Bài 77 trang 98 sgk Toán lớp 9 tập 2. Tính diện tích hình tròn nội tiếp một hình vuông cạnh là \(4cm\). Hướng dẫn giải: Hình tròn nội tiếp một hình vuông cạnh là \(4cm\) thì có bán kính là \(2cm\). Vậy diện tích hình tròn là \(π(2^2)\) = \(4π\) $(cm^2)$ Bài 78 trang 98 sgk Toán lớp 9 tập 2. Chân một đống cát trên một nền phẳng nằm ngang là một hình tròn có chu vi là \(12 m\). Hỏi chân đống cát đó chiếm một diện tích bao nhiêu mét vuông? Hướng dẫn giải: Theo giả thiết thì \(C = 2πR = 12m\) \(\Rightarrow R =\) \(\frac{12 }{2\pi }\) = \(\frac{6 }{\pi }\). Diện tích phần mặt đất mà đống cát chiếm chỗ là: \(S = π. R^2\) =\( π\) \(\left ( \frac{6}{\pi } \right )^{2}\) = \(\frac{36}{\pi }\) \(≈ 11,5\) (\(m^2\)) Bài 79 trang 98 sgk Toán lớp 9 tập 2. Tính diện tích một hình quạt tròn có bán kính \(6cm\), số đo cung là \(36^0\) Hướng dẫn giải: Theo công thức \(S = \frac{\pi R^{2}n^{\circ}}{360^{\circ}}\) ta có \(S= \frac{\pi 6^{2}.36}{360}\) \(= 3,6π \) (\(cm^2\)) Bài 80 trang 98 sgk Toán lớp 9 tập 2. Một vườn cỏ hình chữ nhật \(ABCD\) có \(AB = 40m\), \(AD = 30m\) Người ta muốn buộc hai con dê ở hai góc vườn \(A, B\). Có hai cách buộc: - Mỗi dây thừng dài \(20m\). - Một dây thừng dài \(30m\) và dây thừng kia dài \(10m\). Hỏi cách buộc nào thì diện tích cỏ mà cả hai con dê có thể ăn được sẽ lớn hơn (h.60) Hướng dẫn giải: Theo cách buộc thứ nhất thì diện tích cỏ dành cho mỗi con dê là bằng nhau. Mỗi diện tích là \(\frac{1}{4}\) hình tròn bán kính \(20m\). \(\frac{1}{4}\)\( π.20^2\) = \(100π\) (\(m^2\)) Cả hai diện tích là \(200π\) (\(m^2\)) (1) Theo cách buộc thứ hai, thì diện tích cỏ dành cho con dê buộc ở A là \(\frac{1}{4}\) \(π.30^2\) = \(\frac{1}{4}\) \(900π\) (\(m^2\)) Diện tích cỏ dành cho con dê buộc ở B là: \(\frac{1}{4}\) \(π.10^2\) = \(\frac{1}{4}\) \(100π\) (\(m^2\)) Diện tích cỏ dành cho cả hai con dê là: \(\frac{1}{4}\)\( 900π\) + \(\frac{1}{4}\) \(100π \)= \(\frac{1}{4}\) \(1000π\) = \(250π\) (\(m^2\)) (2) So sánh (1) và (2) ta thấy với cách buộc thứ hai thì diện tích cỏ mà hai con dê có thể ăn được sẽ lớn hơn. Bài 81 trang 99 sgk Toán lớp 9 tập 2. Diện tích hình tròn sẽ thay đổi như thế nào nếu: a) Bán kính tăng gấp đôi? b) Bám kinh tăng gấp ba? c) Bán kính tăng \(k\) lần (\(k>1\))? Hướng dẫn giải: Ta có: \(π{(2R)}^2 = 4πR^2\) \(π{(3R)}^2 = 9 πR^2\) \(π(kR)^2 = k^2 πR^2\) Vậy nếu ta gấp đôi bán kính thì diện tích hình tròn sẽ gấp bốn, nếu nhân bán kính với \(k > 0\) thì diện tích hình tròn sẽ gấp \(k^2\) lần. Bài 82 trang 99 sgk Toán lớp 9 tập 2. Điền vào ô trống trong bảng sau (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ nhất) Giải - Dòng thứ nhất: \( R\) = \(\frac{C}{2\pi }\) = \(\frac{13,2}{2. 