Tóm tắt lý thuyết 1. Mô tả phương pháp khoảng tin cậy Để ước lượng tham số \(\theta\) của đại lượng ngẫu nhiên X, từ X ta lập mẫu ngẫu nhiên WX = (X1, X2,..., Xn). Chọn thống kê \(\widehat \theta = f({X_1},{X_2},...,{X_n},\theta )\) sao cho: Mặc dù chưa biết giá trị của \( \theta \) nhưng qui luật phân phối xác suất của \(\widehat \theta \) vẫn hoàn toàn xác định. Do đó với xác suất \(\alpha\) khá bé (trong thực tế người ta thường lấy \((\alpha \le 0,05)\) ta có thể tìm được hai số: a và b thỏa mãn: \(P(a \le \widehat \theta \le b) = 1 - \alpha \) (7.2) Nếu từ (7.2) giải ra được \( \theta \). Tức là ta đưa biểu thức (7.2) về dạng: \(P(\widehat {{\theta _1}} \le \theta \le \widehat {{\theta _2}}) = 1 - \alpha \) thì: Khoảng \((\widehat {{\theta _1}},\widehat {{\theta _2}})\) được gọi là khoảng tin cậy của \(\theta\). Vì \(\widehat {{\theta _1}},\widehat {{\theta _2}}\) là các đại lượng ngẫu nhiên nên khoảng \((\widehat {{\theta _1}},\widehat {{\theta _2}})\) là khoảng ngẫu nhiên. \((1 - \alpha )\) gọi là độ tin cậy (hệ số tin cậy) của ước lượng. Trong thực tế người ta thường yêu cầu \(1 - \alpha \ge95%\) để có thể sử dụng nguyên lý xác suất lớn cho biến cố: \((\widehat {{\theta _1}} \le \theta \le \widehat {{\theta _2}})\) \(\ell = \widehat {{\theta _2}} - \widehat {{\theta _1}}\) gọi là độ dài khoảng tin cậy. \(\ell \) có thể là hằng số và cũng có thể là đại lượng ngẫu nhiên. Do xác suất \(1 - \alpha \) khá lớn, nên theo nguyên lý xác suất lớn ta có thể coi biến cố \((\widehat {{\theta _1}} \le \theta \le \widehat {{\theta _2}})\) hầu như chắc chắn xảy ra trong một phép thử. Thực hiện một phép thử đối với mẫu ngẫu nhiên WX, ta sẽ thu được mẫu cụ thể: WX = (X1, X2, . . . , Xn). Từ mẫu cụ thể này ta tính được giá trị của \(\widehat {{\theta _1}}\) và \(\widehat {{\theta _2}}\), ký hiệu các giá trị đó tương ứng là \({\widehat {{\theta _1}}^*},{\widehat {{\theta _2}}^*}\) Như vậy có thể kết luận: Với độ tin cậy \(1 - \alpha \), qua mẫu cụ thể WX, \(\theta \) nằm trong khoảng \(\left( {{{\widehat {{\theta _1}}}^*},{{\widehat {{\theta _2}}}^*}} \right)\). Tức là: \((\widehat {{\theta _1}} < \theta < \widehat {{\theta _2}})\) Phương pháp ước lượng này có ưu điểm là: không những chỉ tìm được khoảng \(\left( {{{\widehat {{\theta _1}}}^*},{{\widehat {{\theta _2}}}^*}} \right)\) để ước lượng \(\theta \) mà còn cho biết độ tin cậy của ước lượng. Tuy nhiên nó cũng chứa đựng khả năng mắc phải sai lầm, xác suất mắc phải sai lầm là \(\alpha\). Dưới đây chúng ta sẽ áp dụng phương pháp này để ước lượng các số đặc tnmg của tổng thể (cũng là các tham số đặc trưng của một đại lượng ngẫu nhiên). 