Bài 6 trang 10 sgk Toán 9 - tập 1. Với giá trị nào của a thì mỗi căn thức sau có nghĩa: a) \( \sqrt{\frac{a}{3}}\), b) \(\sqrt{-5a}\); c) \( \sqrt{4 - a}\); d) \( \sqrt{3a + 7}\) Hướng dẫn giải: a) \( \sqrt{\frac{a}{3}}\) có nghĩa khi \(\frac{a}{3}\geq 0\Leftrightarrow a\geq 0\) b) \(\sqrt{-5a}\) có nghĩa khi \(-5a\geq 0\Leftrightarrow a\leq \frac{0}{-5}\Leftrightarrow a\leq 0\) c) \( \sqrt{4 - a}\) có nghĩa khi \(4-a\geq 0\Leftrightarrow a\leq 4\) d) \( \sqrt{3a + 7}\) có nghĩa khi \(3a+7\geq 0\Leftrightarrow a\geq \frac{-7}{3}\) Bài 7 trang 10 SGK Toán 9 tập 1. Tính a) \(\sqrt {{{\left( {0,1} \right)}^2}}\) b) \(\sqrt {{{\left( { - 0,3} \right)}^2}}\) c) \( - \sqrt {{{\left( { - 1,3} \right)}^2}} \) d) \( - 0,4\sqrt {{{\left( { - 0,4} \right)}^2}} \) Hướng dẫn làm bài: a) \(\sqrt {{{\left( {0,1} \right)}^2}} = \left| {0,1} \right| = 0,1\) b) \(\sqrt {{{\left( { - 0,3} \right)}^2}} = \left| { - 0,3} \right| = 0,3\) c) \( - \sqrt {{{\left( { - 1,3} \right)}^2}} = - \left| { - 0,3} \right| = 0,3\) d) \(- 0,4\sqrt {{{\left( { - 0,4} \right)}^2}} = - 0,4.\left| {0,4} \right| = - 0,4.0,4 = - 0,16\) Bài 8 trang 10 sgk Toán 9 - tập 1. Rút gọn các biểu thức sau: a) \(\sqrt {{{\left( {2 - \sqrt 3 } \right)}^2}} \) ; b) \(\sqrt {{{\left( {3 - \sqrt {11} } \right)}^2}} \) c) \(2\sqrt {{a^2}} \) với a ≥ 0; d) \(3\sqrt {{{\left( {a - 2} \right)}^2}} \) với a < 2. Hướng dẫn giải: a) \(\sqrt {{{\left( {2 - \sqrt 3 } \right)}^2}} = \left| {2 - \sqrt 3 } \right| = 2 - \sqrt 3 \) (vì \(2 = \sqrt 4 > \sqrt 3\) nên \(2 - \sqrt 3 > 0\) ) b) \(\sqrt {{{\left( {3 - \sqrt {11} } \right)}^2}} = \left| {3 - \sqrt {11} } \right| = - \left( {3 - \sqrt {11} } \right) = \sqrt {11} - 3\) c) \(2\sqrt {{a^2}} = 2\left| a \right| = 2{\rm{a}}\) (vì a ≥ 0) d) \(3\sqrt {{{\left( {a - 2} \right)}^2}} = 3\left| {a - 2} \right|\) Vì a < 2 nên a - 2 < 0. Do đó │a - 2│= -(a - 2) = 2 - a. Vậy \(3\sqrt {{{\left( {a - 2} \right)}^2}} = 3\left( {2 - a} \right) = 6 - 3a\) Bài 9 trang 11 sgk Toán 9 - tập 1. Tìm x biết: a) \(\sqrt {{x^2}} = 7\) ; b) \(\sqrt {{x^2}} = \left| { - 8} \right| \) c) \(\sqrt {4{{\rm{x}}^2}} = 6\) d) \(\sqrt {9{{\rm{x}}^2}} = \left| { - 12} \right|\); Hướng dẫn giải: a) \(\eqalign{ & \sqrt {{x^2}} = 7 \cr & \Leftrightarrow \left| x \right| = 7 \cr & \Leftrightarrow x = \pm 7 \cr} \) b) \(\eqalign{ & \sqrt {{x^2}} = \left| { - 8} \right| \cr & \Leftrightarrow \left| x \right| = 8 \cr & \Leftrightarrow