Câu 1 trang 137 Sách Bài Tập (SBT) Toán lớp 7 tập 1. Tính giá trị x ở hình dưới: Giải a) Trong ∆ABC ta có: \(\widehat A + \widehat B + \widehat C = 180^\circ \) (tổng 3 góc trong tam giác) \(\eqalign{ & \Rightarrow \widehat A = 180^\circ - \left( {\widehat B - \widehat C} \right) \cr & \Rightarrow x = 180^\circ - (30^\circ + 110^\circ ) = 40^\circ \cr} \) b) Trong ∆DEF ta có: \(\widehat D + \widehat E + \widehat F = 180^\circ \) (tổng 3 góc trong tam giác) Mà \(\widehat E = \widehat F\left( {gt} \right)\) Suy ra: \(\widehat E = \widehat F = {{180^\circ - \widehat D} \over 2}\) \(\Rightarrow x = {{180^\circ - 40^\circ } \over 2} = 70^\circ \) Câu 2 trang 137 Sách Bài Tập (SBT) Toán lớp 7 tập 1. Cho tam giác ABC có \(\widehat A = 60^\circ ,\widehat C = 50^\circ \). Tia phân giác của góc B cắt AC ở D. Tính \(\widehat {ADB},\widehat {CDB}\). Giải Trong ∆ABC ta có: \(\widehat A + \widehat B + \widehat C = 180^\circ \) (tổng 3 góc trong tam giác) \(\eqalign{ & \Rightarrow \widehat B = 180^\circ - \left( {\widehat A + \widehat C} \right) \cr & \Rightarrow x = 180^\circ - \left( {60^\circ + 50^\circ } \right) = 70^\circ \cr} \) \(\widehat {{B_1}} = \widehat {{B_2}} = {1 \over 2}\widehat B\) (Vì BD là tia phân giác) \( \Rightarrow \widehat {{B_1}} = \widehat {{B_2}} = 70^\circ :2 = 35^\circ \) Trong ∆BDC ta có \(\widehat {A{\rm{D}}B}\) là góc ngoài tại đỉnh D. \( \Rightarrow \widehat {A{\rm{D}}B} = \widehat {{B_1}} + \widehat C\) (tính chất góc ngoài tam giác) \( \Rightarrow \widehat {A{\rm{D}}B} = 35^\circ + 50^\circ = 85^\circ \) \(\widehat {A{\rm{D}}B} + \widehat {B{\rm{D}}C} = 180^\circ \) (hai góc kề bù) \( \Rightarrow \widehat {B{\rm{D}}C} = 180^\circ - \widehat {A{\rm{D}}B} = 180^\circ - 85^\circ = 95^\circ \) Câu 3 trang 137 Sách Bài Tập (SBT) Toán lớp 7 tập 1. Cho tam giác ABC, điểm M nằm trong tam giác đó. Tia BM cắt AC ở K. a) So sánh \(\widehat {AMK}\) và \(\widehat {ABK}\) b) So sánh \(\widehat {AMC}\) và \(\widehat {ABC}\) Giải a) Trong ∆ABC ta có AMK là góc ngoài tại đỉnh M \( \Rightarrow \widehat {AMK} > \widehat {ABK}\) (tính chất góc ngoài tam giác) (1) b) Trong ∆CBM ta có \(\widehat {KMC}\) là góc ngoài tại đỉnh M. \( \Rightarrow \widehat {KMC} > \widehat {MBC}\) (tính chất góc ngoài tam giác) (2) Cộng từng vế (1) và (2) ta có: \(\widehat {AMK} + \widehat {KMC} > \widehat {ABM} + \widehat {MBC}\) Suy ra: \(\widehat {AMC}\widehat { > ABC}\) Câu 4 trang 137 Sách Bài Tập (SBT) Toán lớp 7 tập 1. Hãy chọn giá trị đúng của x trong các kết quả A, B, C, D (Xem hình dưới, trong đó IK // EF) A) 100° B) 70° C) 80° D) 90° Giải