Tóm tắt lý thuyết 1. Đồ thị của hàm số: Đồ thị của hàm số \(y=f(x)\) là tập hợp tất cả các điểm biểu diễn các cặp giá trị tương ứng (x;y) trên mặt phẳng toạ độ. 2. Đồ thị của hàm số \(y = {\rm{ax(a}} \ne {\rm{0)}}\) Đồ thị của hàm số \(y = {\rm{ax}}\,\,\,{\rm{(a}} \ne {\rm{0)}}\) là một đường thẳng đi qua gốc toạ độ. Trường hợp: a>0 Ví dụ 1: Xác định hệ số a của hàm số y = ax trong mỗi trường hợp sau: a. Đồ thị của hàm số đi qua điểm A(1;3). b. Đồ thị của hàm số đi qua điểm B(-2;1). Cho biết hàm số trong mỗi trường hợp trên đi qua góc phần tư nào của hệ trục toạ độ, tại sao? Hướng dẫn giải: a. Hàm số đi qua điểm A(1;3) nên ta có: \(3 = a.1 \Rightarrow a = 3\) Vậy \(y =3x\). b. Tương tự hàm số đi qua điểm B(-2; 1), ta có: \( - 2 = a.1 \Rightarrow a = - \frac{1}{2}\) Vậy \(y = - \frac{1}{2}\). Đồ thị hàm số y=3x qua góc phần tư I và III (vì hai toạ độ cùng dấu (cùng dương, cùng âm)). Đồ thị hàm số \(y = - \frac{1}{2}x\) qua góc phần tư II và IV (vì hai toạ độ trái dấu). Ví dụ 2: Vẽ đồ thị của hàm số \(y = \left\{ \begin{array}{l}3x\,\,\,voi\,\,\,x \ge 0\\ - \frac{1}{3}x\,\,voi\,\,x < 0\end{array} \right.\) Hướng dẫn giải: Với \(x \ge 0\): Cho x=0 được \(y = 0 \Rightarrow O(0;0)\) thuộc đồ thị Cho x=1 được \(y = 3 \Rightarrow A(1;3)\) thuộc đồ thị Với \(x < 0\): Cho x=-1 được \(y = \frac{1}{3} \Rightarrow B\left( { - 1;\frac{1}{3}} \right)\) thuộc đồ thị Cho x=-3 được \(y = 1 \Rightarrow C( - 3;1)\) thuộc đồ thị Vẽ đồ thị: Nối A, O,B, C ta được đồ thị là đường gấp khúc AOC. [img alt="" src="https://www.luyenthithukhoa.vn/images/fckeditor/VD2(3).png" > Bài tập minh họa Bài 1: Cho hình vẽ bên, điểm M có tọa độ \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) với \({x_0},{y_0} \in Q.\) Hãy tính tỉ số \(\frac{{{y_0} + 3}}{{{x_0} - 2}}.\) Hướng dẫn giải: Đường thẳng OA chứa đồ thị hàm số y=ax điểm A(-2;3) thuộc đồ thị hàm số đó nên ta có 3=-2a, suy ra \(a = - \frac{3}{2}.\) Vậy hàm số được cho bởi công thức \(y = - \frac{3}{2}x.\) M và A là hai điểm thuộc đồ thị của hàm số nên hoành độ và tung độ của chúng là những đại lượng tỉ lệ thuận, từ đó ta có: \(\frac{{{y_0}}}{{{x_0}}} = \frac{3}{{ - 2}} = \frac{{{y_0} + 3}}{{{x_0} - 2}}\) Vậy \(\frac{{{y_0} + 3}}{{{x_0} - 2}} = - \frac{3}{2}\). Bài 2: a. Vẽ đồ thị hàm số \(y = \frac{1}{3}x\). b. Gọi A là điểm trên đồ thị. Tìm toạ độ điểm A, biết \({y_A} = 2.\) c. Gọi B là điểm trên đồ thị. Tìm toạ độ điểm B biết \({y_B} + 2{x_B} = 5\). Hướng dẫn giải: a. Đồ thị hàm số \(y = \frac{1}{3}x\) đi qua hai điểm O(0;0) và C(3;1). b. A là điểm trên đồ thị nên \({y_A} = \frac{1}{3}{x_A}\) mà \({y_A} = 2\) nên \(2 = \frac{1}{3}{x_A} \Rightarrow {x_A} = 6\) Vậy A(6;2). c. B là điểm trên đồ thị nên \({y_B} = \frac{1}{3}{x_B}\) mà \({y_B} + 2{x_B} = 5\) Nên \(\frac{1}{3}{x_B} + 2{x_B} = 5 \Rightarrow \frac{7}{3}{x_B} = 5\). \( \Rightarrow {x_B} = \frac{{15}}{7}\) và \({y_B} = \frac{1}{3}.\frac{{15}}{7} = \frac{5}{7}\) Vậy \(B\left( {\frac{{15}}{7};\frac{5}{7}} \right)\). Bài 3: Cho hàm số y=f(x) thoả mãn: a. f(0)=0. b. \(\frac{{f({x_1})}}{{{x_1}}} = \frac{{f({x_2})}}{{{x_2}}}\) với \({x_1},{x_2} \in R\). Chứng minh rằng f(x)=ax với a là hằng số. Hướng dẫn giải: Giả sử ta có f(x)=ax với a là hằng số. Cho x=1 ta được f(1)=a. Nên ta đặt a=f(1). Ta chứng minh rằng f(x)=ax với mọi số thực x. Thật vậy: Nếu x=0 thì theo giả thiết: f(0)=0=a.0 Nếu \(x \ne 0\) thì theo giả thiết ta có \(\frac{{f(x)}}{x} = \frac{{f(1)}}{1} = a\) Suy ra f(x)=ax Vậy f(x)=ax với mọi \(x \in R.\)