x = \pm 8 \cr} \) c) \(\eqalign{ & \sqrt {4{{\rm{x}}^2}} = 6 \cr & \Leftrightarrow \sqrt {{{\left( {2{\rm{x}}} \right)}^2}} = 6 \cr & \Leftrightarrow \left| {2{\rm{x}}} \right| = 6 \cr & \Leftrightarrow 2{\rm{x}} = \pm 6 \cr & \Leftrightarrow x = \pm 3\cr} \) d) \(\eqalign{ & \sqrt {9{{\rm{x}}^2}} = \left| { - 12} \right| \cr & \Leftrightarrow \sqrt {{{\left( {3{\rm{x}}} \right)}^2}} = 12 \cr & \Leftrightarrow \left| {3{\rm{x}}} \right| = 12 \cr & \Leftrightarrow 3{\rm{x}} = \pm 12 \cr & \Leftrightarrow x = \pm 4 \cr} \) Bài 10 trang 11 sgk Toán 9 - tập 1. Chứng minh a) \((\sqrt{3}- 1)^{2}= 4 - 2\sqrt{3}\); b) \(\sqrt{4 - 2\sqrt{3}}- \sqrt{3} = -1\) Hướng dẫn giải: a) \({\left( {\sqrt 3 - 1} \right)^2} = {\left( {\sqrt 3 } \right)^2} - 2\sqrt 3 .1 + {1^2}\) \( = 3 - 2\sqrt 3 + 1 = 4 - 2\sqrt 3 \) b) Từ câu a có \(4 - 2\sqrt 3 = {\left( {\sqrt 3 - 1} \right)^2}\) Do đó: \(\sqrt {4 - 2\sqrt 3 - } \sqrt 3 = \sqrt {{{\left( {\sqrt 3 - 1} \right)}^2}} - \sqrt 3 \) \(= \left| {\sqrt 3 - 1} \right|.\sqrt 3 = \sqrt 3 - 1 - \sqrt 3 = - 1\) (vì \(\sqrt 3 > \sqrt 1 = 1\) nên \(\sqrt 3 - 1 > 0\) ) Bài 11 trang 11 sgk Toán 9 - tập 1. Tính: a) \(\sqrt{16}.\sqrt{25} + \sqrt{196}:\sqrt{49}\); b) \(36:\sqrt{2.3^2.18}-\sqrt{169}\); c) \(\sqrt{\sqrt{81}}\); d) \( \sqrt{3^{2}+4^{2}}\). Hướng dẫn giải: a) \(\sqrt{16}.\sqrt{25} + \sqrt{196}:\sqrt{49}=4.5+\frac{14}{7}=22\) b) \(36:\sqrt{2.3^2.18}-\sqrt{169}\) \(=\frac{36}{\sqrt{2.3^2.3^2.2}}-\sqrt{13}\) \(=\frac{36}{18}-13=-11\) c) \(\sqrt{\sqrt{81}}\)\(\sqrt{\sqrt{9^2}}=\sqrt{|9|}=\sqrt{9}=3\) d) \(\sqrt{3^{2}+4^{2}}=\sqrt{16+9}=\sqrt{25}=5\) Bài 12 trang 11 sgk Toán 9 - tập 1. Tìm x để mỗi căn thức sau có nghĩa: a)\( \sqrt{2x + 7}\); c) \(\sqrt {{1 \over { - 1 + x}}} \) b) \( \sqrt{-3x + 4}\) d) \( \sqrt{1 + x^{2}}\) Hướng dẫn giải: a) \(\sqrt{2x + 7}\) có nghĩa khi và chỉ khi: \(2x + 7\geq 0\Leftrightarrow x\geq \frac{-7}{2}\) b) \(\sqrt{-3x + 4}\) có nghĩa khi và chỉ khi: \(-3x + 4\geq 0\Leftrightarrow 3x\leq 4\Leftrightarrow x\leq \frac{4}{3}\) c) \(\sqrt{\frac{1}{-1 + x}}\) có nghĩa khi và chỉ khi \(\frac{1}{-1 + x}\geq 0\) mà \(1>0\)\(\Rightarrow \frac{1}{-1+x}>0\) tức là \(-1+x>0\Leftrightarrow x>1\) d) \(\sqrt{1 + x^{2}}\) Vì \(x^2\geq 0\) với mọi số thực x nên \(1+x^2\geq 1>0\). Vậy căn thức trên luôn có nghĩa Bài 13 trang 11 sgk Toán 9 - tập 1. Rút gọn các biểu thức sau: a) \(2\sqrt {{a^2}} - 5a\) với a < 0. b) \( \sqrt{25a^{2}}\) + 3a với