2. Ước lượng trung bình của tổng thể Giả sử trung bình của tổng thể (cũng chính là kỳ vọng toán của đại lượng ngẫu nhiên X) là \(\mu\) chưa biết, ta cần ước lượng \(\mu\) với độ tin cậy \(1- \alpha\). Lập mẫu ngẫu nhiên Wx = (X1, X2,....,Xn) và xét các trường hợp sau: 2.1 Trường hợp kích thước mẫu n\(\ge\)30 (hoặc n < 30 nhưng X có phân phối chuẩn) \({\sigma ^2}\) đã biết. Xét đại lượng ngẫu nhiên: \(Z = \frac{{\overline X - \mu }}{{\sigma /\sqrt n }}\) Vì \(n \ge 30\), nên ta có thể áp dụng định lý Lindeberg-Levy. Nội dung của định lý này như sau: Nếu các đại lượng ngẫu nhiên X1, X2, . . . , Xn độc lập, có cùng kỳ vọng toán \(\mu\) và phương sai \({\sigma ^2}\) hữu hạn, thì đại lượng ngẫu nhiên: \(Z = \frac{{\overline X - \mu }}{{\sigma /\sqrt n }}\) có phân phối xác suất xấp xỉ với phân phối N(0, 1) khi n khá lớn. [Trường hợp n < 30 thì do giả thiết X có phân phối chuẩn nên dễ thấy rằng Z có phân phối N(0, 1)] Với xác suất \(\alpha\) khá bé ta tìm được một số \(Z_{\alpha/2}\) thỏa mãn: \(P\left( {\left| Z \right| \le {Z_{\alpha /2}}} \right) = 1 - \alpha \) Thay biểu thức của z vào (7.3), ta được: \(P\left( {\left| {\frac{{\overline X - \mu }}{{\sigma /\sqrt n }}} \right| \le {Z_{\alpha /2}}} \right) = 1 - \alpha \) hay: \(P\left( { - {Z_{\alpha /2}} \le \frac{{\overline X - \mu }}{{\sigma /\sqrt n }} \le {Z_{\alpha /2}}} \right) = 1 - \alpha \) Hay: \(P\left( { - \overline X - {Z_{\alpha /2}}\frac{\sigma }{{\sqrt n }} \le - \mu \le - \overline X + {Z_{\alpha /2}}\frac{\sigma }{{\sqrt n }}} \right) = 1 - \alpha \) Cuối cùng ta được: \(P\left( {\overline X - {Z_{\alpha /2}}\frac{\sigma }{{\sqrt n }} \le \mu \le \overline X + {Z_{\alpha /2}}\frac{\sigma }{{\sqrt n }}} \right) = 1 - \alpha \) Vậy với độ tin cậy \(1-\alpha\), khoảng tin cậy của \(\mu\) là: \(\left( {\overline X - {Z_{\alpha /2}}\frac{\sigma }{{\sqrt n }};\overline X + {Z_{\alpha /2}}\frac{\sigma }{{\sqrt n }}} \right)\) Ký hiệu: \(\varepsilon = {Z_{\alpha /2}}\frac{\sigma }{{\sqrt n }}\) \(\varepsilon \) được gọi là độ chính xác của ước lượng. Khi đó ta có thể viết: Ý nghĩa của biểu thức (7.5) là: Với xác suất \(1-\alpha\), trung bình của mẫu ngẫu nhiên nhận giá trị sai lệch so với \(\mu\) một lượng (theo giá trị tuyệt đối) nhỏ hơn \(\varepsilon \). \(\left( {\overline X - \varepsilon ;\overline X + \varepsilon } \right)\) được gọi là khoảng tin cậy đối xứng của \(\mu\). Trong trường hợp này, độ dài khoảng tin cậy là: \(1 = \left( {\overline X + \varepsilon ) - (\overline