Tóm tắt lý thuyết 1. Đường trung tuyến của tam giác: Đoạn thẳng AM đối đỉnh A của tam giác ABC với trung điểm M của cạnh BC gọi là đường trung tuyến. Đường thẳng AM cũng gọi là đường trung tuyến của tam giác ABC. Mỗi tam giác có ba đường trung tuyến 2. Tính chất ba đường trung điểm của tam giác: Định lý: Ba đường trung tuyến của một tam giác cùng đi qua một điểm. Điểm đó cách mỗi đỉnh một khoảng bằng \(\frac{2}{3}\) độ dài trung tuyến đi qua đỉnh ấy. Giao điểm của ba đường trung tuyến được gọi là trọng tâm của tam giác. Ví dụ 1: Cho hai đường thẳng x’x và y’y cắt nhau ở O. Trên tia Ox lấy hai điểm A và B sao cho A nằm giữa O và B, AB = 20A. Trên y’y lấy 2 điểm L và M sao cho O là trung điểm của đoạn thẳng LM. Nối B với L, B với M và gọi là P là trung điểm của đoạn thẳng MB, Q là trung điểm của đoạn thẳng LB. Chứng minh các đoạn thẳng LP và MQ đi qua A. Giải Ta có O là trung điểm của LM (gt) Suy ra BO là đường trung tuyến của \(\Delta BLM\,{\,^{(1)}}\) Mặt khác BO = BA + AO vì A nằm giữa O, B hay BO = 2AO + AO = 3AO vì AB =2AO (gt) Suy ra \(AO = \frac{1}{3}BO\,\,hay\,\,BA = \frac{2}{3}BO{\,^{\,(2)}}\) Từ (1) và (2) suy ra A là trọng tâm của \(\Delta BLM\) (tính chất của trọng tâm) Mà LP và MQ là các đường trung tuyến của \(\Delta BLM\) vì P là trung điểm của đoạn thẳng MB (gt) và O là trung điểm của đoạn thẳng LB (gt) Suy ra các đoạn thẳng LP và MQ đều đi qua A (tính chất 3 đường trung tuyến). Ví dụ 2: Cho \(\Delta ABC\) có BM, CN là hai đường trung tuyến cắt nhau tại G. Kéo dài BM lấy đoạn ME = MG. Kéo dài CN lấy đoạn NF = NG. Chứng minh: a. EF = BC b. Đường thẳng AG đi qua trung điểm BC. Giải a. Ta có BM và CN là 2 đường trung tuyến cặp nhau tại G nên G là trọng tâm \(\Delta ABC \Rightarrow GC = 2GN\) Mà \(FG{\rm{ }} = {\rm{ }}2GN \Rightarrow GC = GF.\) Tương tự BG, GE và \(\widehat {{G_1}} = \widehat {{G_2}}\) (đđ). Do đó \(\Delta BGC = \Delta EGF\,\,(c.g.c)\) Suy ra BC = EF b. G là trọng tâm nên AG chính là đường trung tuyến thứ ba trong \(\Delta ABC.\) Nên AG đi qua trung điểm của BC. Ví dụ 3: Kéo dài trung tuyến AM của \(\Delta ABC\) một đoạn thẳng MD có độ dài bằng \(\frac{1}{3}\) độ dài AM. Gọi G là trọng tâm của \(\Delta ABC\). So sánh các cạnh của \(\Delta BGD\) với các trung tuyến của \(\Delta ABC.\) Giải Gọi N, P lần lượt là trung điểm của AC, AB. Ta có AM, BN, CP cắt nhau tại G(tính chất đường trung tuyến) và có \(BG = \frac{2}{3}BN;CG = \frac{2}{3}CP;AG = \frac{2}{3}AM.\) \(\begin{array}{l}\Delta BMG = \Delta CMD\,\,(c.g.c) \Rightarrow GB = DC\\\Delta GMC = \Delta DMB\,\,(c.g.c) \Rightarrow GC = DB\end{array}\) Xét \(\Delta BGD\) và \(\Delta CDG\) có: GB = DC BD = DG GD cạnh chung Nên \(\Delta BGD = \Delta CDG\,(c.c.c) \Rightarrow BD = CG = \frac{2}{3}CP\) Ta cũng có: \(GD = \frac{2}{3}AM\) Ta có \(\Delta BGD\) có các cạnh lần lượt bằng \(\frac{2}{3}\) các trung tuyến của \(\Delta ABC\) Bài tập minh họa Bài 1: Cho \(\Delta ABC\). Trên cạnh BC lấy điểm T sao cho \(TB = \frac{2}{3}BC\). Trên tia đối của tia CA lấy điểm D sao cho CD = CA. Đường thẳng DT cắt cạnh AB tại E. Chứng minh EA = EB. Giải Trong \(\Delta ABD\) có: BC là trung tuyến vì CA = CD. Và \(TB = \frac{2}{3}BC,\) do đó T là trọng tâm của \(\Delta ABD\). Suy ra DT là đường thẳng chứa trung tuyến xuất phát từ D nên phải qua trung điểm E của AB. Vậy EA = EB. Bài 2: Cho \(\Delta ABC\), AC > AB. Gọi BE và CD là các trung tuyến. Chứng minh: CD > BE. Giải Gọi F là trung tuyến của BC thì ba đường trung tuyến AF, BE, CD cắt nhau ở M. Vì AC > AB nên \(\widehat {{F_1}} > \widehat {{F_2}}\) (do \(\Delta AFB\) và \(\Delta AFC\)có AF cạnh chung, FB = FC và AC > AB) Từ \(\widehat {{F_1}} > \widehat {{F_2}}\)từ hai tam giác MFB và MFC có: MF cạnh chung, FB = FC ta suy ra MC > MB. Hay \(\frac{2}{3}CD > \frac{2}{3}BE.\) Vậy CD > BE. Bài 3: Cho \(\Delta ABC,BC = a,CA = b,AB = c.\) Kẻ trung tuyến AM. Đặt \(AM = {m_a}.\) Chứng minh rằng: \(\frac{{b + c - a}}{2} < {m_a} < \frac{{b + c}}{2}\) Giải Với \(\Delta AMB\) ta có: AM + MB > AB (1) Với \(\Delta AMC\) ta có: AM + MC > AC (2) Cộng từng vế ta được: 2AM+(BM+MC)>AB+AC Hay \(2{m_a} + a > b + c\) Suy ra \({m_a} > \frac{{b + c - a}}{2}\,{\,^{(1)}}\) Theo bài 411, ta được: \({m_a} < \frac{{b + c}}{2}\,{\,^{(2)}}\) Từ (1) và (2) ta được: \(\frac{{b + c - a}}{2} < {m_a} < \frac{{b + c}}{2}\)
