Viết phương trình đường thẳng khi biết vectơ chỉ phương (Oxyz)

Bài viết hướng dẫn phương pháp viết phương trình đường thẳng khi biết vectơ chỉ phương (Oxyz), đây là dạng toán cơ bản trong chương trình Hình học 12 chương 3: Phương pháp tọa độ trong không gian.

I. CÁC KẾT QUẢ CẦN LƯU Ý
Đường thẳng $d$ qua $M\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)$ và có vectơ chỉ phương $\vec u = (a;b;c)$ có phương trình $d:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = {x_0} + at}\\
{y = {y_0} + bt}\\
{z = {z_0} + ct}
\end{array}} \right.$ $(t \in R)$ hoặc $d:\frac{{x – {x_0}}}{a} = \frac{{y – {y_0}}}{b} = \frac{{z – {z_0}}}{c}$ $(abc \ne 0).$
Lưu ý: Chuyển từ phương trình chính tắc sang phương trình tham số, ta có thể thực hiện theo cách sau:
$\frac{{x – {x_0}}}{a} = \frac{{y – {y_0}}}{b} = \frac{{z – {z_0}}}{c} = t$ $ \Rightarrow d:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = {x_0} + at}\\
{y = {y_0} + bt}\\
{z = {z_0} + ct}
\end{array}} \right.$ $(t \in R).$

II. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM MINH HỌA
Ví dụ 1: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, viết phương trình đường thẳng $AB$, biết $A(1;1;1)$ và $B(2;0;3).$
A. $\frac{{x – 1}}{1} = \frac{{y + 1}}{1} = \frac{{z – 2}}{1}.$
B. $\frac{{x – 1}}{1} = \frac{{y – 1}}{{ – 1}} = \frac{{z – 1}}{2}.$
C. $\frac{{x – 1}}{1} = \frac{{y – 1}}{{ – 1}} = \frac{{z – 1}}{1}.$
D. $\frac{{x – 1}}{1} = \frac{{y – 1}}{1} = \frac{{z – 1}}{2}.$
Lời giải:
Đường thẳng $AB$ qua $A(1;1;1)$ và có một vectơ chỉ phương là $\overrightarrow {AB} = (1; – 1;2)$, có phương trình: $\frac{{x – 1}}{1} = \frac{{y – 1}}{{ – 1}} = \frac{{z – 1}}{2}.$
Chọn đáp án B.Nhận xét: Học sinh có thể thay tọa độ $A$, $B$ để kiểm tra các đáp án phù hợp.
Ví dụ 2: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, viết phương trình đường thẳng $MN$, biết $M(1;1;2)$ và $N(2;0;3).$
A. $\frac{{x – 1}}{1} = \frac{{y + 1}}{1} = \frac{{z – 1}}{2}.$
B. $\frac{{x – 1}}{1} = \frac{{y – 1}}{{ – 1}} = \frac{{z – 2}}{2}.$
C. $\frac{{x – 1}}{1} = \frac{{y – 1}}{{ – 1}} = \frac{{z – 2}}{1}.$
D. $\frac{{x – 1}}{2} = \frac{{y – 1}}{{ – 1}} = \frac{{z – 2}}{1}.$
Lời giải:
Đường thẳng $MN$ qua $M(1;1;2)$ và có một vectơ chỉ phương là $\overrightarrow {MN} = (1; – 1;1)$ có phương trình: $\frac{{x – 1}}{1} = \frac{{y – 1}}{{ – 1}} = \frac{{z – 2}}{1}.$
Chọn đáp án C.
Ví dụ 3: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho hai điểm $A(1;1;1)$ và $B(2;0;3).$ Phương trình nào dưới đây không là phương trình đường thẳng $AB$?
