Câu 49 trang 144 Sách Bài Tập (SBT) Toán lớp 7 tập 1. Vẽ tam giác ABC biết \(\widehat B = 90^\circ ,BC = 2cm,\widehat C = 60^\circ \). Sau đó đo AC để kiểm tra rằng AC = 4cm. Giải AC = 4cm. Câu 50 trang 144 Sách Bài Tập (SBT) Toán lớp 7 tập 1. Tìm các tam giác bằng nhau ở hình dưới (không xét tam giác mà các cạnh chưa được kẻ) Giải Ta có: ∆ABD = ∆ CBD (g.c.g) ∆GIF = ∆HIE (g.c.g) Câu 51 trang 144 Sách Bài Tập (SBT) Toán lớp 7 tập 1. Cho tam giác ADE có \(\widehat D = \widehat E\). Tia phân giác của góc D cắt AE ở điểm M. Tia phân giác của góc E cắt AD ở điểm N. So sánh các độ dài DN và EM. Giải Tam giác ADE có: \(\widehat D = \widehat E\) (gt) \(\widehat {{D_1}} = \widehat {{D_2}} = {1 \over 2}\widehat D\) (Vì DM là tia phân giác) \(\widehat {{E_1}} = \widehat {{E_2}} = {1 \over 2}\widehat E\) (Vì EN là tia phân giác) Suy ra: \(\widehat {{D_1}} = \widehat {{D_2}} = \widehat {{E_1}} = \widehat {{E_2}}\) Xét ∆DNE = ∆EMD, ta có: \(\widehat {N{\rm{D}}E} = \widehat {ME{\rm{D}}}\left( {gt} \right)\) DE cạnh chung \(\widehat {{D_2}} = \widehat {{E_2}}\) (chứng minh trên) Suy ra: ∆DNE = ∆EMD (g.c.g) Vậy DE = EM (2 cạnh tương ứng). Câu 52 trang 144 Sách Bài Tập (SBT) Toán lớp 7 tập 1. Cho hình bên, trong đó AB // HK, AH // BK. Chứng minh rằng AB = HK, AH = BK. Giải Nối AK. Ta có: AB // HK (gt) \( \Rightarrow \widehat {{A_1}} = \widehat {{K_1}}\) (hai góc so le trong) AH // BK (gt) \( \Rightarrow \widehat {{A_2}} = \widehat {{K_2}}\) (hai góc so le trong) Xét ∆ABK và ∆KHA, ta có: \(\widehat {{A_1}} = \widehat {{K_1}}\) (chứng minh trên) AK cạnh chung \(\widehat {{A_2}} = \widehat {{K_2}}\) (chứng minh trên) Suy ra: ∆ABK = ∆KHA (g.c.g) Vậy AB = KH, BK = AH (2 cạnh tương ứng) Câu 53 trang 144 Sách Bài Tập (SBT) Toán lớp 7 tập 1. Cho tam giác ABC. Các tia phân giác của các góc B và C cắt nhau ở O. Kẻ \({\rm{OD}} \bot AC\), kẻ \({\rm{O}}E \bot AB\). Chứng minh rằng OD = OE. Giải Kẻ \(OH \bot BC\) Xét hai tam giác vuông OEB và OHB, ta có: \(\widehat {OEB} = \widehat {OHB} = 90^\circ \) Cạnh huyền OB chung \(\widehat {EBO} = \widehat {HBO}\) (gt) Suy ra: ∆OEB = ∆OHB (cạnh huyền, góc nhọn) \( \Rightarrow \) OE = OH (hai cạnh tương ứng) (1) Xét hai tam giác vuông OHC và ODC, ta có: \(\widehat {OHC} = \widehat {O{\rm{D}}C} = 90^\circ \) Cạnh huyền OC chung \(\widehat {HCO} = \widehat {DCO}\left( {gt} \right)\) Suy ra: ∆OHC = ∆ODC (cạnh huyền, góc nhọn) \( \Rightarrow \) OH = OD (hai cạnh tương ứng) (2) Từ (1) và (2) suy ra: OE = OD. Câu 54 trang 144 Sách Bài Tập (SBT) Toán lớp 7 tập 1. Cho tam giác ABC có AB = AC. Lấy điểm D trên cạnh