Bài 17 trang 49 sgk Toán 9 tập 2. Xác định \(a, b', c\) rồi dùng công thức nghiệm thu gọn giải các phương trình: a) \(4{x^2} + 4x + 1 = 0\); b) \(13852{x^2} - 14x + 1 = 0\); c) \(5{x^2} - 6x + 1 = 0\); d) \( - 3{x^2} + 4\sqrt 6 x + 4 = 0\). Bài giải: a) \(4{x^2} + 4x + 1 = 0\) \((a = 4,b' = 2,c = 1)\) \(\Delta' = {2^2} - 4.1 = 0,\sqrt {\Delta '} = 0\) \({x_1} = {x_2} = {{ - 2} \over 4} = - {1 \over 2}\) b) \(13852{x^2} - 14x + 1 = 0\) \((a = 13852,b' = - 7,c = 1)\) \(\Delta' = {( - 7)^2} - 13852.1 = - 13803 < 0\) Phương trình vô nghiệm. c) \(5{x^2} - 6x + 1 = 0\) \((a = 5,b' = - 3,c = 1)\) \(\Delta ' = {( - 3)^2} - 5.1 = 4,\sqrt {\Delta '} = 2\) \({x_1} = {{3 + 2} \over {5}} = 1,{x_2} = {{3 - 2} \over {5}} = {1 \over 5}\) d) \( - 3{x^2} + 4\sqrt 6 x + 4 = 0\) \((a = - 3,b' = 2\sqrt 6 ,c = 4)\) \(\Delta ' = {(2\sqrt 6 )^2} - ( - 3).4 = 36,\sqrt {\Delta '} = 6\) \({x_1} = {{ - 2\sqrt 6 + 6} \over { - 3}} = {{2\sqrt 6 - 6} \over 3},{x_2} = {{ - 2\sqrt 6 - 6} \over { - 3}} = {{2\sqrt {6 + 6} } \over 3}\) Bài 18 trang 49 sgk Toán 9 tập 2. Đưa các phương trình sau về dạng ax2 + 2b’x + c = 0 và giải chúng. Sau đó, dùng bảng số hoặc máy tính để viết gần đúng nghiệm tìm được (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ hai): a) \(3{x^2} - 2x = {x^2} + 3\); b) \({(2x - \sqrt 2 )^2} - 1 = (x + 1)(x - 1)\); c)\(3{x^2} + 3 = 2(x + 1)\); d) \(0,5x(x + 1) = {(x - 1)^2}\). Bài giải: a) \(3{x^2} - 2x = {x^2} + 3 \Leftrightarrow 2{x^2} - 2x - 3 = 0\) \(a = 2,b' = - 1,c = - 3\) \(\Delta ' = {( - 1)^2} - 2.( - 3) = 7\) \({x_1} = {{1 + \sqrt 7 } \over 2} \approx 1.82,{x_2} = {{1 - \sqrt 7 } \over 2} \approx - 0.82\) b) \({(2x - \sqrt 2 )^2} - 1 = (x + 1)(x - 1)\) \(\Leftrightarrow 3{x^2} - 4\sqrt 2 x + 2 = 0\) \(a = 3,b' = - 2\sqrt 2 ,c = 2\) \(\Delta ' = {( - 2\sqrt 2 )^2} - 3.2 = 2\) \({x_1} = {{2\sqrt 2 + \sqrt 2 } \over 3} = \sqrt 2 \approx 1.41\) \({x_2} = {{2\sqrt 2 - \sqrt 2 } \over 3} = {{\sqrt 2 } \over 3} \approx 0.47\) c) \(3{x^2} + 3 = 2(x + 1) \Leftrightarrow 3{x^2} - 2x + 1 = 0\) \(a = 3,b' = - 1,c = 1\) \(\Delta ' = {( - 1)^2} - 3.1 = - 2 < 0\) Phương trình vô nghiệm. d) \(0,5x(x + 1) = {(x - 1)^2} \) \(\Leftrightarrow 0,5{x^2} - 2,5x + 1 = 0 \) \(\Leftrightarrow {x^2} - 5x + 2 = 0\) \(a = 1,b' = - 2,5,c = 2\) \(\Delta ' = {( - 2,5)^2} - 1.2 = 4.25\) \({x_1} = 2,5 + \sqrt {4,25} \approx 4,56\) \({x_2} = 2,5 - \sqrt {4,25} \approx 0.44\) (Rõ ràng trong trường hợp này dung công thức nghiệm thu gọn cũng không đơn giản hơn) Bài 19 trang 49 sgk Toán 9 tập 2. Đố em biết vì sao khi \(a > 0\) và phương trình \(a{x^2} + bx + c = 0\) vô nghiệm thì\(a{x^2} + bx + c > 0\) với mọi giá trị của \(x \)? Bài giải: Khi \(a > 0\) và phương trình vô nghiệm thì \(b{^2} - 4ac<0\). Do đó: \(-\frac{b^{2}-4ac}{4a}\) > 0 Suy ra: \(a{x^2} + bx + c=\) \(a\left ( x + \frac{b}{2a} \right )^{2}\)\(-\frac{b^{2}-4ac}{4a}\) > 0 với mọi \(x\). Bài 20 trang 49 sgk Toán 9 tập 2. Giải các phương trình: a) \(25{x^2}-{\rm{ }}16{\rm{ }} = {\rm{ }}0\) ; b) \(2{x^2} + {\rm{ }}3{\rm{ }} = {\rm{ }}0\) c) \(4,2{x^2} + {\rm{ }}5,46x{\rm{ }} = {\rm{ }}0\); d) \(4{x^2} - {\rm{ }}2\sqrt 3 x{\rm{ }} = {\rm{ }}1{\rm{ }} - {\rm{ }}\sqrt 3 \). Bài giải: a) \(25{x^2}{\rm{ - }}16 = 0 \Leftrightarrow 25{x^2} = 16 \Leftrightarrow {x^2} = {\rm{ }}{{16} \over {25}}\) \(⇔ x = ±\)\(\sqrt{\frac{16}{25}}\) = ±\(\frac{4}{5}\) b) \(2{x^2} + {\rm{ }}3{\rm{ }} = {\rm{ }}0\). Phương trình vô nghiệm vì vế trái là \(2{x^2} + {\rm{ }}3{\rm{ }} \ge {\rm{ }}3\) còn vế phải bằng \(0\). c) \(4,2{x^2} + {\rm{ }}5,46x{\rm{ }} = {\rm{ }}0{\rm{ }} \Leftrightarrow {\rm{ }}2x\left( {2,1x{\rm{ }} + {\rm{ }}2,73} \right){\rm{ }} = {\rm{ }}0\) Vậy \(x = 0\) hoặc \(2,1x{\rm{ }} + {\rm{ }}2,73{\rm{ }} = {\rm{ }}0{\rm{ }} = > {\rm{ }}x{\rm{ }} = {\rm{ }} - 1,3\). d) \(4{x^2} - {\rm{ }}2\sqrt 3 x{\rm{ }} = {\rm{ }}1{\rm{ }} - {\rm{ }}\sqrt 3 \) \(\Leftrightarrow {\rm{ }}4{x^2} - {\rm{ }}2\sqrt 3 x{\rm{ }}-{\rm{ }}1{\rm{ }} + {\rm{ }}\sqrt 3 {\rm{ }} = {\rm{ }}0\) Có \(a = 4, b = -2\sqrt{3}, b’ = -\sqrt{3}, c = -1 + \sqrt{3}\) \(\Delta' {\rm{ }} = {\rm{ }}{\left( { - \sqrt 3 } \right)^2}-{\rm{ }}4{\rm{ }}.