3,14 }\) \(≈ 2,1\) (\(cm\)) \(S = π. R^2 = 3,14.{(2,1)}^2 ≈ 13,8 \)(\(cm^2\)) \({R_{quạt}}\)= \(\frac{\pi R^{2}n^{\circ}}{360^{\circ}}\) = \(\frac{3,14 .2,1^{2}.47,5}{360}\) \(≈ 1,83\) (\(cm^2\)) - Dòng thứ hai: \(C = 2πR = 2. 3,14. 2,5 = 15,7\) (cm) \(S = π. R^2 = 3,14.{(2,5)}^2 ≈ 19,6\) (\(cm^2\)) \(n^0\) = \(\frac{S_{quat}.360^{\circ}}{\pi R^{2}}\) = \(\frac{12,5.360^{\circ}}{3,14.2,5^{2}}\) \(≈ 229,3^0\) - Dòng thứ ba: \(R\) = \(\sqrt{\frac{s}{\pi }}\) = \(\sqrt{\frac{37,8}{3,14 }}\) \(≈ 3,5\) (\(cm\)) \(C = 2πR = 22\) (\(cm\)) \(n^0\) = \(\frac{S_{quat}.360^{\circ}}{\pi R^{2}}\)= \(\frac{10,6.360^{\circ}}{3,14.3,5^{2}}\) \(≈ 99,2^0\) Điền vào các ô trống ta được các bảng sau: Bài 83 trang 99 sgk Toán lớp 9 tập 2. a) Vẽ hình 62 (tạo bởi các cung tròn) với \(HI = 10cm\) và \(HO = 2cm\). Nêu cách vẽ. b) Tính diện tích hình \(HOABINH\) (miền gạch sọc) c) Chứng tỏ rằng hình tròn đường kính \(NA\) có cùng diện tích với hình \(HOABINH\) đó. Hướng dẫn giải: a) Vẽ nửa đường tròn đường kính \(HI = 10 cm\), tâm \(M\) Trên đường kính \(HI\) lấy điểm \(O\) và điểm \(B\) sao cho \(HO = BI = 2cm\). Vẽ hai nửa đường tròn đường kính \(HO\), \(BI\) nằm cùng phía với đường tròn \((M)\). vẽ nửa đường tròn đường kính \(OB\) nằm khác phía đối với đường tròn \((M)\). Đường thẳng vuông góc với \(HI\) tại \(M\) cắt \((M)\) tại \(N\) và cắt đường tròn đường kính \(OB\) tại \(A\). b) Diện tích hình \(HOABINH\) là: \(\frac{1}{2}\).\(π.5^2\) + \(\frac{1}{2}\).\(π.3^2\) – \(π.1^2\) = \(\frac{25}{2}π\) + \(\frac{9}{2}π\) - \(π\) = \(16π\) (\(cm^2\)) (1) c) Diện tích hình tròn đường kính \(NA\) bằng: \(π. 4^2 = 16π\) (\(cm^2\)) (2) So sánh (1) và (2) ta thấy hình tròn đường kính \(NA\) có cùng diện tích với hình \(HOABINH\) Bài 84 trang 99 sgk Toán lớp 9 tập 2. a) Vẽ lại hình tạo bởi các cung tròn xuất phát từ đỉnh \(C\) của tam giác đều \(ABC\) cạnh \(1 cm\). Nêu cách vẽ (h.63). b) Tính diện tích miền gạch sọc. Hướng dẫn giải: a) Vẽ tam giác đều \(ABC\) cạnh \(1cm\) Vẽ \(\frac{1}{3}\) đường tròn tâm \(A\), bán kính \(1cm\), ta được cung \(\overparen{CD}\) Vẽ \(\frac{1}{3}\) đường tròn tâm \(B\), bán kính \(2cm\), ta được cung \(\overparen{DE}\) Vẽ \(\frac{1}{3}\) đường tròn tâm \(C\), bán kính \(3cm\), ta được cung \(\overparen{EF}\) b) Diện tích hình quạt \(CAD\) là \(\frac{1}{3}\) \(π.1^2\) Diện tích hình quạt \(DBE\) là \(\frac{1}{3}\) \(π.2^2\) Diện tích hình quạt \(ECF\) là \(\frac{1}{3}\) \(π.3^2\) Diện