A. $\frac{{x – 3}}{1} = \frac{{y + 1}}{{ – 1}} = \frac{{z – 5}}{2}.$
B. $\frac{x-1}{1}=\frac{y-1}{-1}=\frac{z-1}{2}.$
C. $\frac{{x – 1}}{1} = \frac{{y – 1}}{{ – 1}} = \frac{{z – 1}}{1}.$
D. $\frac{{x – 2}}{1} = \frac{y}{{ – 1}} = \frac{{z – 3}}{2}.$
Lời giải:
Xét đáp án C. Ta có: $\overrightarrow {AB} = (1; – 1;2)$ không cùng phương với $\vec u = (1; – 1;1)$, suy ra phương trình ở đáp án C không là phương trình đường thẳng $AB.$
Chọn đáp án C.Nhận xét: Học sinh có thể thay tọa độ hai điểm $A$, $B$ để kiểm tra từng đáp án.
Ví dụ 4: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho hai điểm $P(1;0;1)$ và $Q(2;1;-1).$ Phương trình nào dưới đây không là phương trình đường thẳng $PQ$?
A. $\frac{{x – 1}}{1} = \frac{y}{1} = \frac{{z – 1}}{{ – 2}}.$
B. $\frac{{x – 2}}{1} = \frac{{y – 1}}{1} = \frac{{z + 1}}{{ – 2}}.$
C. $\frac{x}{2} = \frac{{y + 1}}{2} = \frac{{z – 3}}{{ – 4}}.$
D. $\frac{{x – 1}}{1} = \frac{y}{1} = \frac{{z + 1}}{{ – 2}}.$
Lời giải:
Xét đáp án D. Thay tọa độ điểm $P(1;0;1)$ vào phương trình đường thẳng ta được: $\frac{{1 – 1}}{1} = \frac{0}{1} = \frac{{1 + 2}}{{ – 2}}$ sai.
Suy ra phương trình ở đáp án D không là phương trình đường thẳng $PQ.$
Chọn đáp án D.
Ví dụ 5: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, viết phương trình đường thẳng $d$ chứa trục $Ox.$
A. $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = t}\\
{y = 0}\\
{z = 0}
\end{array}} \right..$
B. $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 0}\\
{y = t}\\
{z = 0}
\end{array}} \right..$
C. $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = t}\\
{y = 0}\\
{z = 1}
\end{array}} \right..$
D. $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = t}\\
{y = t}\\
{z = t}
\end{array}} \right..$
Lời giải:
Đường thẳng $d$ qua $O(0;0;0)$ và có một vectơ chỉ phương là $\vec u = (1;0;0)$ có phương trình: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = t}\\
{y = 0}\\
{z = 0}
\end{array}} \right..$
Chọn đáp án A.
Nhận xét: Học sinh có thể thay tọa độ $O(0;0;0)$, $A(1;0;0)$ để kiểm tra các đáp án phù hợp.
Ví dụ 6: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, trong các phương trình sau phương trình nào không là phương trình đường thẳng chứa trục $Ox$?
A. $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = t}\\
{y = 0}\\
{z = 0}
\end{array}} \right..$
B. $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 1 + t}\\
{y = 0}\\
{z = 0}
\end{array}} \right..$
C. $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 2 + 4t}\\
{y = 0}\\
{z = 0}
\end{array}} \right..$
D. $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 1 – t}\\
{y = 0}\\
{z = 1}
\end{array}} \right..$
Lời giải:
Xét đáp án D. Chọn $A(1;0;0) \in Ox$ không thỏa mãn phương trình ở đáp án này nên phương trình ở đáp án D không là phương trình đường thẳng chứa trục $Ox.$
Chọn đáp án D.
Ví dụ 7: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, trong các phương trình sau phương trình nào không là phương trình đường thẳng chứa trục $Oz$?
A. $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 0}\\
{y = 0}\\
{z = t}
\end{array}} \right..$
B. $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 0}\\
{y = 0}\\
{z = 2 + t}
\end{array}} \right..$
C. $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 0}\\
{y = 0}\\
{z = 2 + 4t}
\end{array}} \right..$
D. $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 1 – t}\\
{y = 0}\\
{z = 1}
\end{array}} \right..$
Lời giải:
Xét đáp án D. Chọn $A(0;0;1) \in Oz$ không thỏa mãn phương trình ở đáp án này nên phương trình ở đáp án D không là phương trình đường thẳng chứa trục $Oz.$
Chọn đáp án D.
