Tóm tắt lý thuyết Khi ta xác định được phân phối xác suất của đại lượng ngẫu nhiên thì ta đã nắm được toàn bộ thông tin về đại lượng ngẫu nhiên đó. Tuy nhiên trong thực tế rất khó và cũng không cần thiết phải nắm được toàn bộ những thông tin này, mà chỉ cần quan tâm đến những thông tin quan trọng nhất, phản ánh các đặc trưng cơ bản của đại lượng ngẫu nhiên đang nghiên cứu. Phần này chúng ta nêu ra một vài tham số dặc trưng quan trọng nhất, phản ánh từng mặt của một đại lượng ngẫu nhiên. 1. Kỳ vọng toán Định nghĩa: Giả sử X là một đại lượng ngẫu nhiên rời rạc có thể nhận các giá trị: x1,x2, . . .xn với các xác suất tương ứng: p1, p2, . . . pn. Kỳ vọng toán của đại lượng ngẫu nhiên X [ký hiệu là E(X)] là tổng các tích giữa các giá trị có thể có của đại lương ngẫu nhiên với các xác suất tương ứng. \({\rm{E(X) = }}\sum\limits_{i = 1}^n {{x_i}{p_i}} \) Nếu X là đại lượng ngẫu nhiên liên tục có hàm mật độ xác suất là f(x) thì kỳ vọng toán được xác định bởi biểu thức: \({\rm{E(X) = }}\int\limits_{ - \infty }^{ + \infty } {xf(x)dx} \) Các tính chất: Tính chất 1: Kỳ vọng toán của hằng số bằng chính hằng số đó. Tức: E(C) = C (với C là hằng số) Chứng minh: Thật vậy, hằng số C có thể xem như một đại lượng ngẫu nhiên đặc biệt, chỉ nhận một giá trị có thể có là C với xác xuất tương ứng bằng 1. Do đó theo định nghĩa: E(C) = C.1 = C Tính chất 2: E(CX) = C.E(X) (với C là hằng số) Chứng minh: Thật vậy, giả sử đại lượng ngẫu nhiên X có luật phân phối xác suất là: X x1 x2 ...... xnP p1 p2 ...... pnKhi đó CX sẽ là đại lượng ngẫu nhiên rời rạc mà các giá trị có thể có là: \(C{x_1},C{x_2},....,C{x_n}\) Mặt khác, do \((X = {x_i}) = (CX = C{x_i})(i = 1,2,...,n)\) nên \(P(X = {x_i}) = P(CX = C{x_i})(i = 1,2,....,n)\) Như vậy bảng phân phối xác suất của đại lượng ngẫu nhiên CX có dạng: CX Cx1 Cx2 ...... CxnP p1 p2 ...... pnTheo định nghĩa ta có: \(E(CX) = \sum\limits_{i = 1}^n {C{x_i}{p_i}} = C\sum\limits_{i = 1}^n {{x_i}{p_i}} = CE(X)\) Tính chất 3: Kỳ vọng toán của tổng hai đại lượng ngẫu nhiên bằng tổng các kỳ vọng toán thành phần. Tức là: E(X+Y) = E(X) + E(Y) Chứng minh: Giả sử X, Y là các đại lượng ngẫu nhiên rời rạc có luật phân phối xác suất như sau: X x1 x2 ...... xnPx p1 p2 ...... pnY y1 y2 ...... ymPy q1 q2 ...... qmKhi đó ta có phân phối xác suất của đại lượng ngẫu nhiên tổng (X+Y) như sau: X+Y (x1+ y1) (x1+ y2) ...... (xi+ yj) ........ (xn+ ym)P p11 p12 ...... pij ......... pnmTrong đó: pij là xác suất để đại lượng ngẫu nhiên (X +Y) nhận giá trị: \(({x_i} + {y_j}).