AB, điểm E trên cạnh AC sao cho AD = AE. a) Chứng minh rằng BE = CD. b) Gọi O là giao điểm của BE và CD. Chứng minh rằng ∆BOD = ∆COE Giải a) Xét ∆BEA và ∆CDA, ta có: BA = CA (gt) \(\widehat A\) chung AE = AD (gt) Suy ra: ∆BEA = ∆CDA (c.g.c) Vậy BE = CD (hai cạnh tương ứng) b) ∆BEA = ∆CDA (chứng minh trên) \(\Rightarrow \widehat {{B_1}} = \widehat {{C_1}};\widehat {{E_1}} = \widehat {{D_1}}\) (hai góc tương ứng) \(\widehat {{E_1}} + \widehat {{E_2}} = 180^\circ \) (hai góc kề bù) \(\widehat {{D_1}} + \widehat {{D_2}} = 180^\circ \) (hai góc kề bù) Suy ra: \(\widehat {{E_2}} = \widehat {{D_2}}\) AB = AC (gt) \( \Rightarrow \) AE + EC = AD + DB mà AE = AD (gt) => EC = DB Xét ∆ODB và ∆OCE, ta có: \(\widehat {{D_2}} = \widehat {{E_2}}\) (chứng minh trên) DB = EC (chứng minh trên) \(\widehat {{B_1}} = \widehat {{C_1}}\) (chứng minh trên) Suy ra: ∆ODB = ∆OEC (g.c.g) Câu 55 trang 145 Sách Bài Tập (SBT) Toán lớp 7 tập 1. Cho tam giác ABC có \(\widehat B = \widehat C\). Tia phân giác góc A cắt BC tại D. Chứng minh rằng DB = DC, AB = AC. Giải Trong ∆ADB, ta có: \(\widehat B + \widehat {{A_1}} + \widehat {{D_1}} = 180^\circ \) (tổng ba góc trong tam giác) Suy ra: \(\widehat {{D_1}} = 180^\circ - \left( {\widehat B + \widehat {{A_1}}} \right)\) (1) Trong ∆ADC, ta có: \(\widehat C + \widehat {{D_2}} + \widehat {{A_2}} = 180^\circ \) (tổng ba góc trong tam giác) Suy ra: \(\widehat {{D_2}} = 180^\circ - \left( {\widehat C + \widehat {{A_2}}} \right)\) (2) \(\widehat B = \widehat C\left( {gt} \right)\) \(\widehat {{A_1}} = \widehat {{A_2}}\left( {gt} \right)\) \(\widehat B = \widehat C\left( {gt} \right)\) Từ (1), (2) và (gt) suy ra: \(\widehat {{D_1}} = \widehat {{D_2}}\) Xét ∆ADB và ∆ADC, ta có: \(\widehat {{A_1}} = \widehat {{A_2}}\) AD cạnh chung \(\widehat {{D_1}} = \widehat {{D_2}}\) (chứng minh trên) Suy ra: ∆ADB = ∆ADC(g.c.g) Vậy: AB = AC (2 cạnh tương ứng) DB = DC (2 cạnh tương ứng) Câu 56 trang 145 Sách Bài Tập (SBT) Toán lớp 7 tập 1. Cho hình dưới, chứng minh rằng O là trung điểm của mỗi đoạn thẳng AD, BC Giải Hai đường thẳng AB và CD tạo với BD có hai góc trong cùng phía bù nhau \(120^\circ + 60^\circ = 180^\circ \) Suy ra AB // CD Ta có: \(\widehat A = \widehat {{D_1}}\) (hai góc trong so le) \(\widehat {{B_1}} = \widehat C\) (hai góc trong so le) AB = CD (gt) Suy ra: ∆AOB = ∆DOC (g.c.g) Suy ra: OA = OD; OB = OC (hai cạnh tương ứng) Vậy O là trung điểm của mỗi đoạn thẳng AD và BC. Câu 57 trang 145 Sách Bài Tập (SBT) Toán lớp 7 tập 1. Cho hình dưới trong đó DE // AB, DF // AC, EF // BC. Tính chu vi tam giác DFE. Giải Xét ∆ABC và ∆ ABF, ta có: \(\widehat {ABC} = \widehat {{\rm{BAF}}}\) (so le trong) AB cạnh chung \(\widehat {BAC} = \widehat {ABF}\) (so le trong) Suy ra: ∆ABC = ∆ ABF (g.c.g) Suy ra: AF = BC = 4 (2 cạnh tương ứng) BF = AC = 3 (2 cạnh tương ứng) Xét ∆ABC và ∆ACE, ta có: \(\widehat {ACB} = \widehat {CA{\rm{E}}}\) (so le trong) AC cạnh chung \(\widehat {BAC} = \widehat {EC{\rm{A}}}\) (so le trong) Suy ra: ∆ABC = ∆CEA (g.c.g) Suy ra: AE = BC = 4 (2 cạnh tương ứng) CE = AB = 2 (2 cạnh tương ứng) Xét ∆ABC và ∆DCB, ta có: \(\widehat {ACB} = \widehat {DBC}\) (so le trong) BC cạnh chung \(\widehat {ABC} = \widehat {DCB}\) (so le trong) Suy ra: ∆ABC = ∆DCB (g.c.g) Suy ra: DC = AB = 2 (2 cạnh tương ứng) DB = AC = 3 (2 cạnh tương ứng) Ta có: EF = AE + AF = 4 + 4 = 8 DF = DB + BF = 3 + 3 = 6 DE = DC + CE = 2 + 2 = 4 Vậy chu vi ∆DEF là: DE + DF + EF = 4 + 6 + 8 = 18 (đơn vị độ dài) Câu 58 trang 145 Sách Bài Tập (SBT) Toán lớp 7 tập 1. Cho đoạn thẳng AB. Qua A vẽ đường thẳng m vuông góc với AB. Qua B vẽ đường thẳng n vuông góc với AB. Qua trung điểm O của AB vẽ một đường thẳng cắt m ở C và cắt n ở D. So sánh các độ dài OC và OD. Giải Xét ∆AOC = ∆BOD, ta có: \(\widehat {CAO} = \widehat {DBO} = 90^\circ \) (gt) OA = OB (gt) \(\widehat {AOC} = \widehat {BO{\rm{D}}}\) (đối đỉnh) Suy ra: ∆AOC = ∆BOD (g.c.g) Vậy OC = OD (2 cạnh tương ứng) Câu 59 trang 145 Sách Bài Tập (SBT) Toán lớp 7 tập 1. Cho tam giác ABC có AB = 2,5cm, AC = 3cm, BC = 3,5cm. Qua A vẽ đường thẳng song song với BC, qua C vẽ đường thẳng song song với AB, chúng cắt nhau ở D. Tính chu vi tam giác ACD. Giải Ta có: AB // CD (gt) Suy ra: \(\widehat {AC{\rm{D}}} = \widehat {CAB}\) (2 góc so le trong) BC // AD (gt) Suy ra: \(\widehat {{\rm{CAD}}} = \widehat {ACB}\) (2 góc so le trong) Xét ∆ABC = ∆CDA, ta có: \(\widehat {AC{\rm{D}}} = \widehat {CAB}\) (chứng minh trên) AC cạnh chung \(\widehat {CA{\rm{D}}} = \widehat {ACB}\) (chứng minh trên) Suy ra: ∆ABC = ∆CDA (g.c.g) Suy ra: CD = AB = 2,5(cm) và AD = BC = 3,5 (cm) Chu vi ∆ACD là: AC + AD + CD = 3 + 3,5 + 2,5 = 9 (cm) Câu 60 trang 145 Sách Bài Tập (SBT) Toán lớp 7 tập 1. Cho tam giác ABC vuông tại A. Tia phân giác của góc B cắt AC ở D. Kẻ DE vuông góc với BC. Chứng minh rằng AB = BE. Giải Xét hai tam giác vuông ABD và EBD, ta có: \(\widehat {BA{\rm{D}}} = \widehat {BE{\rm{D}}} = 90^\circ \) Cạnh huyền BD chung \(\widehat {AB{\rm{D}}} = \widehat {EB{\rm{D}}}\left( {gt} \right)\) Suy ra: ∆ABD = ∆EBD (cạnh huyền góc nhọn) Vậy BA = BE (hai cạnh tương ứng) Câu 61 trang 145 Sách Bài Tập (SBT) Toán lớp 7 tập 1. Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = AC. Qua A kẻ đường thẳng xy (B, C nằm cùng phía đối với xy). Kẻ BD và CE vuông góc với xy. Chứng minh rằng: a) ∆BAD = ∆ACE b) DE = BD + CE Giải a) Ta có: \(\widehat {BA{\rm{D}}} + \widehat {BAC} + \widehat {CA{\rm{E}}} = 180^\circ \) (kề bù) Mà \(\widehat {BAC} = 90^\circ \left( {gt} \right) \Rightarrow \widehat {BA{\rm{D}}} + \widehat {CA{\rm{E}}} = 90^\circ \) (1) Trong ∆AEC, ta có: \(\widehat {A{\rm{E}}C} = 90^\circ \Rightarrow \widehat {CA{\rm{E}}} + \widehat {AC{\rm{E}}}{\rm{ = 90}}^\circ \) (2) Từ (1) và (2) suy ra: \(\widehat {BA{\rm{D}}} = \widehat {AC{\rm{E}}}\) Xét hai tam giác vuông AEC và BDA, ta có: \(\widehat {A{\rm{E}}C} = \widehat {B{\rm{D}}A} = 90^\circ \) AC = AB (gt) \(\widehat {AC{\rm{E}}} = \widehat {BA{\rm{D}}}\) (chứng minh trên) Suy ra: ∆AEC = ∆BDA (cạnh huyền, góc nhọn) b) Ta có: ∆AEC = ∆BDA => AE = BD và EC = DA Mà DE = DA + AE Vậy: DE = CE + BD Câu 62 trang 145 Sách Bài Tập (SBT) Toán lớp 7 tập 1. Cho tam giác ABC. Vẽ ở phía ngoài tam giác ABC các tam giác vuông tại A là ABD, ACE có AB = AD, AC = AE. Kẻ AH vuông góc với BC, DM vuông góc với AH, EN vuông góc với AH. Chứng minh rằng: a) DM = AH b) MN đi qua trung điểm của DE Giải a) Ta có \(\widehat {BAH} + \widehat {BA{\rm{D}}} + \widehat {DAM} = 180^\circ \) (kề bù) Mà \(\widehat {BA{\rm{D}}} = 90^\circ \Rightarrow \widehat {BAH} + \widehat {DAM} = 90^\circ \) (1) Trong tam giác vuông AMD, ta có: \(\widehat {AM{\rm{D }}} = 90^\circ \Rightarrow \widehat {DAM} + \widehat {A{\rm{D}}M} = 90^\circ \left( 2 \right)\) Từ (1) và (2) suy ra: \(\widehat {BAH} = \widehat {A{\rm{D}}M}\) Xét hai tam giác vuông AMD và BHA, ta có: \(\widehat {AM{\rm{D}}} = \widehat {BAH} = 90^\circ \) AB = AD (gt) \(\widehat {BAH} = \widehat {A{\rm{D}}M}\) (chứng minh trên) Suy ra: ∆AMD = ∆BHA (cạnh huyền, góc nhọn) Vậy: AH = DM (2 cạnh tương ứng) (3) b) Ta có: \(\widehat {HAC} + \widehat {CA{\rm{E}}} + \widehat {E{\rm{A}}N} = 180^\circ \) (kề bù) Mà \(\widehat {CA{\rm{E}}} = 90^\circ \left( {gt} \right) \Rightarrow \widehat {HAC} + \widehat {E{\rm{A}}N} = 90^\circ \) (4) Trong tam giác vuông AHC, ta có: \(\widehat {AHC} = 90^\circ \Rightarrow \widehat {HAC} + \widehat {HCA} = 90^\circ \left( 5 \right)\) Từ (4) và (5) suy ra: \(\widehat {HCA} = \widehat {E{\rm{A}}N}\) Xét hai tam giác vuông AHC và ENA, ta có: \(\widehat {AHC} = \widehat {E{\rm{N}}A} = 90^\circ \) AC = AE (gt) \(\widehat {HCA} = \widehat {E{\rm{A}}N}\) (chứng minh trên) Suy ra: ∆AHC = ∆ENA (cạnh huyền, góc nhọn) Vậy AH = EN (2 cạnh tương ứng) Từ (3) và (6) suy ra : DM = EN Vì \(DM \bot