Ví dụ 8: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, viết phương trình đường thẳng $d$ qua $A(1;2;3)$ và song song với trục $Oy.$
A. $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 1 + t}\\
{y = 2}\\
{z = 3}
\end{array}} \right..$
B. $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 1 + t}\\
{y = 2t}\\
{z = 3t}
\end{array}} \right..$
C. $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 1}\\
{y = 2}\\
{z = 3 + t}
\end{array}} \right..$
D. $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 1}\\
{y = 2 + t}\\
{z = 3}
\end{array}} \right..$
Lời giải:
Đường thẳng $d$ qua $A(1;2;3)$ và song song với trục $Oy$ nên có một vectơ chỉ phương là $\vec j = (0;1;0)$ có phương trình: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 1}\\
{y = 2 + t}\\
{z = 3}
\end{array}} \right..$
Chọn đáp án D.
Ví dụ 9: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, viết phương trình đường thẳng $d$ qua $A(1;2;3)$ và song song với trục $Oz.$
A. $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 1 + t}\\
{y = 2}\\
{z = 3}
\end{array}} \right..$
B. $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 1 + t}\\
{y = 2t}\\
{z = 3t}
\end{array}} \right..$
C. $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 1}\\
{y = 2}\\
{z = 3 + t}
\end{array}} \right..$
D. $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 1}\\
{y = 2 + t}\\
{z = 3}
\end{array}} \right..$
Lời giải:
Đường thẳng $d$ qua $A(1;2;3)$ và song song với trục $Oz$ nên có một vectơ chỉ phương là $\vec k = (0;0;1)$ có phương trình: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 1}\\
{y = 2}\\
{z = 3 + t}
\end{array}} \right..$
Chọn đáp án C.
Ví dụ 10: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, viết phương trình đường thẳng $d$ qua $A(2;1;2)$ và vuông góc với mặt phẳng $(Oyz).$
A. $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 2 + t}\\
{y = 1}\\
{z = 2}
\end{array}} \right..$
B. $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 1 + 2t}\\
{y = t}\\
{z = 2t}
\end{array}} \right..$
C. $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 2}\\
{y = 1}\\
{z = 2 + t}
\end{array}} \right..$
D. $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 2}\\
{y = 1 + t}\\
{z = 2}
\end{array}} \right..$
Lời giải:
Mặt phẳng $(Oyz):$ $x = 0$ có một vectơ pháp tuyến là $\vec i = (1;0;0).$
Đường thẳng $d$ qua $A(2;1;2)$ và vuông góc với mặt phẳng $(Oyz)$ nên có một vectơ chỉ phương là $\vec i = (1;0;0)$, có phương trình: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 2 + t}\\
{y = 1}\\
{z = 2}
\end{array}} \right..$
Chọn đáp án A.
Ví dụ 11: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, viết phương trình đường thẳng $d$ qua $A(1;2;4)$ và song song với đường thẳng $\Delta :\frac{x}{1} = \frac{{y – 1}}{2} = \frac{z}{3}.$
A. $\frac{{x – 1}}{1} = \frac{{y – 2}}{2} = \frac{{z – 4}}{3}.$
B. $\frac{{x – 1}}{1} = \frac{{y – 2}}{2} = \frac{{z – 3}}{4}.$
C. $\frac{{x – 1}}{1} = \frac{{y – 2}}{2} = \frac{{z – 4}}{1}.$
D. $\frac{{x + 1}}{1} = \frac{{y + 2}}{2} = \frac{{z + 3}}{4}.$
Lời giải:
Đường thẳng $\Delta $ có một vectơ chỉ phương là ${\vec u_\Delta } = (1;2;3).$
Đường thẳng $d$ qua $A(1;2;4)$ và song song với $\Delta $ nên có một vectơ chỉ phương là ${\vec u_\Delta } = (1;2;3)$, có phương trình $\frac{{x – 1}}{1} = \frac{{y – 2}}{2} = \frac{{z – 4}}{3}.$
Chọn đáp án A.
