Câu 103 trang 152 Sách Bài Tập (SBT) Toán lớp 7 tập 1. Cho đoạn thẳng AB. Vẽ các cung tâm A và B có cùng bán kính sao cho chúng cắt nhau tại C và D. Chứng minh rằng CD là đường trung trực của AB. Giải Gọi H là giao điểm của AB và CD Nối AC, AD, BC, BD Xét ∆ACD và ∆BCD, ta có: AC = BC (bán kính hai cung tròn bằng nhau) AD = BD (bán kính hai cung tròn bằng nhau) CD cạnh chung Suy ra ∆ACD = ∆BCD (c.c.c) Suy ra: \(\widehat {{C_1}} = \widehat {{C_2}}\) (hai góc tương ứng) Xét hai tam giác AHC và BHC, ta có: AC = BC (bán kính hai cung tròn bằng nhau) \(\widehat {{C_1}} = \widehat {{C_2}}\) (chứng minh trên) CH cạnh chung Suy ra: ∆AHC = ∆BHC (c.g.c) Suy ra: AH = BH (hai cạnh tương ứng) (1) Ta có: \(\widehat {{H_1}} = \widehat {{H_2}}\) (hai cạnh tương ứng) \(\widehat {{H_1}} + \widehat {{H_2}} = 180^\circ \) (hai góc kề bù) Suy ra: \(\widehat {{H_1}} = \widehat {{H_2}} = 90^\circ \Rightarrow C{\rm{D}} \bot AB\) (2) Từ (1) và (2) suy ra CD là đường trung trực của AB. Câu 104 trang 152 Sách Bài Tập (SBT) Toán lớp 7 tập 1. Cho tam giác ADE cân tại A. Trên cạnh DE lấy các điểm B và C sao cho \({\rm{D}}B = EC = {1 \over 2}DE\) a) Tam giác ABC là tam giác gì? Chứng minh điều đó? b) Kẻ \(BM \bot A{\rm{D}}\) kẻ \(C{\rm{N}} \bot {\rm{AE}}\). Chứng minh rằng BM = CN. c) Gọi I là giao điểm MB và NC. Tam giác IBC là tam giác gì? Chứng minh điều đó. d) Chứng minh rằng AI là tia phân giác của góc BAC. Giải Xét ∆ADE cân tại A nên \(\widehat D = \widehat E\) Xét ∆ABD và ∆ACE, ta có: AD = AE (gt) \(\widehat D = \widehat E\) (chứng minh trên) DB = EC (gt) Suy ra: ∆ABD = ∆ACE (c.g.c) Suy ra: AB = AC (hai cạnh tương ứng) Vậy ∆ABC cân tại A. b) Xét hai tam giác vuông BMD và CNE, ta có: \(\widehat {BM{\rm{D}}} = \widehat {CNE} = 90^\circ \) BD = CE (gt) \(\widehat D = \widehat E\) (chứng minh trên) Suy ra: ∆BMD = ∆CNE (cạnh huyền, góc nhọn) Suy ra: BM = CN (hai cạnh tương ứng) c) Ta có: ∆BMD = ∆CNE (chứng minh trên) Suy ra: \(\widehat {DBM} = \widehat {ECN}\) (hai góc tương ứng) \(\widehat {DBM} = \widehat {IBC}\) (đối đỉnh) \(\widehat {ECN} = \widehat {ICB}\) (đối đỉnh) Suy ra: \(\widehat {IBC} = \widehat {ICB}\) hay ∆IBC cân tại I. d) Xét ∆ABI và ∆ACI, ta có: AB = AC (chứng minh trên) IB = IC (vì ∆IBC cận tại I) AI cạnh chung Suy ra: ∆ABI = ∆ACI (c.c.c) \( \Rightarrow \widehat {BAI} = \widehat {CAI}\) (hai góc tương ứng) Vậy AI là tia phân giác của \(\widehat {BAC}\) Câu 105 trang 153 Sách Bài Tập (SBT) Toán lớp 7 tập 1. Cho hình dưới trong đó \({\rm{AE}} \bot BC\) Tính AB biết AE = 4m, AC = 5m, BC = 9m. Giải Áp dụng