(i = \overline {1,n} ;\,j = \overline {1,m} )\) Theo định nghĩa kỳ vọng toán ta có: \(E(X + Y) = \sum\limits_{i = 1}^n {\sum\limits_{j = 1}^m {({x_i} + {y_j}} } ){p_{{\rm{ij}}}} = \sum\limits_{i = 1}^n {\sum\limits_{j = 1}^m {{x_i}.{p_{{\rm{ij}}}}} } + \sum\limits_{i = 1}^n {\sum\limits_{j = 1}^m {{y_i}.{p_{{\rm{ij}}}}} } \) \(= \sum\limits_{i = 1}^n {{x_i}\sum\limits_{j = 1}^m {{p_{{\rm{ij}}}}} } + \sum\limits_{j = 1}^m {{y_i}\sum\limits_{i = 1}^n {{p_{{\rm{ij}}}}} } \) Ta sẽ chứng minh rằng: \(\sum\limits_{j = 1}^m {{p_{{\rm{ij}}}}} = {p_i}\,\,\,\,\,(\forall i = \overline {1,n} )\) Thật vậy: Biến cố (X = xi) sẽ xảy ra khi tổng (X+Y) nhận một trong các giá trị: \(({x_i} + {y_1});({x_i} + {y_2});....;({x_i} + {y_m})\) Do đó theo công thức cộng xác suất ta có: \(P(X = {x_i}) = {p_i} = P\left[ {(X + Y)} \right] = ({x_i} + {y_1}) + P\left[ {(X + Y) = ({x_i} + {y_2})} \right]\) \(........ + P\left[ {(X + Y) = ({x_i} + {y_m})} \right] = {p_{i1}} + {p_{i2}} + ..... + {p_{im}} = \sum\limits_{j = 1}^m {{p_{{\rm{ij}}}}} \) Tương tự ta cũng chứng minh được: \(\sum\limits_{i = 1}^n {{p_{{\rm{ij}}}}} = {q_j}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(\forall j = \overline {1,m} )\) Từ đó ta có: \(E(X + Y) = \sum\limits_{i = 1}^n {{x_i}{p_i}} + \sum\limits_{j = 1}^m {{y_j}{q_j}} = E(X) + E(Y)\) Bằng phương pháp qui nạp ta có thể chứng minh được tính chất trên trong trường hợp tổng quát: Kỳ vọng toán của tổng n đại lượng ngẫu nhiên: X1, X2, . . . , Xn bằng tổng các kỳ vọng toán thành phần. Tức là: \(E\left( {{X_1} + {X_2} + ...{\rm{ }} + {X_n}} \right){\rm{ }} = {\rm{ }}E\left( {{X_1}} \right) + E\left( {{X_2}} \right) + ... + E\left( {{X_n}} \right)\) Tính chất 4: Kỳ vọng toán của tích hai đại lượng ngẫu nhiên độc lập bằng tích các kỳ vọng toán của chúng. Tức là: E(XY) = E(X).E(Y) nếu X, Y độc lập Chứng minh: Giả sử X và Y là hai đại lượng ngẫu nhiên rời rạc. sử dụng các ký hiệu ở phần chứng minh tính chất 3, ta có: \(E(XY) = \sum\limits_{i = 1}^n {\sum\limits_{j = 1}^m {{x_i}{y_j}} } {p_{{\rm{ij}}}}\) Vì X, Y độc lập nên: \({p_{{\rm{ij}}}} = {p_i}.{q_j}\,\,\,\,\,\,(\forall i = \overline {1,n} ;\,\,j = \overline {1,m} )\) Do đó: \(E(XY) = \sum\limits_{i = 1}^n {{x_i}{p_i}} .\sum\limits_{j = 1}^m {{y_j}{q_j}} = E(X).E(Y)\) Bằng phương pháp qui nạp ta có thể chứng minh được tính chất trên trong trường hợp tổng quát: Kỳ vọng toán của tích n đại lượng ngẫu nhiên độc lập với nhau bằng tích các kỳ vọng toán của chúng. Tức là: \(E({X_1}{X_2}......