Bài 12 trang 106 sgk Toán 9 - tập 1. Cho đường tròn tâm O bán kính 5cm, dây AB bằng 8 cm. a) Tính khoảng cách từ tâm O đến dây AB. b) Gọi I là điểm thuộc dây AB sao cho AI=1cm. Kẻ dây CD đi qua I và vuông góc với AB. Chứng minh rằng CD=AB. Hướng dẫn giải: a) Vẽ \(OH\perp AB\), ta có \(HA=HB=4cm.\) Xét tam giác HOB vuông tại H, có: \(OH^{2}=OB^{2}-HB^{2}=5^{2}-4^{2}=9\Rightarrow OH=3(cm)\). b) Vẽ \(OK\perp CD\). Tứ giác KOHI có ba góc vuông nên là hình chữ nhật, suy ra \(OK=HI\). Ta có \(HI=4-1=3cm\), suy ra \(OK=3cm.\) Vậy \(OH=OK = 3cm.\) Hai dây AB và CD cách đều tâm nên chúng bằng nhau. Do đó \(AB = CD.\) Bài 13 trang 106 sgk Toán 9 - tập 1. Cho đường tròn (O) có các dây AB và CD bằng nhau, các tia AB và CD cắt nhau tại điểm E nằm bên ngoài đường tròn. Gọi H và K theo thứ tự là trung điểm của AB và CD. Chứng minh rằng: a) EH = EK b) EA = EC. Hướng dẫn giải: a) Vì \(HA=HB\) nên \(OH\perp AB\). Vì \(KC=KD\) nên \(OK\perp CD\). Mặt khác, \(AB=CD\) nên \(OH=OK\) (hai dây bằng nhau thì cách đều tâm). \(\Delta HOE=\Delta KOE\) (cạnh huyền, cạnh góc vuông) Suy ra \(EH=EK. (1)\) b) Ta có \(AH=KC\) (một nửa của hai dây bằng nhau). (2) Từ (1) và (2) suy ra \(EH+HA=EK+KC\) hay \(EA=EC.\) Bài 13 trang 106 sgk Toán 9 - tập 1. Cho đường tròn (O) có các dây AB và CD bằng nhau, các tia AB và CD cắt nhau tại điểm E nằm bên ngoài đường tròn. Gọi H và K theo thứ tự là trung điểm của AB và CD. Chứng minh rằng: a) EH = EK b) EA = EC. Hướng dẫn giải: a) Vì \(HA=HB\) nên \(OH\perp AB\). Vì \(KC=KD\) nên \(OK\perp CD\). Mặt khác, \(AB=CD\) nên \(OH=OK\) (hai dây bằng nhau thì cách đều tâm). \(\Delta HOE=\Delta KOE\) (cạnh huyền, cạnh góc vuông) Suy ra \(EH=EK. (1)\) b) Ta có \(AH=KC\) (một nửa của hai dây bằng nhau). (2) Từ (1) và (2) suy ra \(EH+HA=EK+KC\) hay \(EA=EC.\) Bài 14 trang 106 sgk Toán 9 - tập 1. Cho đường tròn tâm \(O\) bán kính \(25cm\), dây \(AB\) bằng \(40cm\). Vẽ dây \(CD\) song song với \(AB\) và có khoảng cách đến \(AB\) bằng \(22cm\). Tính độ dài dây \(CD\). Giải Vẽ \(OH\perp AB\), đường thẳng \(OH\) cắt \(CD\) tại \(K\). Ta có \(OK\perp CD\) \(KC=KD\) \(AH=HB\) Áp dụng định lí Pytago vào tam giác \(OBH\) vuông tại \(H\), ta có: \(OH=\sqrt{OB^2-\left ( \frac{AB}{2} \right )^2}=15(cm)\) \(\Rightarrow OK=22-15=7(cm)\) Áp dụng định lí Pytago vào tam giác \(OKD\) vuông tại \(K\), ta có: \(KD=\sqrt{OD^2-OK^2}=24(cm)\) \(\Rightarrow CD=2KD=48(cm)\) Bài 15 trang 106 sgk Toán 9 - tập 1. Cho hình 70 trong đó hai đường tròn cùng có tâm là O. Cho biết \(AB>CD\). Hãy so sánh các độ dài: a) OH và OK; b) ME và MF; c) MH và MK. Hướng dẫn giải: a) Xét trong đường tròn nhỏ: Theo định lí 2. Trong hai dây của 1 đường tròn dây nào lớn hơn thì dây đó gần tâm hơn. \(AB > CD \Rightarrow OH < OK \) b) Xét trong đường tròn lớn: Theo định lí 2. Trong hai dây của 1 đường tròn dây nào gần tâm hơn thì dây đó lớn hơn. \(OH < OK \Rightarrow ME > MF\) c) Xét trong đường tròn lớn: Theo định lí 2. Trong hai dây của 1 đường tròn dây nào lớn hơn thì dây đó gần tâm hơn. \(ME > MF \Rightarrow MH > MK\) Bài 16 trang 106 sgk Toán 9 - tập 1. Cho đường tròn \((O)\), điểm \(A\) nằm bên trong đường tròn. Vẽ dây \(BC\) vuông góc với \(OA\) tại \(A\). Vẽ dây \(EF\) bất kì đi qua \(A\) và không vuông góc với \(OA\). Hãy so sánh độ dài hai dây \(BC\) và \(EF\). Giải Vẽ \(OH\perp EF\). Xét tam giác \(HOA\) vuông tại \(H\) ta có: \(OH<OA\). Suy ra \(EF>BC.\) Nhận xét. Trong các dây đi qua một điểm \(A\) ở trong đường tròn, dây vuông góc với \(OA\) là dây ngắn nhất.