định lý Pytago vào tam giác vuông AEC, ta có: \(A{C^2} = A{{\rm{E}}^2} + E{{\rm{C}}^2}\) \(\eqalign{ & \Rightarrow E{C^2} = A{C^2} - A{{\rm{E}}^2} = {5^2} - {4^2} = 25 - 16 = 9 \cr & \Rightarrow EC = 3\left( m \right) \cr} \) Ta có: BC = BE + EC BE = BC – EC = 9 – 3 = 6(m) Áp dụng Pytago vào tam giác vuông AEB, ta có: \(A{B^2} = A{{\rm{E}}^2} + E{B^2} = {4^2} + {6^2} = 16 + 36 = 52\) Suy ra: \({\rm{A}}B = \sqrt {52} \left( m \right) \approx 7,2\left( m \right)\) Câu 106 trang 153 Sách Bài Tập (SBT) Toán lớp 7 tập 1. Tìm các tam giác bằng nhau trên hình bên. Giải Ta có: ∆ACB = ∆ ECD(c.g.c) ∆ACD = ∆ECB(c.g.c) ∆ABD = ∆EDB(c.g.c) ∆ABE = ∆EDA(c.g.c) Câu 107 trang 153 Sách Bài Tập (SBT) Toán lớp 7 tập 1. Tìm các tam giác cân trên hình dưới. Giải Ta có: AB = AC (gt) nên ∆ABC cân tại A. \(\Rightarrow \widehat {ABC} = \widehat {ACB} = {{180^\circ - \widehat {BAC}} \over 2} = {{180^\circ - 36^\circ } \over 2} = 72^\circ \) \(\widehat {BA{\rm{E}}} = \widehat {BAC} + \widehat {CA{\rm{E}}} = 36^\circ + 36^\circ = 72^\circ \) \(\Rightarrow \widehat {BA{\rm{E}}} = \widehat {ABE}\) => ∆ABE cân tại E \(\widehat E = 180^\circ - 2\widehat {ABE} = 180^\circ - 2.72^\circ = 36^\circ \) \(\widehat {CA{\rm{E}}} = \widehat E\) nên ∆ACE cân tại C. Trong ∆DAC, ta có: \(\widehat {DAC} = 180^\circ - \left( {\widehat D + \widehat {AC{\rm{D}}}} \right) = 180^\circ - \left( {36^\circ + 72^\circ } \right) = 72^\circ \) Vì \(\widehat {DAC} = \widehat {AC{\rm{D}}}\) nên ∆DAC cân tại D \(\eqalign{ & \widehat {DAC} = \widehat {DAB} + \widehat {BAC} \cr & \Rightarrow \widehat {DAB} = \widehat {DAC} - \widehat {BAC} = 72^\circ - 36^\circ = 36^\circ \cr} \) \( \Rightarrow \widehat {DAB} = \widehat D\) nên ∆ABD cân tại B \(\widehat {A{\rm{D}}E} = \widehat {A{\rm{ED}}} = 36^\circ \) nên ∆ADE cân tại A Vậy có 6 tam giác cân trong hình trên. Câu 108 trang 153 Sách Bài Tập (SBT) Toán lớp 7 tập 1. Bạn Mai vẽ tia phân giác của một góc như sau: Đánh dấu trên hai cạnh của bốn góc bốn đoạn thẳng bằng nhau: OA = AB = OC = CD (hình dưới). Kẻ các đoạn thẳng AD, BC, chúng cắt nhau ở K. Hãy giải thích vì sao OK là tia phân giác của góc O. Hướng dẫn: Chứng minh rằng: a) ∆OAD = ∆OCB b) ∆KAB = ∆KCD Giải a) Xét ∆OAD và ∆OCB, ta có: OA = OC (gt) \(\widehat O\) chung OD = OB (gt) Suy ra: ∆OAD = ∆OCB (c.g.c) b) Ta có: ∆OAD = ∆OCB Suy ra: \(\widehat D = \widehat B\) (hai góc tương ứng) \(\widehat {{C_1}} = \widehat {{A_1}}\) (hai góc tương ứng) Lại có: \(\widehat {{C_1}} + \widehat {{C_2}} = 180^\circ \) (kề bù) \(\widehat {{A_1}} + \widehat {{A_2}} = 180^\circ \) (kề bù) Suy ra: \(\widehat {{C_2}} = \widehat {{A_2}}\) Xét ∆KCD và ∆KAB, ta có: \(\widehat D = \widehat B\) (chứng minh trên) CD = AB (gt) \(\widehat {{C_2}} = \widehat {{A_2}}\) (chứng minh trên) Suy ra: ∆KCD = ∆KAB (g.c.g) => KC = KA (hai cạnh tương ứng) Xét ∆OCK = ∆OAK, ta có: OC = OA (gt) OK cạnh chung KC = KA (chứng minh trên) Suy ra: ∆OCK = ∆OAK (c.c.c) => \(\widehat {{O_1}} = \widehat {{O_2}}\) (hai góc tương ứng) Vậy OK là tia phân giác của góc O Câu 109 trang 153 Sách Bài Tập (SBT) Toán lớp 7 tập 1. Cho tam giác ABC cân tại A, kẻ \(BH \bot AC\). Gọi D là một điểm thuộc cạnh đáy BC. Kẻ \({\rm{D}}E \bot AC,DF \bot AB\). Chứng minh rằng DE + DF = BH. Giải Kẻ \({\rm{DK}} \bot {\rm{BH}}\) Ta có: \(BH \bot AC\left( {gt} \right)\) Suy ra: DK // AC (hai đường thẳng cùng vuông góc với đường thẳng thứ ba thì vuông góc với nhau) \( \Rightarrow \widehat {K{\rm{D}}B} = \widehat C\) (hai góc đồng vị) Vì ∆ABC cân tại A nên \(\widehat B = \widehat C\) (tính chất tam giác cân) Suy ra: \(\widehat {K{\rm{D}}B} = \widehat B\) Xét hai tam giác vuông BFD và DKB, ta có: \(\widehat {BF{\rm{D}}} = \widehat {DKB} = 90^\circ \) BD cạnh huyền chung \(\widehat {FB{\rm{D}}} = \widehat {K{\rm{D}}B}\) (chứng minh trên) Suy ra: ∆BFD = ∆DKB (cạnh huyền, góc nhọn) \( \Rightarrow \) DF = BK (hai cạnh tương ứng) (1) Nối DH. Xét ∆DEH = ∆DKH, ta có: \(\widehat {DEH} = \widehat {DKH} = 90^\circ \) DH cạnh huyền chung \(\widehat {EH{\rm{D}}} = \widehat {K{\rm{D}}H}\) (hai góc so le trong) Suy ra: ∆DEH = ∆DKH (cạnh huyền, góc nhọn) Suy ra: DE = HK (hai cạnh tương ứng) (2) Mặt khác: BH = BK + HK (3) Từ (1), (2) và (3) suy ra: DF + DE = BH Câu 110 trang 153 Sách Bài Tập (SBT) Toán lớp 7 tập 1. Cho tam giác ABC vuông tại A có \({{AB} \over {AC}} = {3 \over 4}\) và BC=15cm. Tính các độ dài AB, AC. Giải Theo đề bài, ta có: \({{AB} \over {AC}} = {3 \over 4} \Rightarrow {{AB} \over 3} = {{AC} \over 4} \Rightarrow {{A{B^2}} \over 9} = {{A{C^2}} \over {16}}\) Theo tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có: \({{A{B^2}} \over 9} = {{A{C^2}} \over {16}} = {{A{B^2} + A{C^2}} \over {9 + 16}}\left( 1 \right)\) Tam giác ABC vuông tại A Áp dụng Pytago vào tam giác ABC, ta có: \(B{C^2} = A{B^2} + A{C^2}\left( 2 \right)\) Từ (1) và (2) suy ra: \({{A{B^2}} \over 9} = {{A{C^2}} \over {16}} = {{B{C^2}} \over {25}} = {{{{15}^2}} \over {25}} = {{225} \over {25}} = 9\) \({\rm{A}}{B^2} = 9.9 = 81 \Rightarrow AB = 9\left( {cm} \right)\) (vì AB > 0) \(A{C^2} = 16.9 = 144 \Rightarrow AC = 12\left( {cm} \right)\) (vì AC > 0)