{X_n}) = E({X_1}).E({X_2})....E({X_n})\) Chú ý: Hai đại lượng ngẫu nhiên được gọi là độc lập với nhau nếu phân phối xác suất của đại lượng ngẫu nhiên này không phụ thuộc gì vào việc đại lượng ngẫu nhiên kia nhận giá trị bằng bao nhiêu. Tổng của hai đại lượng ngẫu nhiên X và Y là đại lượng ngẫu nhiên (X+Y) mà các giá trị có thể có của nó là tổng của mỗi giá trị có thể có của X và mỗi giá trị có thể có của Y. Nếu X, Y độc lập với nhau thì các xác suất tương ứng sẽ bằng tích các xác suất thành phần. Nếu X, Y phụ thuộc nhau thì các xác suất tương ứng sẽ bằng tích xác suất của thành phần này với xác suất có điều kiện của thành phần kia. Thí dụ: Có hai kiện hàng, mỗi kiện có 12 sản phẩm. Sản phẩm trong hai kiện gồm 2 loại: loại I và loại II. Từ mỗi kiện lấy ngẫu nhiên ra 3 sản phẩm để kiểm tra. Gọi X1, X2 tương ứng là số sản phẩm loại I có trong 3 sản phẩm lấy ra từ kiện thứ nhất, thứ hai, X1, X2 là hai đại lượng ngẫu nhiên độc lập. Bản chất và ý nghĩa của kỳ vọng toán Để thấy được bản chất của kỳ vọng toán, ta xét các thí dụ sau đây: Thí dụ 1: Một lớp có 50 sinh viên, trong kỳ thi môn toán có kết quả cho ở bảng sau: Điểm3 4 5 6 7 8 9Số s/v3 7 15 10 5 6 4Nếu gọi X là điểm thi môn toán của một sinh viên chọn ngẫu nhiên từ lớp này thì X là đại lượng ngẫu nhiên có phân phối xác suất như sau: X 3 4 5 6 7 8 9P 0,06 0,14 0,3 0,2 0,1 0,12 0,08Từ bảng phân phối của X ta tính được: E(X) = 3 x 0,06+ 4 x 0,14 + 5 x 0,3 + 6 x 0,2 +7 x 0,1+ 8 x 0,12 + 9 x 0,08 Ta cũng có thể viết: \(E(X) = \frac{{3x3 + 7x\,4 + 15x5 + 10x6 + 5x7 + 6x8 + 4x9}}{{50}} = 5,82\) Dễ thấy rằng, E(X) = 5,2 chính là điểm thi trung bình môn toán của một sinh viên lớp đó. Thí dụ 2: Khảo sát về thu nhập của những người làm việc trong một công ty, giả sử có số liệu cho ở bảng sau: Thu nhập (triệu đ/tháng) 7 8 9 10 11 12 14Số người 50 70 150 120 55 30 25Gọi Y là thu nhập của một người làm việc ở công ty này, từ số liệu ở bảng trên ta có bảng phân phối xác suất của Y nnư sau: Y 7 8 9 10 11 12 14P 0,1 0,14 0,3 0,24 0,11 0,06 0,05Vậy ta có: E(Y) = 7 x 0,1 + 8 x 0,14 + 9 x 0,3 + 10 x 0,24 + 11 x 0,11 + 12 x 0,06 +14 x 0,05 \(= \frac{{7x50 + 8x70 + 9x150 + 10x120 + 11x55 + 12x30 + 14x25}}{{500}} = 9,55\) Như vậy, trong thí dụ này, E(Y) = 9,55 triệu đ/năm chính là thu nhập trung bình của một người làm việc ở công ty này. Vậy kỳ vọng toán của đại lượng ngẫu nhiên chính là giá trị trung bình của đại lượng ngẫu nhiên đó. Chẳng hạn, nếu X là chiều cao của một loại cây (cùng độ tuổi) thì E(X) là chiều cao trung bình của loại cây này; Nếu Y là năng suất lúa ở vùng đồng bằng sông cửu Long của năm 2010 thì E(Y) là năng suất lúa trung bình ở vùng này trong năm đó. Trong thực tế người ta thường lấy một mẫu gồm n quan sát để nghiên cứu về một tổng thể. Khi đó kỳ vọng toán của đại lượng ngẫu nhiên xấp xi với trung bình số học các giá trị quan