X - \varepsilon } \right) = 2\varepsilon \) Ứng với độ tin cậy \(1-\alpha\), khoảng tin cậy đôi xứng có độ dài ngắn nhất. Vì vậy khi cần tìm khoảng tin cậy, thông thường ta chỉ cần tìm khoảng tin cậy đối xứng. Ngoài khoảng tin cậy đối xứng ta cũng có thể tìm khoảng tin cậy phía bên trái: \(\mu \le \overline X + {Z_\alpha }\frac{\sigma }{{\sqrt n }}\) hoặc khoảng tin cậy phía bên phải: \(\mu \le \overline X - {Z_\alpha }\frac{\sigma }{{\sqrt n }}\) Giá trị \( \overline X + {Z_\alpha }\frac{\sigma }{{\sqrt n }}\) đươc dùng đế ước lượng chặn trên của \(\mu\) Giá trị \( \overline X - {Z_\alpha }\frac{\sigma }{{\sqrt n }}\) được dùng đế ước lượng chặn dưới của \(\mu\) Vì độ tin cậy \(1-\alpha\) khá lớn, nên theo nguyên lý xác suất lớn ta có thể coi biến cố \((\overline X - \varepsilon < \mu < \overline X + \varepsilon)\) hầu như chắc chắn xảy ra trong một phép thử. Thực hiện một phép thử đối với mẫu ngẫu nhiên WX, ta sẽ thu được mẫu cụ thể: WX = (x1, x2,...,xn) Từ mẫu cụ thể đó ta tính được: \(\overline x = \frac{1}{n}\sum\limits_{i = 1}^n {{x_i}} \) Với độ tin cậy \(1-\alpha\), tra bảng hàm Laplace (phụ lục 2) [hoặc dùng hàm \(NORMSINV(1- \alpha/2)\) trong Excel] ta sẽ tìm được giá trị \(Z_{\alpha/2}\) \(Z_{\alpha/2}\) là giá trị của đại lượng ngẫu nhiên Z ~ N(0, 1) thỏa mãn điều kiện: \(Z_{\alpha/2}>0\) và \(P(Z>Z_{\alpha/2})={\alpha/2}\) Có thể minh họa giá trị \(Z_{\alpha/2}\) trên đồ thị như sau: Nếu sử dụng hàm Laplace thì: \(2\Phi ({Z_{\alpha /2}}) = 1 - \alpha \,\,hay\,\Phi ({Z_{\alpha /2}}) = \frac{{1 - \alpha }}{2}\) Như vậy, với độ tin cậy \(1- \alpha\), qua mẫu cụ thể Wx, khoảng tin cậy của \(\mu\) là: \(\overline x - \varepsilon < \mu < \overline x + \varepsilon \), trong đó: \(\varepsilon = {Z_{\alpha /2}}\frac{\sigma }{{\sqrt n }}\) (7.6) 2.2 Trường hợp n\(\ge\) 30; \({\sigma ^2}\) chưa biết Trường hợp này, vì kích thước mẫu lớn (n > 30) nên ta có thể dùng ước lượng của Var(X) là S2 để thay cho \({\sigma ^2}\) (chưa biết) Tiến hành các bước tương tự như trường hợp 2.1, ta được khoảng tin cậy của \(\mu\) (với độ tin cậy \(1- \alpha\)) là: \(\overline x - \varepsilon < \mu < \overline x + \varepsilon \) trong đó: \(\varepsilon = {Z_{\alpha /2}}\frac{\sigma }{{\sqrt n }}\) (7.7) 2.3 Trường hợp n < 30; \({\sigma ^2}\) chưa biết X có phân phối chuẩn. Trường hợp này ta xét đại lượng ngẫu nhiên: \(T = \frac{{\overline X - \mu }}{{S/\sqrt n }}\) Người ta đã chứng minh được rằng: đại lượng ngẫu nhiên T có phân phối Student với (n - 1) bậc tự do. Với xác suất \(\alpha\) khá bé, ta có thể tìm được một