Ví dụ 12: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, viết phương trình đường thẳng $d$ qua $A(1;2;3)$ và vuông góc với mặt phẳng $(P):x + 2y + 2z + 1 = 0.$
A. $\frac{{x – 1}}{1} = \frac{{y – 2}}{2} = \frac{{z – 3}}{2}.$
B. $\frac{{x + 1}}{1} = \frac{{y + 2}}{2} = \frac{{z + 3}}{2}.$
C. $\frac{{x – 1}}{1} = \frac{{y – 2}}{2} = \frac{{z – 3}}{1}.$
D. $\frac{{x – 1}}{1} = \frac{{y – 2}}{2} = \frac{{z – 2}}{3}.$
Lời giải:
Mặt phẳng $(P)$ có một vectơ pháp tuyến là ${\vec n_p} = (1;2;2).$
Đường thẳng $d$ qua $A(1;2;3)$ và vuông góc với $(P)$ nên có một vectơ chỉ phương là ${\vec n_p} = (1;2;2)$, có phương trình: $\frac{{x – 1}}{1} = \frac{{y – 2}}{2} = \frac{{z – 3}}{2}.$
Chọn đáp án A.
Ví dụ 13: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, viết phương trình đường thẳng $d$ qua $I(2;2; – 3)$ và vuông góc với mặt phẳng $(Q):x – 2y – 3z + 5 = 0.$
A. $\frac{{x – 2}}{1} = \frac{{y – 2}}{{ – 2}} = \frac{{z + 3}}{{ – 3}}.$
B. $\frac{{x – 2}}{1} = \frac{{y – 2}}{2} = \frac{{z + 3}}{{ – 3}}.$
C. $\frac{{x + 2}}{1} = \frac{{y + 2}}{{ – 2}} = \frac{{z – 3}}{{ – 3}}.$
D. $\frac{{x – 2}}{{ – 1}} = \frac{{y – 2}}{2} = \frac{{z + 3}}{{ – 3}}.$
Lời giải:
Mặt phẳng $(Q)$ có một vectơ pháp tuyến là ${\vec n_Q} = (1; – 2; – 3).$
Đường thẳng $d$ qua $I(2;2;-3)$ và vuông góc với $(Q)$ nên có một vectơ chỉ phương là ${\vec n_Q} = (1; – 2; – 3)$, có phương trình: $\frac{{x – 2}}{1} = \frac{{y – 2}}{{ – 2}} = \frac{{z + 3}}{{ – 3}}.$
Chọn đáp án A.
Ví dụ 14: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, viết phương trình đường thẳng $d$ qua $F(1;1;-3)$ và vuông góc với mặt phẳng $(ABC)$, biết $A(1;1;2)$, $B(2;1;1)$, $C(0;-1;3).$
A. $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = – 2 + t}\\
{y = t}\\
{z = – 2 – 3t}
\end{array}} \right..$
B. $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 1 – 2t}\\
{y = 1}\\
{z = – 3 – 2t}
\end{array}} \right..$
C. $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 1 – 2t}\\
{y = 1}\\
{z = – 3 – t}
\end{array}} \right..$
D. $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 4 – 2t}\\
{y = 1}\\
{z = – 3 – 2t}
\end{array}} \right..$
Lời giải:
Ta có: $\overrightarrow {AB} = (1;0; – 1)$, $\overrightarrow {AC} = ( – 1; – 2;1).$
Mặt phẳng $(ABC)$ có một vectơ pháp tuyến là:
${\vec n_{(ABC)}} = [\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AC} ] = ( – 2;0; – 2).$
Đường thẳng $d$ qua $F(1;1;-3)$ và vuông góc với $(ABC)$ nên có một vectơ chỉ phương là ${\vec n_{(ABC)}} = ( – 2;0; – 2)$, có phương trình: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 1 – 2t}\\
{y = 1}\\
{z = – 3 – 2t}
\end{array}} \right..$
Chọn đáp án B.