{\rm{ }}\left( { - 1{\rm{ }} + {\rm{ }}\sqrt 3 } \right){\rm{ }}\) \(= {\rm{ }}3{\rm{ }} + {\rm{ }}4{\rm{ }} - {\rm{ }}4\sqrt 3 {\rm{ }} = {\rm{ }}{\left( {2{\rm{ }} - {\rm{ }}\sqrt 3 } \right)^2}\) \({\rm{ }}\sqrt {\Delta '} {\rm{ }} = {\rm{ }}2{\rm{ }} - {\rm{ }}\sqrt 3 \) \({x_1}\) = \(\frac{\sqrt{3} - 2+ \sqrt{3}}{4}\) = \(\frac{\sqrt{3} - 1}{2}\) , \({x_2}\) = \(\frac{\sqrt{3} +2 - \sqrt{3}}{4}\) = \(\frac{1}{2}\) Bài 21 trang 49 sgk Toán 9 tập 2. Giải vài phương trình của An Khô-va-ri-zmi (Xem Toán 7, Tập 2, tr.26): a) \({x^2} = {\rm{ }}12x{\rm{ }} + {\rm{ }}288\); b) \({1 \over {12}}{x^2} + {\rm{ }}{7 \over {12}}x = 19\). Bài giải: a) \({x^2} = {\rm{ }}12x{\rm{ }} + {\rm{ }}288{\rm{ }} \Leftrightarrow {\rm{ }}{x^2} - {\rm{ }}12x{\rm{ }} - {\rm{ }}288{\rm{ }} = {\rm{ }}0\) \(\Delta {\rm{ }} = {\rm{ }}{\left( { - 6} \right)^{2}}-{\rm{ }}1{\rm{ }}.{\rm{ }}\left( { - 288} \right){\rm{ }} = {\rm{ }}36{\rm{ }} + {\rm{ }}288{\rm{ }} = {\rm{ }}324\) \(\sqrt {\Delta '} = 18\) \({x_1} = {\rm{ }}6{\rm{ }} + {\rm{ }}18{\rm{ }} = {\rm{ }}24,{\rm{ }}{x_2} = {\rm{ }}6{\rm{ }}-{\rm{ }}18{\rm{ }} = {\rm{ }} - 12\) b) \({1 \over {12}}{x^2} + {\rm{ }}{7 \over {12}}x = 19\) \(\Leftrightarrow {\rm{ }}{x^2} + {\rm{ }}7x{\rm{ }}-{\rm{ }}228{\rm{ }} = {\rm{ }}0\) \({\rm{ }}\Delta {\rm{ }} = {\rm{ }}49{\rm{ }}-{\rm{ }}4{\rm{ }}.{\rm{ }}\left( { - 228} \right){\rm{ }} = {\rm{ }}49{\rm{ }} + {\rm{ }}912{\rm{ }} = {\rm{ }}961{\rm{ }} = {\rm{ }}{31^2}\) \({x_1} = {\rm{ }}{{ - 7 + 31} \over 2} = 12,{x_2} = {\rm{ }}{{ - 7 - 31} \over 2} = - 19\) Bài 22 trang 49 sgk Toán 9 tập 2. Không giải phương trình, hãy cho biết mỗi phương trình sau có bao nhiêu nghiệm: a)\(15{x^2} + {\rm{ }}4x{\rm{ }}-{\rm{ }}2005{\rm{ }} = {\rm{ }}0\); b) \( - {{19} \over 5}{x^2} - \sqrt 7 x + 1890 = 0\). Giải Khi phương trình \(a{x^2} + bx + c = 0\) có \(a\) và \(c\) trái dấu thì \(ac < 0\), suy ra \(–ac > 0\); hơn nữa \({b^2} \ge {\rm{ }}0\). Do đó \(\Delta {\rm{ }} = {\rm{ }}{b^2}-{\rm{ }}4ac{\rm{ }} > {\rm{ }}0\). Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt. Áp dụng: a) Phương trình \(15{x^2} + {\rm{ }}4x{\rm{ }}-{\rm{ }}2005{\rm{ }} = {\rm{ }}0\) có \(a = 15\), \(c = -2005\) trái dấu nhau nên phương trình có hai nghiệm phân biệt. b) Phương trình \( - {{19} \over 5}{x^2} - \sqrt 7 x + 1890 = 0\) có \(a \)= \(-\frac{19}{5}\) và \(c = 1890\) trái dấu nhau nên phương trình có hai nghiệm phân biệt. Bài 23 trang 50 sgk Toán 9 tập 2. Rađa của một máy bay trực thăng theo dõi chuyển động của một ôtô trong 10 phút, phát hiện rằng vận