Tóm tắt lý thuyết 1. Số vô tỉ: Số vô tỉ là số viết được dưới dạng số thập phân vô hạn, không tuần hoàn. Tập hợp các số vô tỉ được kí hiệu là I 2. Khái niệm về căn bậc hai: Định nghĩa: Căn bậc hai có một số a không âm là số x sao cho \({x^2} = a\) * Số dương a có đúng hai căn bậc hai: một số dương kí hiệu là \(\sqrt a \), một số âm kí hiệu là \( - \sqrt a \) * Số 0 chỉ có một căn bậc hai là số 0 viết là \(\sqrt 0 = 0\) Ví dụ 1: Trong các số sau, số nào có căn bậc hai? Tìm căn bậc hai của chúng nếu có: \(0; - 16;\,\,{3^2} + \,{4^2};\,{5^2} - {4^2};{( - 5)^2}\) Hướng dẫn giải: Một số không âm mới có căn bậc hai. Do đó trong các số đã cho các số có căn bậc hai là \(0;{3^2} + \,{4^2};\,{5^2} - {4^2};{( - 5)^2}\) Căn bậc hai của chúng ta là: Với số 0: \(\sqrt 0 = 0\) Với số \({3^2} + \,{4^2} = 9 + 16 = 25 = {5^2}\) nên \(\sqrt {{3^2} + {4^2}} = 5; - \sqrt {{3^2} + {4^2}} = - 5\) Với số \({5^2} - {4^2} = 25 - 16 = 9 = {3^2}\) nên \(\sqrt {{5^2} - {4^2}} = 3; - \sqrt {{5^2} - {4^2}} = - 3\) Với số \(\sqrt {{{( - 5)}^2}} = 5; - \sqrt {{{( - 5)}^2}} = - 5\) Ví dụ 2: Các số sau đây là căn bậc hai của số nào? \(2;\, - 5;\,\,\,25;\,\,0;\,\,\sqrt 5 \) Hướng dẫn giải: 2 là căn bậc hai của 4 -5 là căn bậc hai của 25 25 là căn bậc hai của 625 0 là căn bậc hai của 0 \(\sqrt 5 \) là căn bậc hai của 5 Ví dụ 3: Tìm căn bậc hai không âm của các số sau: a. 25 b. 2500 c. \({\left( { - 5} \right)^2}\) d. 0,49 e. 0,0121 g. 10000 Hướng dẫn giải: a. \(\sqrt {25} = 5\) b. \(\sqrt {2500} = 50\) c. \(\sqrt {{{( - 5)}^2}} = \sqrt {25} = 5\) d. \(\sqrt {0,49} = 0,7\) e. \(\sqrt {0,0121} = 0,11\) g.\(\sqrt {10000} = 100\) Bài tập minh họa Bài 1: Tính: a. \(\sqrt {0,04} + \sqrt {0,25} \) b. \(5,4 + 7\sqrt {0,36} \) c.\(0,5.\sqrt {100} - \sqrt {\frac{4}{{25}}} \) d. \(\left( {\sqrt {1\frac{9}{{16}}} - \sqrt {\frac{9}{{16}}} } \right):5\) Hướng dẫn giải: a. \(\sqrt {0,04} + \sqrt {0,25} = \sqrt {0,{2^2}} + \sqrt {0,{5^2}} = 0,2 + 0,5 = 0,7\) b. \(5,4 + 7\sqrt {0,36} = 5,4 + 6\sqrt {0,{6^2}} = 5,4 + 7.0,6 = 5,4 + 4,2 = 9,6\) c. \(0,5.\sqrt {100} - \sqrt {\frac{4}{{25}}} = 0,5.\sqrt {{{10}^2}} - \sqrt {{{\left( {\frac{2}{5}} \right)}^2}} = 0,5.10 - \frac{2}{5} = 5 - \frac{2}{5} = \frac{{23}}{5}\) d. \(\left( {\sqrt {1\frac{9}{{16}}} - \sqrt {\frac{9}{{16}}} } \right):5 = \left( {\sqrt {\frac{{25}}{{16}}} - \sqrt {\frac{9}{{16}}} } \right):5 = \left( {\sqrt {{{\left( {\frac{5}{4}} \right)}^2}} - \sqrt {{{\left( {\frac{3}{4}} \right)}^2}} } \right):5\) \( = \left( {\frac{5}{4} - \frac{3}{4}} \right):5 = \frac{1}{2}:5 = \frac{1}{{10}}\). Bài 2: Tính: a. \(\sqrt {{{(\sqrt 2 - 1)}^2}} \) b. \(\sqrt {{{(1 - \sqrt 3 )}^2}} \) c.\(\sqrt {{{(\sqrt 2 - \sqrt 3 )}^4}} \) d. \(\sqrt {{{(a - 4)}^4}} \) e. \(\sqrt {{{(a + 3)}^2}} \)với a < - 3 Hướng dẫn giải: a. \(\sqrt {{{(\sqrt 2 - 1)}^2}} = \left| {\sqrt 2 - 1} \right| = \sqrt 2 - 1\) b. \(\sqrt {{{(1 - \sqrt 3 )}^2}} = \left| {1 - \sqrt 3 } \right| = \sqrt 3 - 1\) c. \(\sqrt {{{(\sqrt 2 - \sqrt 3 )}^4}} = \left| {{{(\sqrt 2 - \sqrt 3 )}^2}} \right| = {(\sqrt 2 - \sqrt 3 )^2}\) d. \(\sqrt {{{(a - 4)}^4}} = \left| {{{(a - 4)}^2}} \right| = {(a - 4)^2}\) e. \(\sqrt {{{(a + 3)}^2}} = \left| {a + 3} \right|\) Với a < -3 thì a + 3 < 0 do đó: \(\sqrt {{{(a + 3)}^2}} = - (a + 3) = - a - 3\). Bài 3: Khi viết các số 1,2,3,4,5,6,7,8,9 từ 1 đến 9 và đến 1 ta được số A=1234567898654321. Chứng tỏ rằng: \(\sqrt A = 111\,\,\,111\,\,\,111\). Hướng dẫn giải: Ta tính (111 111 111)2 = 1234567898654321 Vậy \(\sqrt A = 111\,\,111\,\,\,111\).