Ví dụ 15: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, viết phương trình đường thẳng $\Delta $ qua $K(1;1;1)$ và vuông góc với mặt phẳng $(ABC)$, biết $A(1;3;2)$, $B(2;-1;1)$, $C(-1;1;0).$
A. $\frac{{x + 1}}{6} = \frac{{y + 1}}{4} = \frac{{z + 1}}{{ – 10}}.$
B. $\frac{{x – 1}}{6} = \frac{{y – 1}}{4} = \frac{{z – 1}}{{10}}.$
C. $\frac{{x – 1}}{3} = \frac{{y – 1}}{2} = \frac{{z – 1}}{{ – 5}}.$
D. $\frac{{x + 1}}{3} = \frac{{y + 1}}{2} = \frac{{z + 1}}{{ – 5}}.$
Lời giải:
Ta có: $\overrightarrow {AB} = (1; – 4; – 1)$, $\overrightarrow {AC} = ( – 2; – 2; – 2).$
Mặt phẳng $(ABC)$ có một vectơ pháp tuyến là:
${\vec n_{(ABC)}} = [\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AC} ] = (6;4; – 10).$
Đường thẳng $\Delta $ qua $K(1;1;1)$ và vuông góc với $(ABC)$ nên có một vectơ chỉ phương là $\frac{1}{2}{\vec n_{(ABC)}} = (3;2; – 5)$, có phương trình $\frac{{x – 1}}{3} = \frac{{y – 1}}{2} = \frac{{z – 1}}{{ – 5}}.$
Chọn đáp án C.
Ví dụ 16: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho ba điểm $M(1;0;0)$, $N(0;0;1)$ và $P(2;1;1).$ Biết tập hợp tất cả các điểm cách đều ba điểm $M$, $N$, $P$ là đường thẳng $\Delta .$ Viết phương trình $\Delta .$
A. $\frac{{x – 1}}{1} = \frac{{y – \frac{1}{2}}}{2} = \frac{{z – 1}}{1}.$
B. $\frac{{x – \frac{1}{2}}}{{ – 1}} = \frac{y}{2} = \frac{{z – \frac{1}{2}}}{{ – 1}}.$
C. $\frac{{x – 1}}{{ – 1}} = \frac{{y – \frac{1}{2}}}{2} = \frac{{z – 1}}{{ – 1}}.$
D. $\frac{{x – \frac{1}{2}}}{{ – 1}} = \frac{y}{2} = \frac{{z – \frac{1}{2}}}{1}.$
Lời giải:
Ta có: $\overrightarrow {MN} = ( – 1;0;1)$, $\overrightarrow {MP} = (1;1;1)$ $ \Rightarrow \overrightarrow {MN} .\overrightarrow {MP} = 0$ $ \Leftrightarrow \Delta MNP$ vuông tại $M.$
Lúc đó, $\Delta $ là đường thẳng qua trung điểm $I$ của $NP$ và vuông góc với mặt phẳng $(MNP).$
Ta có: $I\left( {1;\frac{1}{2};1} \right)$ và $[\overrightarrow {MN} ;\overrightarrow {MP} ] = ( – 1;2; – 1).$
$ \Rightarrow \Delta :\frac{{x – 1}}{{ – 1}} = \frac{{y – \frac{1}{2}}}{2} = \frac{{z – 1}}{{ – 1}}.$
Chọn đáp án C.