số \(t_{\alpha/2}\) sao cho: \(P\left( {\left| T \right| > {t_{\alpha /2}}} \right) = \alpha \) Từ đó suy ra: \(P\left( { - {t_{\alpha /2}} < T < {t_{\alpha /2}}} \right) = 1 - \alpha \) (7.9) Thay biểu thức của T vào (7.9) ta được: \(P\left( { - {t_{\alpha /2}} < \frac{{\overline X - \mu }}{{S/\sqrt n }} < {t_{\alpha /2}}} \right) = 1 - \alpha \) Giải \(\mu\) tương tự như đã làm ở phần 2.1, ta được: \(P\left( {\overline X - {t_{\alpha /2}}\frac{S}{{\sqrt n }} < \mu < \overline X + {t_{\alpha /2}}\frac{S}{{\sqrt n }}} \right) = 1 - \alpha \) Vậy khoảng tin cậy của \(\mu\) (với độ tin cậy \(1- \alpha\)) là: \(\left( {\overline X - {t_{\alpha /2}}\frac{S}{{\sqrt n }};\overline X + {t_{\alpha /2}}\frac{S}{{\sqrt n }}} \right)\) Từ mẫu cụ thể WX = (x1, x2,...,xn) ta tính được \({\overline X }\) và S. Từ đó xác định khoảng tin cậy cụ thể của \(\mu\) theo công thức: \(\left( {\overline X - \varepsilon < \mu < \overline X + \varepsilon } \right)\) trong đó: \(\varepsilon = {t_{\alpha /2}}\frac{\sigma }{{\sqrt n }}\) Trong đó \(t_{\alpha/2}\) là giá trị của đại lượng ngẫu nhiên T có phân phối Student với n - 1 bậc tự do thoả mãn điều kiện: \(t_{\alpha/2}>0\) và \(P(T>t_{\alpha/2})={\alpha/2}\) Để tìm \(t_{\alpha/2}\) ta có thể ưa bảng ở phần phụ lục hoặc dùng hàm TINV trong Excel. Chẳng hạn với độ tin cậy \(1- \alpha = 95%\) (tức \(\alpha\) = 0,05) và kích thước mẫu n = 50 (tức bậc tự do là n - 1 = 49). Khi đó: \({t_{\alpha /2}} = {t_{0,025}} = TINV(0,05.49) = 2,009574 \approx 2,1\) Thí dụ 1: Điều tra năng suất lúa trên diện tích 100 héc ta ưồng lúa của một vùng, người ta tính được: \(\overline X \) = 5,8 tấn/ha; s = 2,05 Hãy ước lượng năng suất lúa trung bình của toàn vùng với độ tin cậy 95%. Giải: Gọi \(\mu\) là năng suất lúa trung bình của toàn vùng. Ta cần ước lượng \(\mu\) với độ tin cậy 95%. Trường hợp này, kích thước mẫu \(n = 100 > 30;{\sigma ^2}\) chưa biết. Nên khoảng tin cậy của \(\mu\) là: \(\left( {\overline X - \varepsilon < \mu < \overline X + \varepsilon } \right)\), trong đó: \(\varepsilon = {Z_{\alpha /2}}\frac{S}{{\sqrt n }}\) Do độ tin cậy 1 - \(\alpha\) = 95% , tức \({\Phi _{\left( {{Z_{\alpha /2}}} \right)}} = \frac{{0,95}}{2} = 0,475\) . Tra bảng hàm Laplace ta được: \(\Phi \left( {1,96} \right) = 0,475\). Vậy: \({Z_{\alpha /2}} = {Z_{0,025}} = 1,96\) Theo số liệu của bài toán ta có: \(\overline X \) = 5,8; s = 2,05; nên: \(\varepsilon = 1,96(2,05/10) = 0,4018 \approx 0,4\) Vậy khoảng tin cậy của \(\mu\) là: \((5,8-0,4<\mu<5,8+0,4)\) Hay \((5,4<\mu<6,2)\) tấn/ha Thí dụ 2: Theo dõi mức