Bài 44 trang 86 sgk Toán lớp 9 tập 2. Cho tam giác \(ABC\) vuông ở \(A\), có cạnh \(BC\) cố định. Gọi \(I\) là giao điểm của ba đường phân giác trong. Tìm quỹ tích điểm \(I\) khi \(A\) thay đổi. Hướng dẫn giải: Theo tính chất của góc ngoài tam giác, ta có; \(\widehat{I_{1}}\) = \(\widehat{A_{1}}\) + \(\widehat{B_{1}}\) (1) \(\widehat{I_{2}}\) = \(\widehat{A_{2}}\) + \(\widehat{C_{1}}\) (2) Cộng vế (1) và (2) vế với vế: \(\widehat{I_{1}}\) +\(\widehat{I_{2}}\) = \(\widehat{A_{1}}\)+\(\widehat{A_{2}}\)+\(\widehat{B_{1}}\)+\(\widehat{C_{1}}\) Hay \(\widehat{I}\) = \(90^{\circ}\) +\(45^{\circ}\) = \(135^{\circ}\) Điểm \(I\) nhìn đoạn thẳng \(BC\) cố định dưới góc \(135^{\circ}\) không đổi, vậy quỹ tích của \(I\) là góc cung chứa góc \(135^{\circ}\) dựng trên đoạn thẳng \(BC\). Bài 45 trang 86 sgk Toán lớp 9 tập 2. Cho các hình thoi \(ABCD\) có cạnh \(AB\) cố định. Tìm quỹ tích giao điểm \(O\) của hai đường chéo của các hình thoi đó. Hướng dẫn giải: Ta đã biết rằng hai đường chéo hình thoi vuông góc với nhau, vậy điểm \(O\) nhìn \(AB\) cố định dưới góc \(90^0\). Quỹ tích điểm \(O\) là nửa đường tròn đường kính \(AB\) Bài 46 trang 86 sgk Toán lớp 9 tập 2. Dựng một cung chứa góc \(55^0\) trên đoạn thẳng \(AB = 3cm\) Hướng dẫn giải: Trình tự dựng như sau: - Dựng đoạn thẳng \(AB = 3cm\) (dùng thước đo chia khoảng mm) - Dựng góc \(\widehat{xAB}\) = \(55^0\) (dùng thước đo góc và thước thẳng) - Dựng tia \(Ay\) vuông góc với \(Ax\) (dùng êke) - Dựng đường trung trực \(d\) của đoạn thẳng \(AB\) (dùng thước có chia khoảng và êke). Gọi \(O\) là giao điểm của \(d\) và \(Ay\). - Dựng đường tròn tâm \(O\), bán kính \(OA\) (dùng compa) Ta có: \(\overparen{AmB}\) là cung chứa góc \(55^0\)dựng trên đoạn thẳng \(AB = 3cm\) (một cung) Bài 47 trang 86 sgk Toán lớp 9 tập 2. Gọi cung chứa góc \(55^0\) ở bài tập 46 là \(\overparen{AmB}\). Lấy điểm \({M_1}\) nằm bên trong và điểm \({M_2}\) nằm bên ngoài đường tròn chứa cung này sao cho \({M_1},{M_2}\) và cung \(\overparen{AmB}\) nằm cùng về một phía đối với đường thẳng \(AB\). Chứng minh rằng: a) \(\widehat {A{M_1}B} > 55^0\); b) \(\widehat {A{M_2}B} < 55^0\). Hướng dẫn giải: \({M_1}\) là điểm bất kì nằm trong cung chứa góc \(55^0\) (hình a). Gọi \(B’, A’\) theo thứ tự là giao điểm của \({M_1}A\), \({M_1}B\) với cung tròn. Vì \(\widehat{A{M_1}B}\) là góc có đỉnh nằm trong đường tròn, nên: \(\widehat {A{M_1}B}\) = \(\frac{sđ\overparen{AB}+sđ\overparen{A'B'}}{2}\) = \(55^0\)+ (một số dương). Vậy \(\widehat {A{M_1}B} > 55^0\) b) \({M_2}\) là điểm bất kì nằm ngoài đường tròn (h.b), \({M_2}A,{M_2}B\) lần lượt cắt đường tròn tại \(A’, B’.\) Vì góc \(\widehat {A{M_2}B}\) là góc có đỉnh nằm bên ngoài đường tròn nên: \(\widehat {A{M_2}B}\)=\(\frac{sđ\overparen{AB}-sđ\overparen{A'B'}}{2}\)=\(55^0\)- (một số dương) Vậy \(\widehat {A{M_2}B} < 55^0\) Bài 48 trang 87 sgk Toán lớp 9 tập 2. Cho hai điểm \(A, B\) cố định. Từ \(A\) vẽ các tiếp tuyến với đường tròn tâm \(B\) bán kính không lớn hơn \(AB\). Tìm quỹ tích các tiếp điểm. Hướng dẫn giải: - Trường hợp các đường tròn tâm \(B\) có bán kính \(BA\). Tiếp tuyến \(BA\) vuông góc với bán kính \(BT\) tại tiếp điểm \(T\). Do \(AB\) cố định nên quỹ tích của \(T\) là đường tròn đường kính \(AB\). - Trường hợp các đường tròn tâm \(B\) có bán kính lớn hơn \(BA\): quỹ tích là tập hợp rỗng. Bài 49 trang 87 sgk Toán lớp 9 tập 2. Dựng tam giác \(ABC\), biết \(BC = 6cm\), \(\widehat{A}\) = \(40^0\) và đường cao \(AH = 4cm\). Hướng dẫn giải: Trình tự dựng gồm 3 bước: - Dựng đoạn thẳng \(BC = 6cm\) - Dựng cung chứa góc \({40^0}\) trên đoạn thẳng \(BC\). - Dựng đường thẳng \(xy\) song song với \(BC\) và cách \(BC\) một khoảng là \(4cm\) như sau: Trên đường trung trực \(d\) của đoạn thẳng \(BC\) lấy đoạn \(HH' = 4cm\) (dùng thước có chia khoảng mm). Dựng đường thẳng \(xy\) vuông góc với \(HH'\) tại \(H\). Gọi giao điểm \(xy\) và cung chứa góc là \(\widehat{A}\), \(\widehat{A'}\). Khi đó tam giác \(ABC\) hoặc \(A'BC\) đều thỏa yêu cầu của đề toán Bài 50 trang 87 sgk Toán lớp 9 tập 2. Cho đường tròn đường kính \(AB\) cố định. \(M\) là một điểm chạy trên đường tròn. Trên tia đối của tia \(MA\) lấy điểm \(I\) sao cho \(MI = 2MB\). a) Chứng minh \(\widehat{AIB}\) không đổi. b) Tìm tập hợp các điểm \(I\) nói trên. Hướng dẫn giải: a) Vì \(\widehat{BMA}\) = \(90^0\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) suy ra trong tam giác vuông \(MIB\) có \(tg\widehat{AIB}\) = \(\frac{MB}{MI}\) = \(\frac{1}{2}\) =>\(\widehat{AIB}\) = \(26^0 34'\) Vậy \(\widehat{AIB}\) không đổi. b) Phần thuận: Khi điểm \(M\) chuyển động trên đường tròn đường kính \(AB\) thì điểm \(I\) cũng chuyển động, nhưng luôn nhìn đoạn thẳng \(AB\) cố định dưới góc \(26^0 34'\) , vậy điểm \(I\) thuộc hai cung chứa góc \(26^0 34'\) dựng trên đoạn thẳng \(AB\) (hai cung \(\overparen{AmB}\) và \(\overparen{Am'B}\)) Phần đảo: Lấy điểm \(I'\) bất kì thuộc \(\overparen{AmB}\) hoặc \(\overparen{Am'B}\), \(I'A\) cắt đường tròn đường kính \(AB\) tại \(M'\). Tam giác vuông \(BMT\), có \(tg\widehat{I'}\) = \(\frac{M'B}{M'I'}\) = \(tg26^034’\) Kết luận: Quỹ tích điểm \(I\) là hai cung \(\overparen{AmB}\) và \(\overparen{Am'B}\) Bài 51 trang 87 sgk Toán lớp 9 tập 2. Cho \(I, O\) lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp, tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC\) với \(\widehat{A}\) = \(60^0\). Gọi \(H\) là giao điểm của các đường cao \(BB'\) và \(CC'\) Chứng minh các điểm \(B, C, O, H, I\) cùng thuộc một đường tròn. Hướng dẫn giải: Ta có: \(\widehat{BOC}\) = \(2\widehat{BAC}\) = \(2.60^0\) = \(120^0\) (1) (góc nội tiếp và góc ở tâm cùng chắn một cung) và \(\widehat{BHC}\) = \(\widehat{B'HC'}\) (đối đỉnh) mà \(\widehat{B'HC'}\) = \(180^0\) - \(\widehat{A}\) = \(180^0- 60^0 = 120^0\) nên \(\widehat{BHC}\) = \(120^0\) (2) \(\widehat{BIC}\) = \(\widehat{A}\) + \(\frac{\widehat{B}+\widehat{C}}{2}\) = \(60^0\) + \(\frac{180^{\circ}-60^{\circ}}{2}\) = \(60^0+ 60^0\) (sử dụng góc ngoài của tam giác) Do đó \(\widehat{BIC}\) = \(120^0\) Từ (1), (2), (3) ta thấy các điểm \(O, H, I\) cùng nằm trên các cung chứa góc \(120^0\) dựng trên đoạn thẳng \(BC\). Nói cách khác, năm điểm \(B, C, O, H, I\) cùng thuộc một đường tròn Bài 52 trang 87 sgk Toán lớp 9 tập 2. "Góc sút" của quả phạt đền \(11\) mét là bao nhiêu độ? Biết rằng chiều rộng cầu môn là \(7,32m\). Hãy chỉ ra hai vị trí khác trên sân có cùng "góc sút" như quả phạt đền \(11 m\). Hướng dẫn giải: Gọi vị trí đặt bóng để sút phạt đền là \(M\), và bề ngang cầu môn là \(PQ\) thì \(M\) nằm trên đường trung trực của \(PQ\). Gọi \(H\) là trung điểm \(PQ\), \(\widehat{PMH}\) = \(\alpha\). Theo các giả thiết đã cho thì trong tam giác vuông \(MHP\), ta có: \(tgα\) = \(\frac{3,66}{11}\) \(≈ 0,333 => α = 18^036’\). Vậy góc sút phạt đền là \(2α ≈ 37^012’\).