Ví dụ 17: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho ba điểm $A(1;1;0)$, $B(0;0;1)$ và $C(2;1;1).$ Biết tập hợp tất cả các điểm cách đều ba điểm $A$, $B$, $C$ là đường thẳng $\Delta .$ Viết phương trình đường thẳng $\Delta .$
A. $\frac{{x – 1}}{{ – 1}} = \frac{{y – \frac{1}{2}}}{2} = \frac{{z – 1}}{1}.$
B. $\frac{{x – \frac{1}{2}}}{{ – 1}} = \frac{y}{2} = \frac{{z – \frac{1}{2}}}{{ – 1}}.$
C. $\frac{{x – 1}}{{ – 1}} = \frac{{y – \frac{1}{2}}}{2} = \frac{{z – 1}}{{ – 1}}.$
D. $\frac{{x – \frac{1}{2}}}{{ – 1}} = \frac{y}{2} = \frac{{z – \frac{1}{2}}}{1}.$
Lời giải:
Ta có: $\overrightarrow {AB} = ( – 1; – 1;1)$, $\overrightarrow {AC} = (1;0;1)$ $ \Rightarrow \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = 0$ $ \Leftrightarrow \Delta ABC$ vuông tại $A.$
Lúc đó, $\Delta $ là đường thẳng qua trung điểm $I$ của $BC$ và vuông góc với mặt phẳng $(ABC).$ Ta có: $I\left( {1;\frac{1}{2};1} \right)$ và $[\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AC} ] = ( – 1;2;1).$
$ \Rightarrow \Delta :\frac{{x – 1}}{{ – 1}} = \frac{{y – \frac{1}{2}}}{2} = \frac{{z – 1}}{1}.$
Chọn đáp án A.
Ví dụ 18: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho ba điểm $A(5;3;-1)$, $B(2;3;-4)$ và $C(1;2;0).$ Biết tập hợp tất cả các điểm cách đều ba điểm $A$, $B$, $C$ là đường thẳng $\Delta .$ Viết phương trình đường thẳng $\Delta .$
A. $\frac{{x – \frac{7}{2}}}{{ – 1}} = \frac{{y – 3}}{5} = \frac{{z + \frac{5}{2}}}{1}.$
B. $\frac{{x – 3}}{{ – 1}} = \frac{{y – \frac{5}{2}}}{5} = \frac{{z + \frac{1}{2}}}{1}.$
C. $\frac{{x – \frac{8}{3}}}{{ – 1}} = \frac{{y – \frac{{11}}{3}}}{5} = \frac{{z + \frac{5}{3}}}{1}.$
D. $\frac{{x – \frac{3}{2}}}{{ – 1}} = \frac{{y – \frac{5}{2}}}{5} = \frac{{z + 2}}{1}.$
Lời giải:
Ta có: $\overrightarrow {AB} = ( – 3;0; – 3)$, $\overrightarrow {AC} = ( – 4; – 1;1)$, $\overrightarrow {BC} = ( – 1; – 1;4).$
$ \Rightarrow AB = AC = BC = 3\sqrt 2 $ $ \Leftrightarrow \Delta ABC$ là tam giác đều.
Lúc đó, $\Delta $ là đường thẳng qua trọng tâm $G$ của $\Delta ABC$ và vuông góc với mặt phẳng $(ABC).$
Ta có: $G\left( {\frac{8}{3};\frac{{11}}{3}; – \frac{5}{3}} \right).$
$[\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AC} ] = ( – 3;15;3) = 3( – 1;5;1)$ $ \Rightarrow \Delta :\frac{{x – \frac{8}{3}}}{{ – 1}} = \frac{{y – \frac{{11}}{3}}}{5} = \frac{{z + \frac{5}{3}}}{1}.$
Chọn đáp án C.
III. LUYỆN TẬP1. ĐỀ BÀICâu 1: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, viết phương trình đường thẳng $PQ$, biết $P(1;0;1)$ và $Q(2;1;-1).$
A. $\frac{{x – 1}}{1} = \frac{y}{{ – 1}} = \frac{{z – 1}}{2}.$
B. $\frac{{x – 1}}{1} = \frac{y}{1} = \frac{{z – 1}}{2}.$
C. $\frac{{x – 1}}{1} = \frac{{y – 1}}{1} = \frac{{z – 1}}{{ – 2}}.$
D. $\frac{{x – 1}}{1} = \frac{y}{1} = \frac{{z – 1}}{{ – 2}}.$
Câu 2: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho hai điểm $M(1;1;2)$ và $N(2;0;3).$ Phương trình nào dưới đây không là phương trình đường thẳng $MN$?
