Bài 23 trang 66 sgk toán lớp 7- tập 2. Cho G là trọng tâm của tam giác DEF với đường trung tuyến DH. Trong các khẳng định sau đây, khẳng định nào đúng ? \(\frac{DG}{DH}= \frac{1}{2}\); \(\frac{DG}{GH}\) = 3 \(\frac{GH}{DH}= \frac{1}{3}\); \(\frac{GH}{DG}= \frac{2}{3}\) Hướng dẫn: G là trọng tâm của tam giác DEF với đường trung tuyến DH. Ta có: \(\frac{GD}{DH}= \frac{2}{3}\) vì \(\frac{GH}{DH}= \frac{1}{3}\) Vậy khẳng định \(\frac{GH}{DH}= \frac{1}{3}\) là đúng Các khẳng định còn lại sai Bài 24 trang 66 sgk toán lớp 7- tập 2. Cho hình bên. Hãy điền số thích hợp vào chỗ trống trong các đẳng thức sau: a) MG = … MR ; GR = …MR ; GR = …MG b) NS = ..NG; NS = …GS; NG = GS Hướng dẫn Hình vẽ cho ta biết hai đường trung tuyến MR và NS cắt nhau tại G nên G là trọng tâm của tam giác. Vì vậy ta điền số như sau: a) MG =\(\frac{2}{3}\) MR ; GR = \(\frac{1}{3}\) MR ; GR =\(\frac{1}{2}\) MG b) NS =\(\frac{2}{3}\) NG; NS =3GS; NG =2GS Bài 25 trang 67 sgk toán lớp 7- tập 2. Biết rằng: Trong một tam giác vuông, đường trung tuyến ứng với cạnh bằng một nửa cạnh huyền. hãy giải bài toán sau: Cho tam giác vuông ABC có hai cạnh góc vuông AB = 3cm, AC = 4cm. Tính cách từ đỉnh A tới trọng tâm G của tam giác ABC. Hướng dẫn: ∆ABC vuông tại A => BC2 = AB2 + AC2 BC2 = 32 + 42 BC2 = 25 BC = 5 Gọi M là trung điểm của BC => AM là trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng một nửa cạnh huyền nên AM = \(\frac{1}{2}\) BC Vì G là trọng tâm của ∆ ABC nên AG =\(\frac{2}{3}\) AM => AG =\(\frac{2}{3}\).\(\frac{1}{2}\) BC => AG = \(\frac{1}{3}\) BC = \(\frac{1}{3}\) .5 = 1.7cm Bài 26 trang 67 sgk toán lớp 7- tập 2. Chứng minh định lí: Trong một tam giác cân, hai đường trung tuyến ứng với hai cạnh bên thì bằng nhau. Hướng dẫn: Giả sử ∆ABC cân tại A có hai đường trung tuyến BM và CN, ta chứng minh BM = CN Vì ∆ ABC cân tại A=> AB = AC mà M, N là trung điểm AC, AB nên CM = BN Do đó ∆CMB ;∆BNC có: BC chung CM = BN (cm trên) AB = AC (∆ABC cân) => BM = CN Bài 27 trang 67 sgk toán lớp 7- tập 2. Hãy chứng minh định lí đảo của định lí trên : Nếu tam giác có hai đường trung tuyến bằng nhau thì tam giác đó cân. Hướng dẫn: Giả sử ∆ABC có hai đường trung tuyến BM và CN gặp nhau ở G => G là trọng tâm của tam giác => GB = BM; GC = CN mà BM = CN (giả thiết) nên GB = GC => ∆GBC cân tại G => \(\widehat{GCB} = \widehat{GBC}\) do đó ∆BCN = ∆CBM vì: BC là cạnh chung CN = BM (gt) \(\widehat{GCB} = \widehat{GBC}\) (cmt) => \(\widehat{NBC} = \widehat{MCB}\) => ∆ABC cân tại A Bài 28 trang 67 sgk toán lớp 7- tập 2. Cho tam giác DEF cân tại D với đường trung tuyến DI a) Chứng minh ∆DEI = ∆DFI b) Các góc DIE và góc DIF là những góc gì? c) Biết DE = DF = 13cm, EF = 10cm, hãy tính độ dài đường trung tuyến DI. Hướng dẫn: a) ∆DEI = ∆DFI có: DI là cạnh chung DE = DF ( ∆DEF cân) IE = IF (DI là trung tuyến) => ∆DEI = ∆DFI (c.c.c) b) Vì ∆DEI = ∆DFI => \(\widehat{DIE} =\widehat{DIF}\) mà \(\widehat{DIE} +\widehat{DIF}\) = 1800 ( kề bù) nên \(\widehat{DIE} =\widehat{DIF}\) = 900 c) I là trung điểm của EF nên IE = IF = 5cm ∆DEI vuông tại I => DI2 = DE2 – EI2 (định lí pytago) => DI2 = 132 – 52 = 144 => DI = 12 Bài 29 trang 67 sgk toán lớp 7- tập 2. Cho G là trọng tâm của tam giác đều ABC. Chứng minh rằng: GA =GB = GC. Hướng dẫn: Gọi M, N, E là giao điểm của AG, BG, CG với BC, CA, AB. Vì G là trọng tâm của ∆ABC nên GA = \(\frac{2}{3}\)AM; GB = \(\frac{2}{3}\)BN; GC = \(\frac{2}{3}\)CE (1) Vì ∆ABC đều nên ba đường trung tuyến ứng với ba cạnh BC, CA, AB bằng nhau => AM = BN = CE (2) Từ (1), (2) => GA = GB = GC Bài 30 trang 67 sgk toán 7 tập 2. Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC. Trên tia AG lấy điểm G’ sao cho G là trung điểm của AG’. a)So sánh các cạnh của tam giác BGG’ với các đường trung tuyến của tam giác ABC. b)So sánh các đường trung tuyến của tam giác BGG’ với các cạnh của tam giác ABC. Hướng dẫn làm bài: a)So sánh các cạnh của ∆BGG’ với các đường trung tuyến của ∆ABC BG cắt AC tại N CG cắt AB tại E G là trọng tâm của ∆ABC => \(GA = {2 \over 3}AM\) Mà GA = GG’ (G là trung điểm của AG’) => \(GG' = {2 \over 3}AM\) Vì G là trọng tâm của ∆ABC => \(GB = {2 \over 3}BN\) Mặt khác : M là trung điểm \(\left. {\matrix{{GM = {1 \over 2}AG\left( {TT} \right)} \cr {AG = GG'\left( {Gt} \right)} \cr} } \right\} = > GM = {1 \over 2}GG'\) Do đó ∆GMC=∆G’MB vì \(\left\{ {\matrix{{GM = MG'} \cr {MB = MC} \cr {\widehat {GMC} = \widehat {G'MB}} \cr } } \right.\) => \({\matrix{{BG' = CG} \cr {{\rm{ }}CG = {2 \over 3}CE} \cr} }\) (G là trọng tâm tam giác ABC) \(= > BG' = {2 \over 3}CE\) Vậy mỗi cạnh của ∆BGG’ bằng \({2 \over 3}\) đường trung tuyến của ∆ABC b)So sánh các đường trung tuyến của ∆BGG’ với cạnh ∆ABC. -Ta có: BM là đường trung tuyến ∆BGG’ Mà M là trung điểm của BC nên \(BM = {1 \over 2}BC\) Vì \({IG = {1 \over 2}BG}\) (Vì I là trung điểm BG) \({GN = {1 \over 2}BG}\) (G là trọng tâm) => IG = GN Do đó ∆IGG’=∆NGA (c.g.c) => \(IG' = AN = > IG' = {{AC} \over 2}\) -Gọi K là trung điểm BG => GK là trung điểm ∆BGG’ Vì \({GE = {1 \over 2}GC}\) (G là trọng tâm tam giác ABC) BG' = GC (Chứng minh trên) \(= > GE = {1 \over 2}BG\) Mà K là trung điểm BG’ =>KG’ = EG Vì ∆GMC = ∆G’MB (chứng minh trên) => \(\widehat {GCM} = \widehat {G'BM}\) (So le trong) =>CE // BG’ => \(\widehat {AGE} = \widehat {AG'B}\) (đồng vị) Do đó ∆AGE = ∆GG’K (c.g.c) =>AE = GK Mà \(AE = {1 \over 2}AB \Rightarrow GK = {1 \over 2}AB\) Vậy mỗi đường trung tuyến ∆BGG’ bằng một nửa cạnh của tam giác ABC song song với nó.