sát của đại lượng ngẫu nhiên (trung bình mẫu). Kỳ vọng toán phản ánh giá trị trung tâm của một phân phối xác suất, có nhiều giá trị của đại lượng ngẫu nhiên nhận giá trị gần với kỳ vọng toán. Chẳng hạn, ở thí dụ 2 nêu trên, ta có E(Y) = 9,55 có nghĩa là có nhiều người ở công ty này có mức thu nhập xấp xỉ ở mức 9,55 triệu đ/năm. Cụ thể là có 150 người có mức thu nhập 9 triệu đ/năm và 120 người có mức thu nhập 10 triệu đ/năm. 2. Phương sai Trong thực tế, nhiều khi nếu chỉ xác định kỳ vọng toán của đại lượng ngẫu nhiên thì chưa đủ. Để xác định một đại lượng ngẫu nhiên ta còn phải xác định mức độ phân tán các giá trị của đại lượng ngẫu nhiên xung quanh giá trị trung bình của nó. Chẳng hạn, khi nghiên cứu đại lượng ngẫu nhiên là năng suất lúa của một vùng nào đó, thì năng suất lúa trung bình (kỳ vọng toán) mới chỉ phản ánh được một mặt của đại lượng ngẫu nhiên này. Mức độ chênh lệch về năng suất (so với năng suất trung bình) ở những thửa ruộng khác nhau cũng là vấn đề cần quan tâm nghiên cứu. Bởi vì nếu mức độ chênh lệch này nhỏ thì chứng tỏ giống lúa đó có năng suất khá ổn định. Từ đó ta có khái niệm về phương sai. Định nghĩa: Phương sai của đại lượng ngẫu nhiên X, ký hiệu là Var(X) [hoặc D(X)], được định nghĩa bằng công thức: \(V{\rm{ar}}(X) = E\left\{ {{{\left[ {X - E(X)} \right]}^2}} \right\}\) Chú ý: Phương sai được định nghĩa bằng một công thức. Nhưng Nếu X là đại lượng ngẫu nhiên rời rạc thì: \(V{\rm{ar}}(X) = {\sum\limits_{i = 1}^n {\left[ {{x_i} - E(X)} \right]} ^2}{p_i}\) Nếu X là đại lượng ngẫu nhiên liên tục thì: \(V{\rm{ar}}(X) = \int\limits_{ - \infty }^{ + \infty } {{{\left[ {x - f(x)} \right]}^2}} f(x)dx\) Trong thực tế người ta thường tính phương sai bằng công thức: \(V{\rm{ar}}(X) = E({X^2}) - {\left[ {E(X)} \right]^2}\) Thật vây: Theo định nghĩa của phương sai, ta có: \(V{\rm{ar}}(X) = E\left\{ {{{\left[ {X - E(X)} \right]}^2}} \right\} = E\left\{ {{X^2} - 2XE(X) + {{\left[ {E(X)} \right]}^2}} \right\}\) \(= E({X^2}) - 2E(X).E(X) + {\left[ {E(X)} \right]^2} = {\left[ {E({X^2}) - E(X)} \right]^2}\) Thí dụ: Cho đại lượng ngẫu nhiên X có phân phối xác suất như sau: X 1 3 4P 0,1 0,5 0,4Tìm phương sai của X? Giải Theo định nghĩa kỳ vọng toán ta có: \(E(X)=1x0,1+3x0,5+4x0,4=3,2\) \(E(X^2)=1^2x0,1+3^2x0,5+4^2x0,4=11\) Vậy \(Var(X)=11-(3,2)^2=0,76\) Các tính chất của phương sai Tính chất 1: Phương sai của hằng số bao giờ của bằng 0. Tức là: Var(C) = 0 (với C là hằng số) Tính chất 2: \(V{\rm{ar}}(CX) = {C^2}V{\rm{ar}}(X)\) (với C là hằng số) Dựa vào định nghĩa của phương sai, bạn đọc có thể tự chứng minh hai tính chất trên. Tính chất 3: Nếu X, Y là hai