tốc \(v\) của ôtô thay đổi phụ thuộc vào thời gian bởi công thức: \(v{\rm{ }} = {\rm{ }}3{t^2}-{\rm{ }}30t{\rm{ }} + {\rm{ }}135\), (\(t\) tính bằng phút, \(v\) tính bằng km/h). a) Tính vận tốc của ôtô khi \(t = 5\) phút. b) Tính giá trị của \(t\) khi vận tốc ôtô bằng 120 km/h (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ hai). Bài giải: a) Khi \(t = 5\) (phút) thì \(v{\rm{ }} = {\rm{ }}3{\rm{ }}.{\rm{ }}{5^2}-{\rm{ }}30{\rm{ }}.{\rm{ }}5{\rm{ }} + {\rm{ }}135{\rm{ }} = {\rm{ }}60\) (km/h) b) Khi \(v = 120\) (km/h), để tìm \(t\) ta giải phương trình \(120{\rm{ }} = {\rm{ }}3{t^2}-{\rm{ }}30t{\rm{ }} + {\rm{ }}135\) Hay \({t^2}-{\rm{ }}10t{\rm{ }} + {\rm{ }}5{\rm{ }} = {\rm{ }}0.{\rm{ }}\). Có \(a{\rm{ }} = {\rm{ }}1,{\rm{ }}b{\rm{ }} = {\rm{ }} - 10,{\rm{ }}b'{\rm{ }} = {\rm{ }} - 5,{\rm{ }}c{\rm{ }} = {\rm{ }}5\). \(\Delta {\rm{ }} = {\rm{ }}{5^2}-{\rm{ }}5{\rm{ }} = {\rm{ }}25{\rm{ }}-{\rm{ }}5{\rm{ }} = {\rm{ }}20,{\rm{ }}\sqrt {\Delta '} = {\rm{ }}2\sqrt 5 \) \({t_1} = {\rm{ }}5{\rm{ }} + {\rm{ }}2\sqrt 5 {\rm{ }} \approx {\rm{ }}9,47,{\rm{ }}{t_2} = {\rm{ }}5{\rm{ }} - {\rm{ }}2\sqrt 5 {\rm{ }} \approx {\rm{ }}0,53\) Vì rađa chỉ theo dõi trong 10 phút nên \(0 < t < 10\) nên cả hai giá trị của \(t\) đều thích hợp. Vậy \({t_1} \approx {\rm{ }}9,47\) (phút), \({t_2} \approx {\rm{ }}0,53\) (phút). Bài 24 trang 50 sgk Toán 9 tập 2. Cho phương trình (ẩn \(x\)) \({x^2}-{\rm{ }}2\left( {m{\rm{ }}-{\rm{ }}1} \right)x{\rm{ }} + {\rm{ }}{m^2} = {\rm{ }}0\). a) Tính \(\Delta '\). b) Với giá trị nào của \(m\) thì phương trình có hai nghiệm phân biệt ? Có nghiệm kép ? Vô nghiệm ? Bài giải: a) \({x^2}-{\rm{ }}2\left( {m{\rm{ }}-{\rm{ }}1} \right)x{\rm{ }} + {\rm{ }}{m^2} = {\rm{ }}0\) có \(a = 1, b = -2(m - 1), b' = -(m - 1)\), \(c{\rm{ }} = {\rm{ }}{m^2}\) \(\Delta '{\rm{ }} = {\rm{ }}{\left[ { - \left( {m{\rm{ }} - {\rm{ }}1} \right)} \right]^2}-{\rm{ }}{m^2} = {\rm{ }}{m^2}-{\rm{ }}2m{\rm{ }} + {\rm{ }}1{\rm{ }}-{\rm{ }}{m^2} = {\rm{ }}1{\rm{ }}-{\rm{ }}2m\) b) Ta có \(\Delta' = 1 – 2m\) Phương trình có hai nghiệm phân biệt khi \(1 – 2m > 0\) hay khi \(m < \frac{1}{2}\) Phương trình vô nghiệm khi \(m > \frac{1}{2}\) Phương trình có nghiệm kép khi \(m = \frac{1}{2}\).