nguyên liệu hao phí để sản xuất một đơn vị sản phẩm người ta thu được các số liệu cho ở bảng sau: Mức ng/l hao phí - xi (gr) Số sản phẩm19,0 - 19,5 19,6 - 20,0 20,1 - 20,5 20,6 - 21,02 10 8 5Ước lượng mức hao phí nguyên liệu trung bình để sản xuất một đơn vị sản phẩm với độ tin cậy \(1 - \alpha = 95 \%\). Giả thiết mức hao phí nguyên liệu để sản xuất một đơn vị sản phẩm là đại lượng ngẫu nhiên có phân phối chuẩn. Giải: Gọi mức nguyên liệu hao phí trung bình để sản xuất một đơn vị sản phẩm là \(\mu\). Ta cần ước lượng \(\mu\) với độ tin cậy 95%. Trường hợp này \(n = 25 < 30;{\sigma ^2}\) chưa biết. Từ số liệu đã cho, ta tính được: \(\overline X = 20,116;\,\,\,S = 0,46\) Với độ tin cậy \(1 - \alpha = 95 \%\) , tra bảng phân phối Student với bậc tự do n -1 = 25 - 1 = 24 ta được: \(t_{\alpha/2} = t_{0,025} = 2,064.\) Vậy: \(\varepsilon = 2,064.(0,45/5) = 0,19\) Khoảng tin cậy của \(\mu\) là: \((2,064 - 0,19 < \mu < 2,064 + 0,19)\) Hay: \((19,926 < \mu < 20,306)gr\) 3. Ước lượng tỷ lệ của tổng thể Giả sử tổng thể ta đang nghiên cứu gồm N phần tử. Trong đó có M phần tử có tính chất A nào đó. \(p = \frac{M}{N}\) là tỷ lê các phần tử có tính chất A của tổng thể. Thông thường p chưa biết, cần ước lượng p. Để ý rằng p cũng chính là xác suất để lấy được phần tử có tính chất A khi lấy ngẫu nhiên từ tổng thể ra một phần tử, nên bài toán trên là bài toán ước lượng tỷ lệ tổng thể (hay ước lượng xác suất). Để cho việc giải bài toán được đơn giản, ta thường yêu cầu kích thước mẫu n khá lớn để có thể sử dụng định lý Lindeberg - Levy. Gọi X là số phần tử có tính chất A khi lấy ngẫu nhiên một phần tử từ tổng thể. X là đại lượng ngẫu nhiên có phân phối xác suất như sau: X01Pqp\(E(X)=p;\, \, \,Var(X)=pq\) Gọi Xi (i = 1, 2,.... n) là số phần tử có tính chất A có trong lần lấy thứ i. Các đại lượng ngẫu nhiên Xi có phân phối xác suất giống X. Xét đại lượng ngẫu nhiên: \(F = \frac{1}{n}\sum\limits_{i = 1}^n {{X_i}} \) là tỷ lệ mẫu ngẫu nhiên. Người ta đã chứng minh được: \(E(F) = p;\,\,V{\rm{ar}}(F) = \frac{{pq}}{n}\) Theo định lý Lindeberg - Levy, đại lượng ngẫu nhiên: \(Z = \frac{{F - p}}{{\sqrt {pq/n} }}\) có phân phối xấp xỉ N(0,1). Do n khá lớn nên ta có thể thay pq bằng F (1- F). Sau đó ta áp dụng phương pháp tương tự như đã tiến hành ở phần 2 và tìm được khoảng tin cậy của p là: \(\left( {f - \varepsilon < p < f + \varepsilon } \right)\) (7.11) trong đó: \(\varepsilon = {Z_{\alpha /2}}\sqrt {\frac{{f(1 - f)}}{n}} \) f là tỷ lệ phần tử có tính chất A của mẫu cụ thể (cũng chính là một giá trị của F); Thí dụ: Nghiên cứu nhu cầu