Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D'. Gọi O, O' lần lượt là giao điểm AC và BD, A'C' và B'D'. Đoạn vuông góc chung của BD và A'C' là: OO' BB' B'C OC'
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, \(SA\perp\left(ABCD\right)\) và \(SA=a\). Khoảng cách giữa SB và AD bằng bao nhiêu? Kết quả đúng: \(\dfrac{a\sqrt{2}}{2}\) \(\dfrac{a\sqrt{2}}{3}\) \(a\sqrt{2}\) \(\dfrac{a\sqrt{2}}{4}\) Hướng dẫn giải: Ta có \(AD\perp\left(SBA\right)\), kẻ AH vuông góc với SB thì AH là đường vuông góc chung của SB và AD. Vậy \(d\left(AD;SB\right)=AH.\) Vì AH là đường cao ứng với tam giác vuông cân nên \(AH=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}\). \(d\left(AD;SB\right)=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}\).
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, \(SA\perp\left(ABCD\right)\). Khoảng cách giữa SA và BD là: \(\dfrac{a\sqrt{2}}{2}\) \(\dfrac{a\sqrt{3}}{3}\) \(a\sqrt{2}\) \(\dfrac{a}{2}\) Hướng dẫn giải: Gọi O là giao điểm của AC và BD. Do tứ giác ABCD là hình vuông nên \(AC\perp BD\). Do \(SA\perp mp\left(ABCD\right)\Rightarrow SA\perp AC\). Do đó AO là đoạn vuông góc chung giữa SA và BD. \(AO=\dfrac{AC}{2}=\dfrac{\sqrt{a^2+a^2}}{2}=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}\).
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, \(SA\perp\left(ABCD\right)\) và \(SA=a\). Khoảng cách giữa hai đường thẳng BD và SC bằng bao nhiêu? Kết quả đúng: \(\dfrac{a\sqrt{6}}{6}\) \(\dfrac{a\sqrt{6}}{3}\) \(\dfrac{a\sqrt{3}}{2}\) \(\dfrac{a\sqrt{3}}{3}\) Hướng dẫn giải: Ta có BD vuông góc với \(mp\left(SAC\right)\) tại tâm O của hình vuông ABCD. Trong \(mp\left(SAC\right)\), kẻ OH vuông gó với SC thì OH là đường vuông góc chung của BD và SC. Dễ thấy \(d\left(BD;SC\right)=OK=\dfrac{1}{2}AK\)( AK là đường cao của tam giác vuông SAC(. Ta có: \(\dfrac{1}{AI^2}=\dfrac{1}{AS^2}+\dfrac{1}{AC^2}=\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{2a^2}\). Nên \(AI=\dfrac{a\sqrt{6}}{3}\), từ đó \(d\left(BD;SC\right)=\dfrac{a\sqrt{6}}{6}\).
Cho hình chóp đều \(S.ABCD\) có \(AB=a,SA=\sqrt{2}a\). Khoảng cách từ \(S\) đến \(mp\left(ABCD\right)\) bằng: \(\dfrac{\sqrt{6}}{2}a\) \(\sqrt{6}a\) \(\sqrt{2}a\) \(\sqrt{3}a\) Hướng dẫn giải: Gọi O là giao điểm của AC và BD. Khoảng cách từ S đến mp(ABCD) bằng SO. Áp dụng định lý Pi-ta-go trong tam giác ABC ta có: \(AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{a^2+a^2}=\sqrt{2}a\). \(AO=OC=\dfrac{\sqrt{2}a}{2}\). \(SO=\sqrt{SA^2-AO^2}=\sqrt{\left(\sqrt{2}a\right)^2-\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}a\right)^2}=\dfrac{\sqrt{6}}{2}a\).
Cho hình chóp đều \(S.ABCD\) có \(AB=a,SA=2a\). Khoảng cách SA và BC bằng: \(\dfrac{\sqrt{10}a}{20}\) \(\dfrac{\sqrt{3}a}{4}\) \(\dfrac{2\sqrt{3}}{5}a\) \(\dfrac{\sqrt{210}}{15}a\) Hướng dẫn giải: \(d\left(BC,SA\right)=d\left(BC,mp\left(SAD\right)\right)\). Gọi O là giao điểm của AC và BD. Hình chóp S.ABCD là hình chóp đều nên \(SO\perp mp\left(ABCD\right)\), vì vậy \(SO\perp BC\). (1) Gọi M, I lần lượt là trung điểm của AD, BC. Suy ra \(MI\perp AD,MI\perp BC\). (2) Từ (1) và (2) suy ra \(BC\perp mp\left(SMI\right)\). Vì vậy \(AD\perp mp\left(SMI\right)\). Trong mp(SMI) kẻ \(IK\perp SM\). \(SI=\sqrt{SC^2-CI^2}=\sqrt{\left(2a\right)^2-\left(\dfrac{a}{2}\right)^2}=\dfrac{\sqrt{15}a}{2}\). \(SO=\sqrt{SI^2-OI^2}=\sqrt{\left(\dfrac{\sqrt{15}a}{2}\right)^2-\left(\dfrac{a}{2}\right)^2}=\dfrac{\sqrt{14}a}{2}\). Từ công thức tính diện tích của tam giác ta suy ra: \(IK.SM=SO.MI\Leftrightarrow IK=\dfrac{SO.MI}{SM}=\)\(\dfrac{\dfrac{\sqrt{14}a}{2}.a}{\dfrac{\sqrt{15}a}{2}}\)\(=\dfrac{\sqrt{210}}{15}a\).
