Tóm tắt lý thuyết 1. Định nghĩa: Tam giác cân là tam giác có hai cạnh bằng nhau. 2. Tính chất: Trong một tam giác cân hai góc ở đáy bằng nhau. * Nếu một tam giác có hai góc bằng nhau thì tam giác đó là tam giác cân * Tam giác vuông cân là tam giác vuông hai cạnh góc vuông bằng nhau. 3. Tam giác đều: Định nghĩa: Tam giác đều là tam giác có ba cạnh bằng nhau. Hệ quả: * Trong tam giác đều, mỗi góc bằng \({60^0}\) * Nếu một tam giác có ba góc bằng nhau thì tam giác đó là tam giác đều. * Nếu một tam giác cân có một góc bằng \({60^0}\) thì tam giác đó là tam giác đều. Ví dụ 1: Cho tam giác ABC cân tại A có \(\widehat A = {50^0}\) a. Tính \(\widehat B,\,\,\widehat C\) b. Lấy điểm D thuộc cạnh AB, điểm E thuộc cạnh AC sao cho AD = AE. Chứng minh rằng DE // BC. Giải a. Ta có: \(\begin{array}{l}\widehat B = \,\,\widehat C = \frac{{{{180}^0} - \widehat A}}{2} = \frac{{{{180}^0} - {{50}^0}}}{2}\\ = \widehat B = \,\,\widehat C = {65^0}\,{\,^{(1)}}\end{array}\) b. AD = AE nên \(\Delta ADE\) cận tại A Suy ra \(\,\widehat {ADE} = \frac{{{{180}^0} - \widehat A}}{2} = \frac{{{{180}^0} - {{50}^0}}}{2} = {65^0}\,{\,^{(2)}}\) Từ (1) và (2) suy ra \(\widehat B = \widehat {ADE}\) Vậy DE // BC (hai góc đồng vị bằng nhau) Ví dụ 2: Cho tam giác cân tại A. Gọi D là trung điểm của AC, gọi E là trung điểm của AB. So sánh các độ dài BD và CE. Giải Xem hình vẽ: Cách 1: \(\Delta ABD\) và \(\Delta ACE\) có: AB = AC (gt) \(\widehat A\) chung Nên \(\Delta ABD = \Delta ACE\,\,(c.g.c)\) Suy ra BD = CE. Cách 2: \(\Delta BDC\) và \(\Delta CEB\) có CD = BE (gt) \(\widehat B = \widehat {C\,}\,(gt)\) BC cạnh chung Nên \(\Delta BDC = \Delta CEB\,\,\,(c.g.c)\) Suy ra BD = CE Ví dụ 3: Cho \(\Delta ABC\) cân tại A và có \(\widehat B = 2\widehat A\) phân giác của góc B cắt AC tại D. a. Tính các góc của \(\Delta ABC\) b. Chứng minh DA = DB c. Chứng minh DA = BC Giải a. Ta có \(\widehat {A\,} + \widehat {B\,} + \widehat {C\,} = {180^0}\) mà \(\Delta ABC\)cân tại A, có \(\widehat B = 2\widehat A\), nên: \(\widehat {A\,} + 2\widehat {A\,} + \widehat {A\,} = {180^0}\) Thay \(5\widehat {A\,} = {180^0} \Rightarrow \widehat {A\,} = {36^0}\) Nên \(\widehat {B\,} = \widehat {C\,} = 2\widehat {A\,} = {72^0}\) b. Ta có: \(\widehat {DBA} = \frac{1}{2}\widehat B = {36^0}\) (BD phân giác \(\widehat B\)) mà \(\widehat {A\,} = {36^0}\) nên \(\widehat {A\,} = \widehat {DBA}\) Suy ra \(\Delta ABD\) cân tại D Vậy \(DA = DB{\,^{\,(1)}}\) c. Ta có: \(\widehat {BDC}\) là góc ngoài tại D của \(\Delta ABD\) nên \(\widehat {BDC} = \widehat {DBA} + \widehat A = {36^0} + {36^0} = {72^0}\) Mà \(\widehat C = {72^0}\) suy ra \(\Delta DBC\) cân tại B Nên BD = BC (2) Từ (1) và (2) suy ra AD = BC. Bài tập minh họa Bài 1: Cho hai đường thẳng x’x và y’y song song và một đường thẳng cắt x’x tại M và y’y tại N. Trên đường thẳng y’y lấy hai điểm E, F ở về hai phía của N sao cho NE=NF=NM. Chứng minh: a. ME, MF là hai tia phân giác của hai góc \(\widehat {xMN}\) và \(\widehat {x'MN}\) b. \(\Delta M{\rm{EF}}\) là tam giác vuông Giải Ta có: MN=NF (gt) Nên \(\Delta M{\rm{NF}}\)cân tại N \( \Rightarrow \widehat {{M_1}} = \widehat {{F_1}}\) Mà \(\widehat {{F_1}} = \widehat {{M_2}}\)(x’x // y’y và là 2 góc so le trong) Suy ra \(\widehat {{M_1}} = \widehat {{M_2}}\)nên MF là phân góc của \(\widehat {xMN}\) Chứng minh tương tự ta được ME là phân giác của \(\widehat {xMN}\) b. Theo chứng minh trên thì ME và MF là hai tia phân giác của hai góc kề bù\(\widehat {xMN}\) và \(\widehat {xMN}\) nên \(ME \bot MF\) Vậy \(\Delta M{\rm{EF}}\) vuông tại M. Bài 2: Cho tam giác cân ABC (AB=AC) trên tia đối của tia BC lấy điểm D và trên tia đối của tia CB lấy điểm E sao cho CE = BD. Nếu A với D và A với E. a. So sánh \(\widehat {ABD}\) và \(\widehat {ACE}\) b. Chứng minh \(\Delta ADE\) cân. Giải a. Ta có: \(\widehat {ABD}\) và \(\widehat {ABC}\) là hai góc kề bù Suy ra \(\widehat {ABD} + \widehat {ABC} = {180^0}\) Hay \(\widehat {ABD} = {180^0} - \widehat {ABC}\) Tương tự, ta cũng có: \(\widehat {ACE} = {180^0} - \widehat {ACB}\) Mà \(\widehat {ABC} = \widehat {ACB}\) (t/c tam giác cân) Suy ra \(\widehat {ABD} = \widehat {ACE}\) b. Xét \(\Delta ABD\) và \(\Delta ACE\) có: BD = CE (gt) \(\widehat {ABD} = \widehat {ACE}\) (cmt) BA = CA (gt) Nên \(\Delta ABD = \Delta ACE\,\,(c.g.c)\) Suy ra AD = AE Vậy \(\Delta ADE\) cân tại A. Bài 3: Cho \(\Delta ABD,\,\widehat B = 2\widehat D\), kẻ \(AH \bot BD\,\;(H \in BD)\) Trên tia đối của tia BA lấy BE = BH. Đường thẳng EH cắt ED tại F. Chứng minh: FH = FA = FD. Giải \(\Delta BEH\) cân vì có BH = BE (gt) \(\widehat {ABD} = 2\widehat {{H_1}}\) (góc ngoài) Hay \(\widehat {ABD} = 2\widehat {{H_2}}\,(\widehat {{H_1}} = \widehat {{H_2}}\) là hai góc đối đỉnh) Mà \(\widehat {ABD} = 2\widehat D\) Nên \(\widehat {{H_1}} = \widehat D\) Vậy \(\Delta FHD\) cân tại F nên FH = FD (1) \(\Delta AHD\) có \(\widehat A = {90^0} - \widehat D\) Lại có \(\widehat {AHF} = {90^0} - \widehat {{H_2}} = {90^0} - \widehat D\) Vậy \(\widehat {A\,} = \widehat {AHF},\) nên \(\Delta AHF\)cân tại F Nên FA = FH (2) Từ (1) và (2) suy ra: FH = FA = FD