tiêu dùng của một loại hàng ở một thành phố, người ta tiến hành điều tra nhu cầu tiêu dùng về mặt hàng này ở 100 gia đình thì thấy có 60 gia đình có nhu cầu về loại hàng đó. Hãy ước lượng tỷ lệ gia đình có nhu cầu về mặt hàng đó của toàn thành phố với độ tin cậy 95%. Giải: Gọi tỷ lệ gia đình có nhu cầu về mặt hàng này là p (p chưa biết). Ta cần ước lượng p với độ tin cậy 95%. Theo giả thiết của bài toán ta có: Tỷ lệ gia đình có nhu cầu về mặt hàng này trong mẫu cụ thể là: \(f = \frac{{60}}{{100}} = 0,6\) Với độ tin cậy \(1 - \alpha = 0,95 \Rightarrow {Z_{\alpha /2}}{\rm{ }} = 1,96\) \(\varepsilon = 1,96\sqrt {\frac{{0,6(1 - 0,6)}}{{100}}} = 0,096\) Vậy khoảng tin cậy của p (với độ tin cậy 95%) là: (0,6 - 0,096; 0,6 + 0,096) Hay: (50,4% < p < 69,6%) 4. Ước lượng phương sai của tổng thể Giả sử đại lượng ngẫu nhiên X có phân phối chuẩn, chưa biết phương sai của nó. Cần ước lượng Var(X) với độ tin cậy \(1-\alpha\). Từ X lập mẫu ngẫu nhiên Wx = (X1, X2,...., Xn) và xét 2 trường hợp sau đây: Đã biết kỳ vọng toán E(X) = \(\mu\) Xét đại lượng ngẫu nhiên: \({\chi ^2} = \sum\limits_{i = 1}^n {\frac{{{{\left( {{X_i} - \mu } \right)}^2}}}{{{\sigma ^2}}}} \) Người ta đã chứng minh được rằng \({\chi ^2}\) có phân phối “Chi bình phương” với n bậc tự do. Nên với xác suất \(\alpha\) khá bé ta có thể tìm được hai số \(\chi _{\alpha /2}^2\) và \(\chi _{1 - \alpha /2}^2\) sao cho: \(P\left( {\chi _{1 - \alpha /2}^2 < {\chi ^2} < \chi _{\alpha /2}^2} \right) = 1 - \alpha \) (7.12) Hay: \(P\left( {{\chi ^2} > \chi _{\alpha /2}^2} \right) = \alpha /2\) Và: \(P\left( {{\chi ^2} > \chi _{1 - \alpha /2}^2} \right) = 1 - \alpha /2\) Để tìm \({\chi _{\alpha /2}^2}\) và \({\chi _{1-\alpha /2}^2}\) ta có thể tra bảng ở phần phụ lục (bảng \({\chi _\alpha ^2}\)) hoặc dùng hàm CHIINV trong Excel. Chẳng hạn, với độ tin cậy \(1- \alpha = 95\%\) (tức \(\alpha\) = 0,05) và bậc tự do 46 thì: \(\chi _{\alpha /2}^2 = \chi _{0,025}^2 = CHIINV\left( {0.025,46} \right){\rm{ }} = {\rm{ }}66,616468\) \(\chi _{1 - \alpha /2}^2 = \chi _{0,975}^2 = CHIINV\left( {0.975,46} \right){\rm{ }} = {\rm{ }}29,16\) Thay biểu thức của \({\chi ^2}\) vào (7.12) và giải ta được: \(\left[ {\frac{{\sum {{{\left( {{X_i} - \mu } \right)}^2}} }}{{\chi _{\alpha /2}^2}} < {\sigma ^2} < \frac{{\sum {{{\left( {{X_i} - \mu } \right)}^2}} }}{{\chi _{1 - \alpha /2}^2}}} \right]\) (7.13) Với mẫu cụ thể WX = (x1, x2,...,xn) ta có thể tính được: \({\sum {{{\left( {{X_i} - \mu } \right)}^2}} }\) và từ công thức (7.13) ta tìm được khoảng tin cậy của \({\sigma ^2}\) \(\left[ {\frac{{\sum {{{\left( {{X_i} - \mu } \right)}^2}} }}{{\chi _{\alpha /2}^2}} < {\sigma ^2} < \frac{{\sum {{{\left( {{X_i} - \mu } \right)}^2}} }}{{\chi _{1 - \alpha /2}^2}}} \right]\) Trường hợp chưa biết E(X) Xét đại lượng ngầu nhiên: \({\chi ^2} = \frac{{(n - 1){S^2}}}{{{\sigma ^2}}}\) Người ta đã chứng minh được rằng: đại lượng ngẫu nhiên này có phân phối “Chi bình phương “ với (n - 1) bậc tự do. Lập lại các bước như đã tiến hành ở trường hợp 4-1 ta sẽ tìm được khoảng tin cậy của \({{\sigma ^2}}\) với độ tin cậy \(1- \alpha\) là: \(\left[ {\frac{{(n - 1){s^2}}}{{\chi _{\alpha /2}^2}} < {\sigma ^2} < \frac{{(n - 1){s^2}}}{{\chi _{1 - \alpha /2}^2}}} \right]\) (7.15) Thí dụ: Mức hao phí nguyên liệu cho một đơn vị sản phẩm là đại lượng ngẫu nhiên X có phân phối chuẩn với E(X) = 20 (gr). Quan sát 25 sản phẩm, ta có các số liệu cho ở bảng sau: Trọng lượng ng/l hao phí (gr)19,520,020,5Số sản phẩm5182Với độ tin cậy \(1- \alpha=90\%\), hãy ước lượng Var(X) Giải Lập bảng tính như sau: xini(xi-20)(xi-20)2ni(xi-20)219,5 20,0 20,55 15 2-0,5 0 0,50,25 0 0,251,25 0 0,5Tổngn=251,75Tra bảng \({\chi ^2}\) với bậc tự do n = 25 ta được: \(\chi _{1 - \alpha /2}^2 = \chi _{0,95}^2 = 14,6;\,\,\,\,\,\,\chi _{\alpha /2}^2 = \chi _{0,05}^2 = 37,7\,\,\) Vậy khoảng tin cậy của \({\sigma ^2}\) là: \(\left[ {\frac{{1,75}}{{37,7}} < {\sigma ^2} < \frac{{1,75}}{{14,6}}} \right]\,\,hay:\,(0,066 < {\sigma ^2} < 0,17)\) Trong thí dụ trên, nếu chưa biết E(X) = 20 thì ta tính s2. Với số liệu đã cho, ta dễ dàng tính được s2 = 0,0692. Tra bảng \({\chi ^2}\) với bậc tự do n - 1 = 24 ta được: \(\chi _{1 - \alpha /2}^2 = \chi _{0,95}^2 = 13,85;\,\,\,\,\,\chi _{\alpha /2}^2 = \chi _{0,05}^2 = 36,4\) Vậy khoảng tin cậy của \({\sigma ^2}\) trong trường hợp này là: \(\left[ {\frac{{24.(0,0692}}{{36,4}} < {\sigma ^2} < \frac{{24.(0,0692)}}{{13,85}}} \right]\) \( \Leftrightarrow (0,046 < {\sigma ^2} < 0,12)\) 5. Xác định kích thước mẫu Ta thấy chất lượng của ước lượng được phản ánh qua độ tin cậy (1- \(\alpha\)) và độ chính xác \(\varepsilon \). Độ tin cậy và độ chính xác càng cao thì ước lượng đó càng tốt. Nhưng độ chính xác \(\varepsilon \) lại phụ thuộc vào kích thước mẫu (n) và độ tin cậy \(1-\alpha\). Vấn đề đặt ra là: Ta muốn độ tin cậy \(1-\alpha\) và độ chính xác \(\varepsilon \) đạt được ở một mức nào đó cho trước thì cần kích thước mẫu (n) tối thiểu là bao nhiêu? Xác định kích thước mẫu khi ước lượng trung bình tổng thể Nếu biết \(Var(X) = {\sigma ^2}\), thì từ công thức: \(\varepsilon = {Z_{\alpha /2}}\frac{\sigma }{{\sqrt n }}\) ta suy ra \(n = {\left( {{Z_{\alpha /2}}\frac{\sigma }{\varepsilon }} \right)^2}\) Nếu chưa biết \({{\sigma ^2}}\) , khi đó ta căn cứ vào mẫu đã cho (nếu chưa có mẫu thì ta có thể tiến hành lấy mẫu với kích thước \(n_1\ge30\)) để tính s2. Từ đó xác định kích thước mẫu (n) theo công thức: \(n = {\left( {{Z_{\alpha /2}}\frac{s}{\varepsilon }} \right)^2}\) Chú ý: Nếu bài toán thực tế đòi hỏi n phải là số nguyên mà khi tính n theo công thức (7.16) hoặc (7.17) thì kết quả thu được thường là số không nguyên thì khi đó ta lấy phần nguyên của kết quả cộng với 1. Chẳng hạn kết quả tính được là 151,23 khi đó ta lấy n = 151 + 1 = 152. Xác định kích thước mẫu khi ước lượng tỷ lệ tổng thể Nếu biết f (ước lượng điểm của p) Từ công thức: \(\varepsilon = {Z_{\alpha /2}}\sqrt {\frac{{f(1 - f)}}{n}} \) ta suy ra: \(n = {\left( {{Z_{\alpha /2}}} \right)^2}\frac{{f(1 - f)}}{{{\varepsilon ^2}}}\) (7.18) Nếu chưa biết f (ước lượng điểm của p) Từ công thức: \(\varepsilon = {Z_{\alpha /2}}\sqrt {\frac{{pq}}{n}} \) ta suy ra: \(n = {\left( {{Z_{\alpha /2}}} \right)^2}.\frac{{pq}}{{{\varepsilon ^2}}}\) Nhưng do pq đạt cực đại khi p = q = 0,5 nên: \(n \ge \frac{{0,25{{\left( {{Z_{\alpha /2}}} \right)}^2}}}{{{\varepsilon ^2}}}\) (7.19) 6. Xác định độ tin cậy Khi ước lượng các số đặc trưng của tổng thể bằng các số liệu quan sát của một mẫu có kích thước n, nếu ta muốn độ chính xác \(\left( \varepsilon \right)\) đạt được ở một mức nào đó thì độ tin cậy \((1- \alpha)\) sẽ là bao nhiêu? Xác định độ tin cậy khi ước lượng trung bình tổng thể Nếu biết \(V{\rm{ar}}(X) = {\sigma ^2}\), thì từ công thức: \(\varepsilon = {Z_{\alpha /2}}\frac{\sigma }{{\sqrt n }}\) Ta suy ra \({Z_{\alpha /2}} = \frac{{\varepsilon \sqrt n }}{\sigma }\) (7.20) Sau khi xác định được \({Z_{\alpha /2}}\) ta tra bảng hàm Laplace để tìm độ tin cậy \(1- \alpha\) \(1 - \alpha = 2\Phi ({Z_{\alpha /2}})\) Nếu chưa biết \({\sigma ^2}\), khi đó ta căn cứ vào mẫu đã cho (nếu chưa có mẫu thì ta có thể tiến hành lấy mẫu với kích thước n1 \(\ge\) 30) để tính s. Từ đó xác định \({Z_{\alpha /2}}\) theo công thức: \({Z_{\alpha /2}} = \frac{{\varepsilon \sqrt n }}{s}\) Từ công thức: \(\varepsilon = {Z_{\alpha /2}}\sqrt {\frac{{f(1 - f)}}{n}} \) ta suy ra: \({Z_{\alpha /2}} = \frac{{\varepsilon \sqrt n }}{{\sqrt {f(1 - f)} }}\) (7.22) Như vậy, trong 3 tham số: \(n;\,\,\varepsilon ;\,\,{Z_{\alpha /2}}\,(hay\,1 - \alpha )\); nếu ta biết được hai tham số thì có thể tính được tham số còn lại (công thức tính bạn đọc có thể suy từ công thức tính \(\varepsilon \) trong các bài toán ước lượng đã biết).