AH\) và \(EN \bot AH\) nên DM // EN (2 đường thẳng cùng vuông góc đường thẳng thứ 3) Gọi O là giao điểm MN và DE Xét hai tam giác vuông DMO và ENO, ta có: \(\widehat {DMO} = \widehat {EN{\rm{O}}} = 90^\circ \) DM = EN (chứng minh trên) \(\widehat {M{\rm{D}}O} = \widehat {NEO}\) (so le trong) Suy ra: ∆DMO = ∆ENO (g.c.g) => OD = DE Vậy MN đi qua trung điểm của DE. Câu 63 trang 146 Sách Bài Tập (SBT) Toán lớp 7 tập 1. Cho tam giác ABC, D là trung điểm của AB. Đường thẳng qua D và song song với BC cắt AC ở E, đường thẳng qua E và song song với AB cắt BC ở F. Chứng minh rằng: a) AD = EF b) ∆ADE =∆EFC c) AE = EC Giải a) Xét ∆DBF và ∆FDE, ta có ; \(\widehat {B{\rm{D}}F} = \widehat {DF{\rm{E}}}\) (so le trong vì EF // AB) DF cạnh chung \(\widehat {DFB} = \widehat {F{\rm{D}}E}\) (so le trong vì DE // BC) Suy ra: ∆DBF = ∆FED(g.c.g) =>DB = EF (2 cạnh tương ứng) Mà AD = DB (gt) Vậy: AD = EF b) Ta có: DE // BC (gt) \( \Rightarrow \widehat {{D_1}} = \widehat B\) (đồng vị) EF // AB (gt) \( \Rightarrow \widehat {{F_1}} = \widehat B\) (đồng vị) \(\widehat {{E_1}} = \widehat A\) (đồng vị) Xét ∆ADE và ∆ EFC, ta có: \(\widehat A = \widehat {{E_1}}\) (chứng minh trên) AD = EF (chứng minh trên) \(\widehat {{D_1}} = \widehat {{F_1}}\) (vì cùng bằng \(\widehat B\)) Suy ra: ∆ADE = ∆ EFC (g.c.g) c) Vì ∆ADE = ∆ EFC (chứng minh trên) Nên AE = EC (hai cạnh tương ứng) Câu 64 trang 146 Sách Bài Tập (SBT) Toán lớp 7 tập 1. Cho tam giác ABC, D là trung điểm của AB, E là trung điểm của AC. Vẽ điểm F sao cho E là trung điểm của DF. Chứng minh rằng: a) DB = CF b) ∆BDC = ∆FCD c) DE// BC và \(DE = {1 \over 2}BC\) Giải a) Xét ∆ADE và ∆CFE, ta có: AE = CE (gt) \(\widehat {A{\rm{ED}}} = \widehat {{\rm{CEF}}}\) (đối đỉnh) DE = FE(gt) Suy ra: ∆ADE = ∆CFE (c.g.c) \( \Rightarrow \) AD = CF (hai cạnh tương ứng) Mà AD = DB (gt) Vậy: DB = CF b) Ta có: ∆ADE = ∆CFE (chứng minh trên) \( \Rightarrow \widehat {A{\rm{D}}E} = \widehat {CF{\rm{E}}}\) (2 góc tương ứng) \( \Rightarrow \) AD // CF (vì có cặp góc so le trong bằng nhau) Hay AB // CF Xét ∆DBC = ∆CDF, ta có: BD = CF (chứng minh trên) \(\widehat {B{\rm{D}}C} = \widehat {FC{\rm{D}}}\) (hai góc so le trong vì CF // AB) DC cạnh chung Suy ra: ∆BDC = ∆FCD(c. g. c) c) Ta có: ∆BDC = ∆FCD (chứng minh trên) Suy ra: \(\widehat {{C_1}} = \widehat {{D_1}}\) (hai góc tương ứng) Suy ra: DE // BC (vì có hai góc so le trong bằng nhau) BDC = ∆FCD=> BC = DF (hai cạnh tương ứng) Mà \({\rm{D}}E = {1 \over 2}DF\left( {gt} \right)\). Vậy \({\rm{D}}E = {1 \over 2}BC\) Câu 65 trang 146 Sách Bài Tập (SBT) Toán lớp 7 tập 1. Cho tam giác ABC. Trên