a ≥ 0. c) \(\sqrt {9{a^4}} + 3{a^2}\), d) \( 5\sqrt{4a^{6}}\) - \( 3a^{3}\) với a < 0 Hướng dẫn giải: a) \(2\sqrt{a^2}-5a=2|a|-5a\) Vì \(a Nên \(2|a|-5a=-2a-5a=-7a\) b) \(\sqrt{9a^{4}}+3a^2=3|a^2|+3a^2=6a^2\) Vì \(a^2\geq 0\,\,\forall\,\, a\,\,\epsilon \,\,\mathbb{R}\Leftrightarrow |a^2|=a^2\) c) \(\sqrt{25a^{2}} + 3a=5|a|+3a=5a+3a=8a\) Vì \(a\geq 0\Rightarrow |a|=a\) d) \(5\sqrt{4a^{6}} - 3a^3\) \(=5.2.|a^3|-3a^3\) \(=10.(-a)^3-3a^3=-13a^3\) Vì \(a<0\) nên \(|a^3|=-a^3\) Bài 14 trang 11 sgk Toán 9 - tập 1. Phân tích thành nhân tử: a) \( x^{2}\) - 3. b) \( x^{2}\) - 6; c) \( x^{2}\) + \( 2\sqrt{3}\)x + 3; d) \( x^{2}\) - \( 2\sqrt{5}x\) + 5. Hướng dẫn giải: a) \(x^{2} - 3=x^2-(\sqrt{3})^2=(x-\sqrt{3})(x+\sqrt{3})\) b) \(x^{2}- 6=x^2-(\sqrt{6})^2=(x-\sqrt{6})(x+\sqrt{6})\) c) \(x^2+2\sqrt{3}x + 3=x^2+2.\sqrt{3}.x+(\sqrt{3})^2=(x+\sqrt{3})^2\) d) \(x^2-2\sqrt{5}x+5=x^2-2.\sqrt{5}.x+(\sqrt{5})^2=(x-\sqrt{5})^2\) Bài 15 trang 11 sgk Toán 9 - tập 1. Giải các phương trình sau: a) \({x^2} - 5 = 0\); b) \({x^2} - 2\sqrt {11} x + 11 = 0\) Hướng dẫn giải: a) \(\eqalign{ & {x^2} - 5 = 0 \cr & \Leftrightarrow {x^2} - {\left( {\sqrt 5 } \right)^2} = 0 \cr & \Leftrightarrow \left( {x + \sqrt 5 } \right)\left( {x - \sqrt 5 } \right) = 0 \cr & \Leftrightarrow x = \sqrt 5 ;x = - \sqrt 5 \cr & S = \left\{ { - \sqrt 5 ;\sqrt 5 } \right\} \cr}\) b) \(\eqalign{ & {x^2} - 2\sqrt {11} x + 11 = 0 \cr & \Leftrightarrow {x^2} - 2.x.\sqrt {11} + {\left( {\sqrt {11} } \right)^2} = 0 \cr & \Leftrightarrow {\left( {x - \sqrt {11} } \right)^2} = 0 \cr & \Leftrightarrow x = \sqrt {11} \cr & S = \left\{ {\sqrt {11} } \right\} \cr}\) Bài 16 trang 12 sgk Toán 9 - tập 1. Đố. Hãy tìm chỗ sai trong phép chứng minh "Con muỗi nặng bằng con voi" dưới đây. Giả sử con muỗi nặng m (gam), còn con voi nặng V (gam). Ta có \({m^2} + {V^2} = {V^2} + {m^2}\) Cộng hai về với -2mV. Ta có \({m^2} - 2mV + {V^2} = {V^2} - 2mV + {m^2}\) hay \({\left( {m - V} \right)^2} = {\left( {V - m} \right)^2}\) Lấy căn bậc hai mỗi vế của bất đẳng thức trên, ta được: \(\sqrt {{{\left( {m - V} \right)}^2}} = \sqrt {{{\left( {V - m} \right)}^2}} \) Do đó m - V = V - m Từ đó ta có 2m = 2V, suy ra m = V. Vậy con muỗi nặng bằng con voi (!). Hướng dẫn giải: Phép chứng minh sai ở chỗ: sau khi lấy căn bậc hai mỗi vế của đẳng thức \({\left( {m - V} \right)^2} = {\left( {V - m} \right)^2}\). Ta được kết quả │m - V│ = │V - m│ chứ không thể có m - V = V - m.