tích phần gạch sọc là \(\frac{1}{3}\) \(π.1^2\)+ \(\frac{1}{3}\) \(π.2^2\) + \(\frac{1}{3}\) \(π.3^2\) = \(\frac{1}{3}\) \(π (1^2 + 2^2 + 3^2)\) = \(\frac{14}{3}π\) (\(cm^2\)) Bài 85 trang 100 sgk Toán lớp 9 tập 2. Hình viên phân là hình tròn giới hạn bởi một cung tròn và dây căng cung ấy. Hãy tính diện tích hình viên phân \(AmB\), biết góc ở tâm \(\widehat {AOB} = {60^0}\) và bán kính đường tròn là \(5,1 cm\) (h.64) Hướng dẫn giải: \(∆OAB\) là tam giác đều có cạnh bằng \(R = 5,1cm\). Áp dụng công thức tính diện tích tam giác đều cạnh \(a\) là \({{{a^2}\sqrt 3 } \over 4}\) ta có \({S_{\Delta OBC}} = {{{R^2}\sqrt 3 } \over 4}\) (1) Diện tích hình quạt tròn \(AOB\) là: \({{\pi .{R^2}{{.60}^0}} \over {{{360}^0}}} = {{\pi {R^2}} \over 6}\) (2) Từ (1) và (2) suy ra diện tích hình viên phân là: \({{\pi {R^2}} \over 6} - {{{R^2}\sqrt 3 } \over 4} = {R^2}\left( {{\pi \over 6} - {{\sqrt 3 } \over 4}} \right)\) Thay \(R = 5,1\) ta có \(S\)viên phân ≈\( 2,4\) (\(cm^2\)) Bài 86 trang 100 sgk Toán lớp 9 tập 2. Hình vành khăn là phần hình tròn nằm giữa hai đường tròn đồng tâm (h.65). a) Tính diện tích \(S\) của hình vành khăn theo \({R_1}\) và \({R_2}\) (giả sử \({R_1}>{R_2}\)). b) Tính diện tích hình vành khăn khi \({R_1} = 10,5 cm\), \({R_2} = 7,8 cm\). Hướng dẫn giải: a) Diện tích hình tròn \((O;{R_1})\) là \({S_1 }\)=\( \pi{R_1}^2\). Diện tích hình tròn \((O;{R_2})\) là \({S_2 }\)=\( \pi{R_2}^2\). Diện tích hình vành khăn là: \(S = {S_1}– {S_2}\) = \( \pi{R_1}^2\)-\( \pi{R_2}^2\)= \( \pi({R_1}^2-{R_2}^2)\) b) Thay số: \(S = 3,14. (10,5^2 – 7,8^2) = 155,1\)(\(cm^2\)) Bài 87 trang 100 sgk Toán lớp 9 tập 2. Lấy cạnh \(BC\) của một tam giác đều làm đường kính, vẽ một nửa đường tròn về cùng một phía với tam giác ấy đối với đường thẳng \(BC\). Cho biết cạnh \(BC = a\), hãy tính diện tích hình viên phân được tạo thành. Hướng dẫn giải: Gọi nửa đường tròn tâm \(O\) đường kính \(BC\) cắt hai cạnh \(AB\) và \(AC\) lần lượt tại \(M\) và \(N\). \(∆ONC\) có \(OC = ON\), \(\widehat{C}\) = \(60^0\) nên \(∆ONC\) là tam giác đều, do đó \(\widehat{NOC}\) = \(60^0\). \(S\)quạt NOC = \(\frac{\pi \left ( \frac{a}{2} \right )^{2}.60^{\circ}}{360^{\circ}}\) = \(\frac{\pi a^{2}}{24}\). \(S\)∆NOC = \(\frac{\left ( \frac{a}{2} \right )^{2}\sqrt{3}}{4}\) = \(\frac{a^{2}\sqrt{3}}{16}\) Diện tích hình viên phân: \(S\)CpN = \(\frac{\pi a^{2}}{24}\) - \(\frac{a^{2}\sqrt{3}}{16}\) = \(\frac{a^{2}}{48}\left ( 2\pi -3\sqrt{3} \right )\) Vậy diện tích hình viên phhân bên ngoài tam giác là: \(\frac{a^{2}}{24}\left ( 2\pi -3\sqrt{3} \right )\)