A. $\frac{{x – 2}}{1} = \frac{y}{{ – 1}} = \frac{{z – 3}}{1}.$
B. $\frac{{x – 1}}{1} = \frac{{y – 1}}{{ – 1}} = \frac{{z + 2}}{1}.$
C. $\frac{{x – 1}}{1} = \frac{{y – 1}}{{ – 1}} = \frac{{z – 2}}{1}.$
D. $\frac{{x – 3}}{2} = \frac{{y + 1}}{{ – 2}} = \frac{{z – 4}}{2}.$
Câu 3: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, viết phương trình đường thẳng $d$ chứa trục $Oy.$
A. $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 1}\\
{y = t}\\
{z = 0}
\end{array}} \right..$
B. $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 0}\\
{y = t}\\
{z = 0}
\end{array}} \right..$
C. $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = t}\\
{y = 0}\\
{z = 1}
\end{array}} \right..$
D. $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = t}\\
{y = t}\\
{z = t}
\end{array}} \right..$
Câu 4: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, viết phương trình đường thẳng $d$ chứa trục $Oz.$
A. $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 1}\\
{y = 0}\\
{z = 4 + 2t}
\end{array}} \right..$
B. $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 0}\\
{y = t}\\
{z = 0}
\end{array}} \right..$
C. $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = t}\\
{y = 0}\\
{z = 1}
\end{array}} \right..$
D. $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 0}\\
{y = 0}\\
{z = 4 + 2t}
\end{array}} \right..$
Câu 5: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, trong các phương trình sau phương trình nào không là phương trình đường thẳng chứa trục $Oy$?
A. $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 0}\\
{y = 1 – 3t}\\
{z = 0}
\end{array}} \right..$
B. $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 1}\\
{y = 2 – 5t}\\
{z = 0}
\end{array}} \right..$
C. $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 0}\\
{y = 4t}\\
{z = 0}
\end{array}} \right..$
D. $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 0}\\
{y = 2t}\\
{z = 0}
\end{array}} \right..$
Câu 6: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, viết phương trình đường thẳng $d$ qua $A(1;2;3)$ và song song với trục $Ox.$
A. $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 1 + t}\\
{y = 2}\\
{z = 3}
\end{array}} \right..$
B. $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 1 + t}\\
{y = 2t}\\
{z = 3t}
\end{array}} \right..$
C. $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 1}\\
{y = 2}\\
{z = 3 + t}
\end{array}} \right..$
D. $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 1}\\
{y = 2 + t}\\
{z = 3}
\end{array}} \right..$
Câu 7: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, viết phương trình đường thẳng $d$ qua $A(2;1;2)$ và vuông góc với mặt phẳng $(Oxy).$
A. $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 2 + t}\\
{y = 1}\\
{z = 2}
\end{array}} \right..$
B. $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 2t}\\
{y = t}\\
{z = 1 + 2t}
\end{array}} \right..$
C. $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 2}\\
{y = 1}\\
{z = 2 + t}
\end{array}} \right..$
D. $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 2}\\
{y = 1 + t}\\
{z = 2}
\end{array}} \right..$
Câu 8: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, viết phương trình đường thẳng $d$ qua $A(2;1;2)$ và vuông góc với mặt phẳng $(Oxz).$
A. $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 2t}\\