đại lượng ngẫu nhiên độc lập thì: Var(X + Y) = Var(X) + Var(Y) Chứng minh: Theo công thức tính phương sai ta có: \(V{\rm{ar}}(X + Y) = E\left[ {{{(X + Y)}^2}} \right] - \left[ {E{{(X + Y)}^2}} \right] = E({X^2} + 2X.Y + {Y^2}) - {\left[ {E(X) + E(Y)} \right]^2}\) \( = E({X^2}) + 2E(XY) + E({Y^2}) - {\left[ {E(X)} \right]^2} - {\left[ {E(Y)} \right]^2} - 2E(X).E(Y)\) Vì X, Y độc lập nên: E(XY) = E(X).E(Y) Vậy \(V{\rm{ar}}(X + Y) = E({X^2}) - {\left[ {E(X)} \right]^2} + E({Y^2}) - {\left[ {E(Y)} \right]^2}\) Hay: Var(X + Y) = Var(X) + Var(Y) Trường hợp tổng quát, nếu X1, X2,....Xn là n đại lượng ngẫu nhiên độc lập thì: \(V{\rm{ar}}({X_1} + {X_2} + ... + {X_n}) = V{\rm{ar}}({X_1}) + V{\rm{ar}}({X_2}) + ... + V{\rm{ar}}({X_n})\) Bằng phương pháp quy nạp bạn đọc có thể chứng minh kết luận trên. Từ tính chất 3 ta có thể chứng minh được các hệ quả sau: Hệ quả 1: Var(X - Y) = Var(X) + Var(Y) Nếu X, Y độc lập Chứng minh: Thật vậy. theo tính chất của phương sai ta có: \(V{\rm{ar}}(X - Y) = V{\rm{ar}}\left[ {X + ( - Y)} \right] = V{\rm{ar}}(X) + V{\rm{ar}}( - Y) = V{\rm{ar}}(X) + {( - 1)^2}V{\rm{ar}}(Y) = V{\rm{ar}}(X) + V{\rm{ar}}(Y)\) Hệ quả 2: Var(C + X) = Var(X) (với C là hằng số) Bản chất và ý nghĩa của phương sai Ta thấy, kỳ vọng toán của một đại lượng ngẫu nhiên là giá trị trung bình của đại lượng ngẫu nhiên đó (trong sản xuất công nghiệp, kỳ vọng toán thường là giá trị qui định. Chẳng hạn như: đường kính qui định, trọng lượng qui định,... ) Còn thực tế sản xuất ra những sản phẩm có đường kính, họng lượng, .... sai lệch so với qui định. Độ sai lệch này được đặc trưng bởi đại lượng ngẫu nhiên: [X - E(X)]. Mà phương sai được định nghĩa bởi công thức: Var(X) = E{[X-E(X)]2} Như vậy, thực chất của phương sai là:" kỳ vọng toán của bình phương các sai lệch” hay nói một cách khác" Phương sai là sai lệch bình phương trung bình", nó phản ánh mức độ phân tán các giá trị của đại lượng ngẫu nhiên xung quanh giá trị trung bình. Đại lượng nào có nhiều giá trị sai lệch lớn so với giá trị trung bình thì phương sai sẽ lớn; Đại lượng nào có nhiều giá trị sai lệch ít so với giá trị trung bình thì phương sai sẽ nhỏ. Trong sản xuất công nghiệp, phương sai thường biểu thị độ chính xác của sản xuất. Trong chăn nuôi, phương sai biểu thị mức độ đồng đều của đàn gia súc. Trong ưồng trọt, phương sai biểu thị mức độ ổn định của năng suất cây trồng.... 