Xác suất & Thống kê - Chương 6 - Bài 5: Mẫu ngẫu nhiên hai chiều

Tóm tắt lý thuyết

1. Khái niệm

Giả sử trên cùng một tổng thể ta cần phải nghiên cứu đồng thời hai dấu hiệu (định tính hoặc đinh lượng), trong đó dấu hiệu thứ nhất có thể xem như đại lượng ngẫu nhiên X, dấu hiệu thứ hai có thể xem như đại lượng ngẫu nhiên Y. Khi đó việc nghiên cứu đồng thời hai dấu hiệu được xem như nghiên cứu một đại lượng ngẫu nhiên hai chiều.
Từ tổng thể lấy một mẫu kích thước n, tức thực hiện n phép thử đối với đại lượng ngẫu nhiên (X, Y). Gọi (Xi, Yi) (i = 1, 2,..., n) là các giá trị của đại lượng ngẫu nhiên hai chiều (X, Y) thu thập được trên phần tử thứ i được chọn vào mẫu \(\left( {i = \overline {1,n} } \right)\). Khi đó ta có n đại lượng ngẫu nhiên hai chiều độc lập. Từ đó ta có định nghĩa mẫu ngẫu nhiên hai chiều như sau:
Mẫu ngẫu nhiên hai chiều kích thước n là tập hợp n đại lượng ngẫu nhiên độc lập: (X1, Y1), (X2, Y2),...., (Xn , Yn) được thành lập từ đại lượng ngẫu nhiên hai chiều (X, Y) và có cùng qui luật phân phối xác suất với (X,Y)
Mầu ngẫu nhiên hai chiều được ký hiệu là:
WXY =[(X1,Y1),(X2,Y2).......... (Xn,Yn)]
Thực hiện một phép thử đối với mẫu ngẫu nhiên WXY, tức thực hiện một phép thử đối với mỗi thành phần của mẫu. Giả sử (Xi, Yi) nhận giá trị \((x_i,y_i)\left( {i = \overline {1,n} } \right)\), khi đó ta sẽ thu được một mẫu cụ thể:
Wxy = [(x1,y1),(x2,y2).......... ,(xn,yn)]

2. Phương pháp mô tả mẫu ngẫu nhiên hai chiều

Giả sử từ tổng thể chọn ra một mẫu ngẫu nhiên hai chiều kích thước n. Trong đó thành phần X nhận các giá trị: x1, x2,... , xk và thành phần Y nhận các giá trị: y1, y2,..., yh.Trong đó giá trị (xi, yi) xuất hiện với tần số \({n_{{\rm{ij}}}}(i = \overline {1,k} ;j = \overline {1,h} ).\). Sau khi các giá trị xi và yi được sắp xếp theo thứ tự tăng dần thì mẫu cụ thể Wxy có thể được mô tả bằng bảng phân phối tần số thực nghiệm sau:
Bảng 6.35

Y	y1	y2	.....	yh	ni
X
x1	n11	n12	.....	n1h	n1
x2	n21	n22	.....	n2h	n2
......	....	....	.....	.....
xk	nk1	nk2	.....	mkh	nk
mj	m1	m2	.....	mh	n

Trong đó:
\({n_i} = \sum\limits_{j = 1}^h {{n_{{\rm{ij}}}}\,\,tần \, số\,của\,{x_i}} \,\left( {i = \overline {1.k} } \right)\)
\({m_i} = \sum\limits_{i = 1}^k {{n_{{\rm{ij}}}}\,\,tần \, số\,của\,{x_i}} \,\left( {j = \overline {1.h} } \right)\)

3. Các tham số đặc trưng của mẫu ngẫu nhiên hai chiều

Từ bảng phân phối thực nghiệm của mẫu ngẫu nhiên hai chiều ta có thể rút ra:
Bảng phân phối thực nghiệm của thành phần X

X	x1	x2	....	xk
ni	n1	n2	....	nk

Từ bảng này ta sẽ tính được các tham số đặc trưng mẫu đối với X.
Bảng phân phối thực nghiệm của thành phần Y

Y	y1	y2	....	yh
mj	m1	m2	....	mh

Từ bảng này ta sẽ tính được các tham số đặc trưng mẫu đối với Y.
Bảng phân phôi có điều kiện thực nghiệm của Y khi X = xi

Y	yi	y2	....	yh
Tần số	ni1	ni2	....	nih

Trong đó: \(\sum\limits_{j = 1}^h {{n_{{\rm{ij}}}} = {n_i}} \)
Từ bảng này ta sẽ tính được trung bình có điều kiện của Y (điều kiện X = xi).
\(\overline {{y_{xi}}} = \frac{1}{{{n_i}}}\sum\limits_{j = 1}^h {{n_{{\rm{ij}}}}{y_i}} \)
Bảng phân phối có điều kiện thực nghiệm của X khi Y=yj

X	xi	x2	....	xk
Tần số	n1j	n2j	....	nkj

Trong đó: \(\sum\limits_{i = 1}^k {{n_{{\rm{ij}}}} = {m_i}} \)
Từ bảng này ta sẽ tính được trung bình có điều kiện của X (điều kiện Y = yj).
\(\overline {{x_{yi}}} = \frac{1}{{{m_j}}}\sum\limits_{i = 1}^k {{n_{{\rm{ij}}}}{x_i}} \)