Tứ diện OABC có \(OA=OB=OC=a\) và \(\widehat{AOB}=\widehat{AOC}=60^o,\widehat{BOC}=90^o\). Đường vuông góc chung của OA và BC là: Đoạn IJ với I là trung điểm của BC, J là trung điểm của OA. Đoạn IJ với I là điểm thuộc cạnh BC sao cho \(BI=2CI\) và J là trung điểm của OA. Đoạn OC Đoạn IJ với I là trung điểm của BC, J thuộc cạnh OA sao cho OJ = 2JA. Hướng dẫn giải: Gọi I, J lần lượt là trung điểm của BC, OA. Tam giác OBC cân tại O nên \(OI\perp BC\). Tam giác ABC cân tại A nên \(AI\perp BC\). Áp dụng định lý Pi-ta-go ta tính được: \(BC=\sqrt{2}a\). Suy ra tam giác ABC vuông tại A và \(\dfrac{1}{AI^2}=\dfrac{1}{AB^2}+\dfrac{1}{AC^2}=\dfrac{2}{a^2}\Rightarrow AI=\dfrac{\sqrt{2}a}{2}\). Tương tự ta tính được \(OI=\dfrac{\sqrt{2}a}{2}\). Suy ra tam giác OAI cân tại I. Gọi J là trung điểm của OA thì \(IJ\perp OA\). IJ thuộc mp(OAI) nên IJ vuông góc với BC. Suy ra IJ là đoạn vuông góc chung của OA và BC.
Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau và OA = OB = OC. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng OA và BC. \(\dfrac{\sqrt{2}a}{2}\) \(\sqrt{2}a\) \(\dfrac{\sqrt{2}a}{3}\) \(\sqrt{3}a\) Hướng dẫn giải: Gọi I là trung điểm của OA và BC. Có \(OA\perp OB,OA\perp OC\) nên \(OA\perp mp\left(OBC\right)\) suy ra \(OI\perp OA\). Tam giác OBC cân tại O nên \(OI\perp BC\). Vậy OI là đoạn vuông góc chung của OA và OB. \(OI=OB.sin45^o=\dfrac{\sqrt{2}a}{2}.\)
Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' có các cạnh đều bằng a và \(\widehat{BAD}=\widehat{BAA'}=\widehat{DAA'}=60^o\). Chọn khẳng định đúng: \(\dfrac{a\sqrt{6}}{3}\) \(\dfrac{a\sqrt{2}}{2}\) \(\dfrac{a\sqrt{6}}{6}\) \(\dfrac{a\sqrt{3}}{2}\) Hướng dẫn giải: Do \(\widehat{BAD}=\widehat{BAA'}=\widehat{DAA'}=60^o\) nên các tam giác BAD, BAA', A'AD đều hay A'B = BD = A'D, vì vậy tam giác A'BD đều. Gọi O là giao điểm của BD và AC, suy ra \(A'O\perp BD\). Mặt khác tứ giác ABCD là hình thoi nên \(BD\perp AC\). Suy ra \(mp\left(AA'O\right)\perp BD\) hay \(mp\left(A'ACC'\right)\perp BD\). Trong mp(A'ACC'), từ điểm A hạ \(OH\perp A'C'\). AH thuộc mp(A'ACC) nên \(AH\perp BD\Rightarrow AH\perp B'D'\). Vậy khoảng cách giữa hai mặt phẳng đáy bằng độ dài AH. \(AO=A'O=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}\); \(AA'=a\). \(cos\widehat{OAA'}=\dfrac{a^2+\left(\dfrac{a\sqrt{3}}{2}\right)^2-\left(\dfrac{a\sqrt{3}}{2}\right)^2}{2a.\dfrac{a\sqrt{3}}{2}}=\dfrac{\sqrt{3}}{3}\). Suy ra \(sin\widehat{OAA'}=\sqrt{1-\left(\dfrac{\sqrt{3}}{3}\right)^2}=\dfrac{\sqrt{6}a}{3}\). \(AH'=a.sin\widehat{OAA'}=\dfrac{a\sqrt{6}}{3}\).
Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D'. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AB, D'C'. Khoảng cách giữa hai mp(IB'C) và mp(A'DJ) bằng: \(a\) \(2a\) \(\sqrt{2}a\) \(\dfrac{\sqrt{3}a}{2}\) Hướng dẫn giải: Khoảng cách giữa hai mp(IB'C) và mp(A'DJ) bằng khoảng cách giữa A'J và CI. Mà khoảng cách A'J và CI bằng khoảng cách giữa hai mặt phẳng (ABCD) và mặt phẳng (A'B'C'D') và bằng a.