3. Độ lệch chuẩn Ngoài phương sai ra, người ta còn sử dụng một tham số khác để đặc trưng cho mức độ phân tán của đại lượng ngẫu nhiên, đó là độ lệch chuẩn. Độ lệch chuẩn của đại lượng ngẫu nhiên X [ký hiệu là \(\sigma \) (X)] là căn bậc 2 của phương sai: \(\sigma (X) = \sqrt {V{\rm{ar}}(X)} \) Ta thấy rằng đơn vị đo của phương sai bằng bình phương đơn vị đo của đại lượng ngẫu nhiên. Vì vậy khi cần phải đánh giá mức độ phân tán các giá trị của đại lượng ngẫu nhiên theo đơn vị đo của nó, người ta thường dùng độ lệch tiêu chuẩn, vì độ lệch tiêu chuẵn có cùng đơn vị đo với đại lượng ngẫu nhiên đang nghiên cứu. 4. Giá trị tin chắc nhất Định nghĩa: Giá trị tin chắc nhất của đại lượng ngẫu nhiên rời rạc X [ký hiệu là Mod(X)] là giá trị của X ứng với xác suất lớn nhất ưong bảng phân phối xác suất. Nếu X là đại lượng ngẫu nhiên liên tục có hàm mật độ xác suất f(x) thì Mod(X) là giá trị của X mà tại đó hàm mật độ đạt giá trị cực đại. Thí dụ: Đại lượng ngẫu nhiên X có qui luật phân phối xác suất như sau: X78910111214P0,10,140,30,240,110,060,05Ta thấy P(X = 9) = 0,3 lớn nhất. Vì vậy Mod(X) = 9 Từ định nghĩa của Mod(X) ta thấy Mod(X) chính là giá trị có khả năng xảy ra nhiều nhất trong các giá trị mà đại lượng ngẫu nhiên X có thể nhận. Chẳng hạn, X là chiều cao của sinh viên trong một trường, thì Mod(X) là chiều cao mà nhiều sinh viên đạt được nhất; Nếu Y là năng suất của những công nhân trong một nhà máy thì Mod(Y) là năng suất mà số công nhân đạt được mức năng suất này ở nhà máy là nhiều nhất... Chú ý: Mod(X) có thể nhận nhiều giá trị khác nhau. Thí dụ: Đại lượng ngẫu nhiên Y có phân phối xác suất như sau: Y1234567P0,10,150,30,30,080,050,02Ta thấy xác suất lớn nhất trong bảng trên là 0,3 ứng với hai giá trị Y = 3 và Y = 4. Vậy Mod(Y) = 3 hoặc Mod(Y) = 4. 5. Một số tham số đặc trưng khác 5.1 Mô men Định nghĩa 1: Mô men gốc cấp k (ký hiệu là \({\alpha _k}\)) được định nghĩa như sau: \({\alpha _k} = E\left| {{{(X)}^k}} \right|\) Định nghĩa 2: Mô men trung tâm cấp k (ký hiệu là \({\mu _k}\)) được định nghĩa như sau: \({\mu _k} = E\left\{ {{{\left[ {X - E(X)} \right]}^k}} \right\}\) Như vậy, kỳ vọng toán chính là mô men gốc cấp 1: \(E(X) = {\alpha _1}\) ; Phương sai chính là mô men trung tâm cấp 2: \(v{\rm{ar(X) = }}{\mu _2}\) Giữa mô men gốc và mô men trung tâm có mối liên hệ như sau: \({\mu _2} = v{\rm{ar}}(X) = E({X^2}) - {\left[ {E(X)} \right]^2} = {\alpha _2} - {({\alpha _1})^2}\) \({\mu _3} = {\alpha _3} - 3{\alpha _1}{\alpha _2} + 2{({\alpha _1})^3}\) \({\mu _4} = {\alpha _4} - 4{\alpha _1}{\alpha _3} + 6{({\alpha _1})^2}{\alpha _2} - 3{({\alpha _1})^4}\) 5.2 Hệ số bất đối xứng Ta định nghĩa: \(S = \frac{{{\mu _3}}}{{{\sigma ^3}}}\) Là hệ số bất đối xứng của đại lượng ngẫu nhiên X (trong đó \(\sigma \) là độ lệch chuẩn. Xét biểu thức của \({{\mu _3}}\) ta có: \({\mu _3} = E\left\{ {{{\left[ {X - E(X)} \right]}^3}} \right\} = {\int\limits_{ - \infty }^{ + \infty } {\left[ {x - E(X)} \right]} ^3}f(x)dx\) Bằng phép tịnh tiến trục Oy đến đường thẳng X = E(X) ta thấy: Nếu đồ thị của hàm mật độ f(x) đối xứng qua đường thẳng X = E(X) thì \({\mu _3}=0\) (hình 2.6) hình 2.6 Nếu \({\mu _3}>0\) thì đồ thị của hàm mật độ f(x) không đối xứng qua đường thẳng X = E(X), phân phối của X lệch về phía bên phải, (hình 2.7) Hình 2.7 Nếu \({\mu _3}<0\) thì đồ thị của hàm mật độ f(x) không đối xứng qua đường thẳng X = E(X), phân phối của X lệch về phía bên trái, (hình 2.8) Hình 2.8 5.3 Hệ số nhọn Ta định nghĩa: \(K = \frac{{{\mu _4}}}{{{\sigma _4}}}\) Là hệ số nhọn của đại lượng ngẫu nhiên X. Nếu K càng lớn thì đồ thị hàm mật độ của đại lượng ngẫu nhiên đó càng nhọn, (hình 2.9) Hình 2.9 5.4 Trung vị Trung vị của đại lượng ngẫu nhiên X [Ký hiệu là Med(X)] là giá trị chia phân phối của đại lượng ngẫu nhiên thành hai phần bằng nhau. Nếu X là đại lượng ngẫu nhiên rời rạc, ta có thể sắp xếp các giá trị của X (và quan tâm đến số lần lặp lại của X) thành một dãy số theo thứ tự từ 1 đến n. Nếu n lẻ thì Med(X) là giá trị của X đứng ở vị trí thứ \(\frac{{n + 1}}{2}\); Nếu n chẵn thì Med(X) là trung bình cộng hai giá trị của X đứng ở vị trí\(\frac{{n }}{2}\) và Nếu X là đại lượng ngẫu nhiên liên tục thì trung vị là giá trị Me thỏa mãn điều kiện: \(\int\limits_{ - \infty }^{Me} {f(x)dx} \) Thí dụ 1: Cho đại lượng ngẫu nhiên X có bảng phân phối xác suất như sau: X012P2/158/155/15Tìm Med(X) Giải: Sắp xếp các giá trị của X theo thứ tự tăng dần và có chú ý đến số lần lặp lại của X ta được: Số TT123456789101112131415X001111111122222Theo bảng trên, n = 15; X nhận giá trị 0 được lặp lại 2 lần; [vì P(X = 0) = 2/15]; X nhận giá trị 1 được lặp lại 8 lần; [vì P(X = 1) = 8/15]; X nhận giá trị 2 được lặp lại 5 lần; [vì P(X = 2) = 5/15]; Vì n lẻ (n =15) nên Med(X) = 1 (1 là giá trị của X đứng ở vị trí thứ 8) Thí dụ 2: Cho đại lượng ngẫu nhiên Y có quy luật phân phối xác suất như sau: Y3456789P0,060,140,30,20,10,120,08Tìm Med(Y). Giải: Sắp xếp các giá trị của Y theo thứ tự tăng dần và có chú ý đến số lần lặp lại của Y ta được: Số TT12345678910111213Y3334444444555Số TT14151617181920212223242526Y5555555555556STT27282930313233343536373839Y6666666667777STT4041424344454647484950Y78888889999Trong bảng trên giá trị Y=3 được lặp lại 3 lần vì P(Y=3) = 0,06 =3/50 giá trị Y = 4 được lặp lăi 7 lần vì P(Y = 4) = 0,14 = 7/50;.... Vì n chẵn (n = 50) nên Med(Y) là trung bình cộng của 5 và 6 (là hai giá trị của Y nằm ở vị trí 25 và 26). Vậy: Međ(Y) = 5,5 Chú ý: Để tính Med(X) ta có thể dùng hàm MEDIAN trong Excel