Ta có: IK // EF suy ra \(\widehat {IKF} + \widehat F = 180^\circ \) (hai góc trong cùng phía) \(\Rightarrow \widehat F = 180^\circ - \widehat {IKF} = 180^\circ - 140^\circ = 40^\circ \) Trong ∆OEF ta có góc ngoài tại đỉnh E bằng 130° Suy ra: \(\widehat O + \widehat F = 130^\circ \) (tính chất góc ngoài) \( \Rightarrow \widehat O = 130^\circ - \widehat F = 130^\circ - 40^\circ = 90^\circ \) Vậy chọn đáp án D. Câu 5 trang 137 Sách Bài Tập (SBT) Toán lớp 7 tập 1. Cho tam giác nhọn ABC. Kẻ BH vuông góc với AC (H ∈ AC) kẻ CK vuông góc với AB (K ∈ AB). Hãy so sánh \(\widehat {ABH}\) và \(\widehat {ACK}\). Giải Tam giác ABH vuông tại H \( \Rightarrow \widehat {ABH} + \widehat A = 90^\circ \) (tính chất tam giác vuông) \( \Rightarrow \widehat {ABH} = 90^\circ - \widehat A\) (1) Tam giác ACK vuông tại K \( \Rightarrow \widehat {ACK} + \widehat A = 90^\circ \) (tính chất tam giác vuông) \(\widehat {ACK} = 90^\circ - \widehat A\) (2) Từ (1) và (2) suy ra: \(\widehat {ABH = }\widehat {ACK}\) Câu 6 trang 137 Sách Bài Tập (SBT) Toán lớp 7 tập 1. Cho tam giác ABC có \(\widehat B = \widehat C = 50^\circ \). Gọi tia Am là tia phân giác của góc ngoài ở đỉnh A. Hãy chứng tỏ Am // BC Giải Trong ∆ABC, ta có: \(\widehat {CA{\rm{D}}}\) là góc ngoài tại đỉnh A \(\widehat {CAD}{\rm{ = }}\widehat B + \widehat C = 50^\circ + 50^\circ = 100^\circ \) (tính chất góc ngoài của tam giác) \(\widehat {{A_1}} = \widehat {{A_2}} = {1 \over 2}\widehat {CA{\rm{D}}} = 50^\circ \) (Vì tia Am là tia phân giác của \(\widehat {CA{\rm{D}}}\)) Suy ra: \(\widehat {{A_1}} = \widehat C = 50^\circ \) \( \Rightarrow \) Am // BC (Vì có cặp góc ở vị trí so le trong bằng nhau) Câu 7 trang 137 Sách Bài Tập (SBT) Toán lớp 7 tập 1. a) Một góc nhọn của Êke bằng 30°. Tính góc nhọn còn lại. b) Một góc nhọn của Êke bằng 45°. Tính góc nhọn còn lại. Giải Vì Êke là một tam giác vuông nên: a) Nếu một góc nhọn của Êke bằng 30° thì góc còn lại bằng: $$90^\circ - 30^\circ = 60^\circ $$ b) Nếu một góc nhọn êke bằng 45° thì góc nhọn còn lại bằng: $$90° - 45° = 45°$$ Câu 8 trang 138 Sách Bài Tập (SBT) Toán lớp 7 tập 1. Cho tam giác ABC có \(\widehat A = 100^\circ ,\widehat B - \widehat C = 20^\circ \). Tính \(\widehat B\) và \(\widehat C\). Giải Trong ∆ABC, ta có: \(\widehat A + \widehat B + \widehat C = 180^\circ \) (tổng ba góc trong tam giác) Suy ra: \(\widehat B + \widehat C = 180^\circ - 100^\circ = 80^\circ \) (1) \(\widehat B - \widehat C = 20^\circ \left( {gt} \right)\) (2) Từ (1) và (2) suy ra: \(2\widehat B = 100^\circ \Rightarrow \widehat B = 50^\circ \) Vậy \(\widehat C = 80^\circ - 50^\circ = 30^\circ \) Câu 9 trang 138 Sách Bài Tập (SBT) Toán lớp 7 tập 1. Cho tam giác ABC vuông tại A. Kẻ AH vuông góc với BC (H ∈ BC). Tìm góc bằng góc B. Giải Có thể tìm góc B bằng hai cách: *Cách 1 Ta có \(\widehat {{A_1}} + \widehat {{A_2}} = \widehat {BAC} = 90^\circ \) (1) Vì ∆AHB vuông tại H nên: \(\widehat B + \widehat A = 90^\circ \) (tính chất tam giác vuông) (2) Từ (1) và (2) suy ra: \(\widehat B = \widehat {{A_2}}\) *Cách 2 Vì ∆ABC vuông tại A nên: \(\widehat B + \widehat C = 90^\circ \) (tính chất tam giác vuông) (1) Vì ∆AHC vuông tại H nên \(\widehat {{A_2}} + \widehat C = 90^\circ \) (tính chất tam giác vuông) (2) Từ (1) và (2) suy ra: \(\widehat B = \widehat {{A_2}}\). Câu 10 trang 138 Sách Bài Tập (SBT) Toán lớp 7 tập 1. Cho hình dưới: a) Có bao nhiêu tam giác vuông trong hình? b) Tính số đo các góc nhọn ở các đỉnh C, D, E. Giải a) Có năm tam giác vuông trong hình: ∆ABC vuông tại B ∆CBD vuông tại B ∆EDA vuông tại D ∆DCAvuông tại C ∆DCEvuông tại C b) ∆ABC vuông tại B, suy ra: \(\widehat A + \widehat {ACB} = 90^\circ \) (tính chất tam giác vuông) \(\eqalign{ & \Rightarrow \widehat {ACB} = 90^\circ - \widehat A = 90^\circ - 40^\circ = 50^\circ \cr & \widehat {ACB} + \widehat {BC{\rm{D}}} = \widehat {AC{\rm{D}}} = 90^\circ \cr & \Rightarrow \widehat {BC{\rm{D}}} = 90^\circ - \widehat {ACB} = 90^\circ - 50^\circ = 40^\circ \cr} \) ∆ACD vuông tại C, suy ra: \(\widehat A + \widehat {C{\rm{D}}A} = 90^\circ \) (tính chất tam giác vuông) \(\eqalign{ & \Rightarrow \widehat {C{\rm{D}}A} = 90^\circ - \widehat A = 90^\circ - 40^\circ = 50^\circ \cr & \widehat {C{\rm{D}}A} + \widehat {C{\rm{D}}E} = \widehat {A{\rm{D}}E} = 90^\circ \cr & \Rightarrow \widehat {C{\rm{D}}E} = 90^\circ - \widehat {C{\rm{D}}A} = 90^\circ - 50^\circ = 40^\circ \cr} \) ∆DEA vuông tại D, suy ra: \(\widehat A + \widehat E = 90^\circ \) (tính chất tam giác vuông) \( \Rightarrow \widehat E = 90^\circ - \widehat A = 90^\circ - 40^\circ = 50^\circ \) Câu 11 trang 138 Sách Bài Tập (SBT) Toán lớp 7 tập 1. Cho tam giác ABC có \(\widehat B = 70^\circ ,\widehat C = 30^\circ \). Tia phân giác của góc A cắt BC tại D. Kẻ AH vuông góc với BC (H ∈ BC). a) Tính \(\widehat {BAC}\) b) Tính \(\widehat {A{\rm{D}}H}\) c) Tính \(\widehat {HA{\rm{D}}}\) Giải a) Trong ∆ABC, ta có: \(\widehat {BAC} + \widehat B + \widehat C = 180^\circ \) (tổng ba góc trong tam giác) Mà \(\widehat B = 70^\circ ;\widehat C = 30^\circ \left( {gt} \right)\) Suy ra: \(\widehat {BAC} + 70^\circ + 30^\circ = 180^\circ \) Vậy \(\widehat {BAC} = 180^\circ - 70^\circ - 30^\circ = 80^\circ \) b) Ta có: \(\widehat {{A_1}} = {1 \over 2}\widehat {BAC} = {1 \over 2}.80^\circ = 40^\circ \) (Vì AD là tia phân giác của \(\widehat {BAC}\)) Trong ∆ADC ta có \(\widehat {A{\rm{D}}H}\) là góc ngoài tại đỉnh D. Do đó: \(\widehat {A{\rm{D}}H} = \widehat {{A_1}} + \widehat C\) (tính chất góc ngoài của tam giác) Vậy \(\widehat {A{\rm{D}}H} = 40^\circ + 30^\circ = 70^\circ \) c) ∆ADH vuông tại H nên: \(\widehat {HA{\rm{D}}} + \widehat {A{\rm{D}}H} = 90^\circ \) (tính chất tam giác vuông) \( \Rightarrow \widehat {HA{\rm{D}}} = 90^\circ - \widehat {A{\rm{D}}H} = 90^\circ - 70^\circ = 20^\circ \) Câu 12 trang 138 Sách Bài Tập (SBT) Toán lớp 7 tập 1. Cho tam giác ABC. Các tia phân giác của các góc B và C cắt nhau ở I. Tính \(\widehat {BIC}\) biết rằng: a) \({\rm{}}\widehat B = 80^\circ ,\widehat C = 40^\circ \) b) \(\widehat A = 80^\circ \) c) \(\widehat A = m^\circ \) Giải a) Ta có \(\widehat {{B_1}} = {1 \over 2}\widehat {ABC} = {1 \over 2}.80^\circ = 40^\circ \) (vì BD là tia phân giác của \(\widehat {ABC}\)) \(\widehat {{C_1}} = {1 \over 2}\widehat {ACB} = {1 \over 2}.40^\circ = 20^\circ \) (vì CE là tia phân giác của \(\widehat {ACB}\)) Trong ∆IBC, ta có: \(\widehat {BIC} + \widehat {{B_1}} + \widehat {{C_1}} = 180^\circ \) (tổng 3 góc trong tam giác) \(\widehat {BIC} = 180^\circ - \left( {\widehat {\widehat {{B_1}} + {C_1}}} \right) = 180^\circ - \left( {40^\circ + 20^\circ } \right) = 120^\circ \) b) Ta có: \(\widehat {{B_1}} = {1 \over 2}\widehat B\) (vì BD là tia phân giác \(\widehat B\)) \(\widehat {{C_1}} = {1 \over 2}\widehat C\) (vì CE là tia phân giác \(\widehat C\)) Trong ∆ABC, ta có: \(\widehat A + \widehat B + \widehat C = 180^\circ \) (tổng ba góc trong tam giác) Suy ra \(\widehat B + \widehat C = 180^\circ - \widehat A = 180^\circ - 80^\circ = 100^\circ \) Trong ∆IBC, ta có: \(\widehat {BIC} + \widehat {{B_1}} + \widehat {{C_1}} = 180^\circ \) Vậy \(\widehat {BIC} = 180^\circ - \left( {\widehat {{B_1}} + \widehat {{C_1}}} \right) = 180^\circ - {{\widehat B + \widehat C} \over 2} = 180^\circ - {{100^\circ } \over 2} = 130^\circ \) c) Ta có: \(\widehat B + \widehat C = 180 - m^\circ \) Vậy \(\widehat {BIC} = 180^\circ - {{180^\circ - m^\circ } \over 2} = 180^\circ - 90^\circ + {{m^\circ } \over 2} = 90^\circ + {{m^\circ } \over 2}\) Câu 13 trang 138 Sách Bài Tập (SBT) Toán lớp 7 tập 1. Trên hình bên có Ax song song với By, \(\widehat {{\rm{CAx}}} = 50^\circ ,\widehat {CBy} = 40^\circ \). Tính \(\widehat {ACB}\) bằng cách xem nó là góc ngoài của một tam giác. Giải Kéo dài AC cắt By tại D. Vì \(By{\rm{ }}//{\rm{ }}Ax{\rm{ }} = > \widehat {{D_1}} = \widehat A\) (2 góc so le trong) Mà \(\widehat A = 50^\circ \left( {gt} \right)\) nên \(\widehat {{D_1}} = 50^\circ \) Trong ∆DBC ta có \(\widehat {ACB}\) là góc ngoài tại đỉnh C \( \Rightarrow \widehat {A{\rm{D}}C} = \widehat B + \widehat {{D_1}}\) (tính chất góc ngoài của tam giác) \( \Rightarrow \widehat {A{\rm{D}}C} = 40^\circ + 50^\circ = 90^\circ \) Câu 14 trang 138 Sách Bài Tập (SBT) Toán lớp 7 tập 1. Chứng minh rằng tổng ba góc ngoài ở ba đỉnh của một tam giác thì bằng 360°. Giải Ta có: \(\widehat {{A_1}} + \widehat {{A_2}} = 180^\circ \) (hai góc kề bù) \(\widehat {{B_1}} + \widehat {{B_2}} = 180^\circ \) (hai góc kề bù) \(\widehat {{C_1}} + \widehat {{C_2}} = 180^\circ \) (hai góc kề bù) Suy ra: \(\widehat {{A_1}} + \widehat {{A_2}} + \widehat {{B_1}} + \widehat {{B_2}} + \widehat {{C_1}} + \widehat {{C_2}} = 180^\circ .3 = 540^\circ \) \( \Rightarrow \widehat {{A_2}} + \widehat {{B_2}} + \widehat {{C_2}} = 540^\circ - \left( {\widehat {{A_1}} + \widehat {{B_1}} + \widehat {{C_1}}} \right)\left( 1 \right)\) Trong ∆ABC ta có: \(\widehat {{A_1}} + \widehat {{B_1}} + \widehat {{C_1}} = 180^\circ \) (tổng ba góc trong tam giác) (2) Từ (1) và (2) suy ra: $$\widehat {{A_2}} + \widehat {{B_2}} + \widehat {{C_2}} = 540^\circ - 180^\circ = 360^\circ $$ Câu 15 trang 138 Sách Bài Tập (SBT) Toán lớp 7 tập 1. Cho tam giác ABC có \(\widehat A = 90^\circ \). Gọi E là một điểm nằm trong tam giác đó. Chứng minh rằng góc BEC là góc tù. Giải Kéo dài AE cắt BC tại D. Trong ∆ABE ta có \(\widehat {{E_1}}\) là góc ngoài tại đỉnh E Suy ra: \(\widehat {{E_1}} > \widehat {{A_1}}\) (tính chất góc ngoài của tam giác) (1) Trong ∆AEC ta có \(\widehat {{E_2}}\) là góc ngoài tại đỉnh E Suy ra: \(\widehat {{E_2}} > \widehat {{A_2}}\) (tính chất góc ngoài của tam giác) (2) Cộng từng vế (1) và (2) ra có: \(\widehat {{E_1}} + \widehat {{E_2}} > \widehat {{A_1}} + \widehat {{A_2}}\) Hay \(\widehat {BEC} > \widehat {BAC} = 90^\circ \) Vậy \(\widehat {BEC}\) là góc tù Câu 16 trang 139 Sách Bài Tập (SBT) Toán lớp 7 tập 1. Cho tam giác ABC có \(\widehat A = 90^\circ \), kẻ AH vuông góc với BC (H ∈ BC). Các tia phân giác của các góc \(\widehat C\) và \(\widehat {BAH}\) cắt nhau ở I. Chứng minh rằng: \(\widehat {AIC} = 90^\circ \) Giải Ta có: \(AH \bot BC\left( {gt} \right) \Rightarrow \Delta AHB\) vuông tại H Trong tam giác vuông AHB ta có: \(\widehat {AHB} = 90^\circ \) \( \Rightarrow \widehat B + \widehat {BAH} = 90^\circ \left( 1 \right)\) Trong tam giác vuông ABC, ta có: \(\widehat {BAC} = 90^\circ \) \( \Rightarrow \widehat B + \widehat C = 90^\circ \left( 2 \right)\) Từ (1) và (2) suy ra: \(\widehat {BAH} = \widehat C\) \(\eqalign{ & \widehat {{A_1}} = \widehat {{A_2}} = {1 \over 2}\widehat {BAH}\left( {gt} \right) \cr & \widehat {{C_1}} = \widehat {{C_2}} = {1 \over 2}\widehat C\left( {gt} \right) \cr} \) Suy ra: \(\widehat {{A_1}} = \widehat {{A_2}} = \widehat {{C_1}} = \widehat {{C_2}}\) \(\widehat {{A_1}} + \widehat {IAC} = \widehat {BAC} = 90^\circ \) Suy ra: \(\widehat {{C_1}} + \widehat {IAC} = 90^\circ \) Trong ∆ AIC ta có: \(\widehat {IAC} + \widehat {{C_1}} = 90^\circ \) Vậy \(\widehat {AIC} = 90^\circ \) Câu 17 trang 139 Sách Bài Tập (SBT) Toán lớp 7 tập 1. Chứng minh rằng nếu một đường thẳng cắt hai đường thẳng song song thì hai tia phân giác của cặp góc trong cùng phía vuông góc với nhau. Giải Giả sử đường thẳng AB // CD cắt đường thẳng EF tại E và F Ta có: \(\widehat {BEF} + \widehat {EFD} = 180^\circ \) (hai góc trong cùng phía) \(\eqalign{ & \widehat {{E_1}} = {1 \over 2}\widehat {{\rm{BEF}}}\left( {gt} \right) \cr & \widehat {{F_1}} = {1 \over 2}\widehat {EFD}\left( {gt} \right) \cr} \) \( \Rightarrow \widehat {{E_1}} + \widehat {{F_1}} = {1 \over 2}\left( {\widehat {{\rm{BEF}}} + \widehat {EFD}} \right) = 90^\circ \) Trong ∆EKF, ta có: \(\widehat {EKF} = 180^\circ - \left( {\widehat {{E_1} + \widehat {{F_1}}}} \right) = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ \) Vậy \(EK \bot FK\). Câu 18 trang 139 Sách Bài Tập (SBT) Toán lớp 7 tập 1. Cho tam giác ABC có \(\widehat B - \widehat C = 20^\circ \). Tia phân giác của góc A cắt BC ở D. Tính số đo các góc \(\widehat {A{\rm{D}}C},\widehat {A{\rm{D}}B}\). Giải Trong ∆ABD ta có \(\widehat {{D_1}}\) là góc ngoài tại đỉnh D. \(\widehat {{D_1}} = \widehat B + \widehat {{A_1}}\) (tính chất góc ngoài của tam giác) Trong ∆ADC ta có \(\widehat {{D_2}}\) là góc ngoài tại đỉnh D \(\widehat {{D_2}} = \widehat C + \widehat {{A_2}}\) (tínhchất góc ngoài của tam giác) Ta có: \(\widehat B > \widehat C\left( {gt} \right);\widehat {{A_1}} = \widehat {{A_2}}\left( {gt} \right)\) \( \Rightarrow \widehat {{D_1}} - \widehat {{D_2}} = \left( {\widehat B + \widehat {{A_1}}} \right) - \left( {\widehat C + \widehat {{A_2}}} \right)\) \( = \widehat B - \widehat C = 20^\circ \) \(\widehat {{D_1}} + \widehat {{D_2}} = 180^\circ \) (hai góc kề bù) \(\eqalign{ & \Rightarrow \widehat {{D_1}} = \left( {180^\circ + 20^\circ } \right):2 = 100^\circ \cr & \Rightarrow \widehat {{D_2}} = 100^\circ - 20^\circ = 80^\circ \cr} \) Vậy \(\widehat {A{\rm{D}}C} = 100^\circ ;\widehat {A{\rm{D}}B} = 80^\circ \)
