của SH. Kẻ \(IF\perp SO\) \(\left(F\in SO\right)\). Theo giả thiết có \(IF=b\) suy ra \(HK=2b\). \(HO=AB:2=\dfrac{a}{2}\). Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có: \(\dfrac{1}{HK^2}=\dfrac{1}{SH^2}+\dfrac{1}{HO^2}\Leftrightarrow\dfrac{1}{\left(2b\right)^2}=\dfrac{1}{SH^2}+\dfrac{1}{\left(\dfrac{a}{2}\right)^2}\) \(\Leftrightarrow\dfrac{1}{SH^2}=\dfrac{1}{4b^2}-\dfrac{4}{a^2}\)\(=\dfrac{a^2-16b^2}{4a^2b^2}\). Suy ra \(SH=\dfrac{2ab}{\sqrt{a^2-16b^2}}\).
Cho hình chóp S.ABC có \(SA\perp mp\left(ABC\right)\), tam giác ABC vuông tại B. Biết góc giữa \(mp\left(SBC\right)\) và \(mp\left(ABC\right)\) bằng \(60^o\) và \(AB=a\). Tính độ dài \(SA\). \(\sqrt{3}a\) \(\sqrt{2}a\) \(\sqrt{6}a\) \(2\sqrt{3}a\) Hướng dẫn giải: Tam giác ABC vuông tại B nên \(BC\perp AB\) mà \(SA\perp BC\) nên \(BC\perp mp\left(SAB\right)\). Nên \(mp\left(SBC\right)\perp mp\left(SAB\right)\). Có \(SA\perp mp\left(ABC\right)\) nên \(mp\left(SAB\right)\perp mp\left(ABC\right)\). Nên góc giữa hai mặt phẳng \(\left(SBC\right)\) và \(\left(ABC\right)\) là: \(\left(AB,SB\right)=60^o\). Tam giác \(SAB\) vuông tại \(A\) nên \(tan\widehat{ABS}=\dfrac{SA}{AB}=\sqrt{3}\). Suy ra \(SA=AB.\sqrt{3}=\sqrt{3}a\).
Cho hai mặt phẳng \(\left(P\right)\) và \(\left(Q\right)\) song song với nhau và một điểm \(M\) không thuộc \(\left(P\right)\) và \(\left(Q\right)\) . Qua \(M\) có bao nhiêu mặt phẳng vuông góc với \(\left(P\right)\) và \(\left(Q\right)\) ? 1. 2. 3. vô số.
Trong không gian cho hai tam giác đều SAB và hình vuông ABCD cạnh a nằm trên hai mặt phẳng vuông góc. Gọi E, F là trung điểm của AB và CD. Gọi \(\varphi\) là góc tạo bởi hai mặt phẳng \(\left(SAB\right)\) và \(\left(SCD\right)\). Tính giá trị \(tan\varphi\). \(\dfrac{2\sqrt{3}}{3}\) \(\dfrac{\sqrt{3}}{3}\) \(\dfrac{1}{3}\) \(\sqrt{3}\) Hướng dẫn giải: Ta chứng minh được \(mp\left(SEF\right)\perp mp\left(SAB\right)\) và \(mp\left(SEF\right)\perp mp\left(SCD\right)\). Suy ra góc giữa mp(SAB) và mp(SCD) bằng \(\left(SE,SF\right)\). Có \(EF\perp AB\) nên \(EF\perp mp\left(SAB\right)\). Suy ra \(tan\widehat{FSE}=\dfrac{EF}{SE}\). \(EF=a\), \(SE=a^2-\left(\dfrac{a}{2}\right)^2=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}\). Vậy \(tan\widehat{FSE}=\dfrac{EF}{SE}=\dfrac{a}{\dfrac{a\sqrt{3}}{2}}=\dfrac{2\sqrt{3}}{3}\).
Cho hình lập phương \(ABCD.A'B'C'D'\). Xét \(mp\left(A'BD\right)\). Trong các mệnh đề sau mệnh đề nào đúng? Góc giữa \(mp\left(A'BD\right)\) và các mặt phẳng chứa các cạnh của hình lập phương bằng \(\alpha\) mà \(tan\alpha=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\). Góc giữa \(mp\left(A'BD\right)\) và các mặt phẳng chứa các cạnh của hình lập phương bằng \(\alpha\) mà \(sin\alpha=\dfrac{1}{\sqrt{3}}\). Góc giữa \(mp\left(A'BD\right)\) và các mặt phẳng chứa các cạnh của hình lập phương bằng \(\alpha\) với \(\alpha\) phụ thuộc vào kích thước của hình lập phương. Góc giữa \(mp\left(A'BD\right)\) và các mặt phẳng chứa các cạnh của hình lập phương bằng \(\alpha\) với \(cos\alpha=\dfrac{\sqrt{3}}{3}\). Hướng dẫn giải: ABCD.A'B'C'D' là hình lập phương nên hình chiếu của tam giác A'BD lên các mặt chứa các cạnh của hình lập phương là tam giác bằng nhau. Gọi diện tích tam giác này là \(S_1\) thì \(S_1=S_{AB'D.}cos\alpha\). Do đó góc giữa \(mp\left(A'BD\right)\) và các mặt phẳng chứa các cạnh của hình lập phương bằng nhau. \(A'B'=BD=A'D=\sqrt{2}a\) . Suy ra tam giác A'BD đều và có diện tích là: \(\dfrac{1}{2}A'B.A'D.sin60^o=\dfrac{1}{2}.\sqrt{2}a.\sqrt{2}a=\dfrac{\sqrt{3}}{2}a^2\). Hình chiếu của tam giác A'BD lên mặt phẳng (A'ADD') là tam giác A'AD. \(S_{\Delta AA'D}=\dfrac{1}{2}a^2\). Suy ra \(cos\alpha=\dfrac{S_{\Delta AA'D}}{S_{\Delta A'B'D}}=\dfrac{\dfrac{1}{2}a^2}{\dfrac{\sqrt{3}}{2}a^2}=\dfrac{\sqrt{3}}{3}\).
Hình hộp đứng ABCD.A'B'C'D' sẽ trở thành hình lập phương nếu: Tứ giác ABCD là hình chữ nhật. Tứ giác ABCD là hình thoi và AB = AA'. Tứ giác ABCD là hình chữ nhật và AB = AA'. Tứ giác ABCD là hình vuông và AB = AA'.
Hình hộp ABCD.A'B'C'D' là hình hộp gì nếu thỏa mãn nếu tứ diện AB'CD' các cạnh đối bằng nhau? Mệnh đề đúng là: Hình hộp ABCD.A'B'C'D' là hình lập phương. Hình hộp ABCD.A'B'C'D' là hình lăng trụ đứng có đáy là hình bình hành . Hình hộp ABCD.A'B'C'D' là hình lăng trụ đứng có đáy là hình thoi. Hình hộp ABCD.A'B'C'D' là hình lăng trụ đứng có đáy là hình thang cân.