{y = 1 + t}\\
{z = 2t}
\end{array}} \right..$
B. $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 2t}\\
{y = t}\\
{z = 1 + 2t}
\end{array}} \right..$
C. $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 2}\\
{y = 1}\\
{z = 2 + t}
\end{array}} \right..$
D. $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 2}\\
{y = 1 + t}\\
{z = 2}
\end{array}} \right..$
Câu 9: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, viết phương trình đường thẳng $d$ qua $A(1;2;-1)$ và song song với đường thẳng $\Delta :\frac{x}{4} = \frac{{y + 1}}{2} = \frac{z}{3}.$
A. $\frac{{x – 4}}{1} = \frac{{y – 2}}{2} = \frac{{z – 3}}{{ – 1}}.$
B. $\frac{{x – 1}}{4} = \frac{{y – 2}}{2} = \frac{{z + 1}}{3}.$
C. $\frac{{x – 1}}{4} = \frac{{y – 2}}{2} = \frac{{z – 1}}{3}.$
D. $\frac{{x – 1}}{4} = \frac{{y + 2}}{2} = \frac{{z + 1}}{3}.$
Câu 10: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, viết phương trình đường thẳng $d$ qua $A(1;2;4)$ và song song với đường thẳng $\Delta :\frac{x}{1} = \frac{{y – 1}}{2} = \frac{z}{3}.$
A. $\frac{{x + 1}}{1} = \frac{{y + 2}}{2} = \frac{{z + 4}}{3}.$
B. $\frac{{x – 1}}{1} = \frac{{y – 2}}{2} = \frac{{z + 3}}{3}.$
C. $\frac{{x – 3}}{1} = \frac{{y – 6}}{2} = \frac{{z – 10}}{3}.$
D. $\frac{{x + 1}}{1} = \frac{{y – 2}}{2} = \frac{{z + 4}}{3}.$
Câu 11: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, viết phương trình đường thẳng $d$ qua $K(3;2;5)$ và vuông góc với mặt phẳng $(P):x + 2y – 2z + 4 = 0.$
A. $\frac{{x – 3}}{1} = \frac{{y – 2}}{2} = \frac{{z – 5}}{2}.$
B. $\frac{{x – 3}}{1} = \frac{{y – 2}}{{ – 2}} = \frac{{z – 5}}{{ – 2}}.$
C. $\frac{{x – 3}}{{ – 1}} = \frac{{y – 2}}{{ – 2}} = \frac{{z – 5}}{2}.$
D. $\frac{{x – 3}}{1} = \frac{{y – 2}}{2} = \frac{{z + 5}}{2}.$
Câu 12: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho tứ diện $MNPQ$ với $M(1;0;1)$, $N(2;1;-1)$, $P(0;1;2)$, $Q(0;1;1).$ Viết phương trình đường thẳng $\Delta $ qua $P$ và vuông góc với mặt phẳng $(MNP).$
A. $\frac{x}{3} = \frac{{y – 1}}{1} = \frac{{z – 1}}{2}.$
B. $\frac{x}{3} = \frac{{y + 1}}{1} = \frac{{z + 1}}{2}.$
C. $\frac{x}{{ – 3}} = \frac{{y – 1}}{1} = \frac{{z – 1}}{2}.$
D. $\frac{x}{3} = \frac{{y – 1}}{{ – 1}} = \frac{{z – 1}}{2}.$
Câu 13: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho ba điểm $M(1;0;0)$, $N(0;0;1)$ và $P(2;1;1).$ Biết tập hợp tất cả các điểm cách đều ba điểm $M$, $N$, $P$ là đường thẳng $\Delta .$ Gọi $\vec u = (1;a;b)$$(a;b \in R)$ là một vec tơ chỉ phương của đường thẳng $\Delta $, tính $S=a+b.$
A. $S=1.$
B. $S=-1.$
C. $S=2.$
D. $S=-2.$
Câu 14: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho ba điểm $A(1;1;0)$, $B(0;0;1)$ và $C(2;1;1).$ Biết tập hợp tất cả các điểm cách đều ba điểm $A$, $B$, $C$ là đường thẳng $\Delta .$ Gọi $\vec u = (a;1;b)$, $(a;b \in R)$, tính $S = a + b.$
A. $S=1.$
B. $S=-1.$
C. $S=0.$
D. $S=-2.$
Câu 15: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho ba điểm $A(5;3;-1)$, $B(2;3;-4)$ và $C(1;2;0).$ Biết tập hợp tất cả các điểm cách đều ba điểm $A$, $B$, $C$ là đường thẳng $\Delta .$ Gọi $\vec u = (a;b;1)$ $(a;b \in R)$ là một vectơ chỉ phương của đường thẳng $\Delta .$ Tính $S = a+b.$
A. $S=1.$
B. $S=-1.$
C. $S=0.$
D. $S= 4.$

2. BẢNG ĐÁP ÁN

Câu	1	2	3	4	5
Đáp án	D	B	B	D	B
Câu	6	7	8	9	10
Đáp án	A	C	D	B	C
Câu	11	12	13	14	15
Đáp án	C	A	B	C	D