cạnh AB lấy các điểm D và E sao cho AD = BE. Qua D và E, vẽ các đường thẳng song song với BC, chúng cắt AC theo thứ tự ở M và N. Chứng minh rằng DM + EN = BC. Hướng dẫn: Qua N, kẻ đường thẳng song song với AB. Giải Từ N kẻ đường thẳng song song với AB cắt BC tại K. Nối EK. Xét ∆BEK và ∆NKE, ta có: \(\widehat {EKB} = \widehat {KEN}\) (so le trong vì EN // BC) EK cạnh chung \(\widehat {BEK} = \widehat {NKE}\) (so le trong vì NK // AB) Suy ra: ∆BEK = ∆NKE (g.c.g) Suy ra: BE = NK (hai cạnh tương ứng) EN = BK (hai cạnh tương ứng) Xét ∆ADM và ∆NKC, ta có: \(\widehat A = \widehat {KNC}\) (đồng vị vì NK // AB) AD = NK (vì cùng bằng BE) \(\widehat {A{\rm{D}}M} = \widehat {NKC}\) (vì cùng bằng \(\widehat B\)) Suy ra: ∆ADM = ∆NKC (c.g.c) =>DM = KC (hai cạnh tương ứng) Mà BC = BK + KC. Suy ra: BC = EN + DM Câu 66 trang 146 Sách Bài Tập (SBT) Toán lớp 7 tập 1. Cho tam giác ABC có \(\widehat A = 60^\circ \). Các tia phân giác của các góc B, C cắt nhau ở I và cắt AC, AB theo thứ tự ở D, E. Chứng minh rằng ID = IE. Hướng dẫn: Kẻ tia phân giác góc BIC Giải Trong ∆ABC, ta có: \(\widehat A + \widehat B + \widehat C = 180^\circ \) (tổng 3 góc trong tam giác) \( \Rightarrow \widehat B + \widehat C = 180^\circ - \widehat A\) \( = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ \) \(\eqalign{ & \widehat {{B_1}} = \widehat {{B_2}} = {1 \over 2}\widehat B\left( {gt} \right) \cr & \widehat {{C_1}} = \widehat {{C_2}} = {1 \over 2}\widehat C\left( {gt} \right) \cr} \) Trong ∆BIC, ta có: \(\widehat {BIC} = 180^\circ - \left( {\widehat {{B_1}} + \widehat {{C_1}}} \right) = 180^\circ - \left( {{{\widehat B} \over 2} + {{\widehat C} \over 2}} \right) = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ \) Kẻ tia phân giác \(\widehat {BIC}\) cắt cạnh BC tại K Suy ra: \(\widehat {{I_2}} = \widehat {{I_3}} = {1 \over 2}\widehat {BIC} = 60^\circ \) Ta có: \(\widehat {{I_1}} + \widehat {BIC} = 180^\circ \) (hai góc kề bù) \( \Rightarrow \widehat {{I_1}} = 180^\circ - \widehat {BIC} = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ \) \(\widehat {{I_4}} = \widehat {{I_1}} = 60^\circ \) (vì hai góc đối đỉnh) Xét ∆BIE và ∆BIK, ta có: \(\widehat {{B_1}} = \widehat {{B_2}}\left( {gt} \right)\) BI cạnh chung \(\widehat {{I_1}} = \widehat {{I_2}} = 60^\circ \) Suy ra: ∆BIE = ∆BIK (g.c.g) => IE = IK (hai cạnh tương ứng) (1) Xét ∆CIK và ∆CID, ta có: \(\widehat {{C_1}} = \widehat {{C_2}}\) (gt) CI cạnh chung \(\widehat {{I_3}} = \widehat {{I_4}} = 60^\circ \) Suy ra: ∆CIK = ∆CID(g.c.g) => IK = ID (hai cạnh tương ứng) (2) Từ (1) và (2) suy ra: IE = ID.
