Câu 31 trang 42 Sách Bài Tập (SBT) Toán lớp 7 tập 2. Cho hình bên. Điền vào chỗ trống: GK = ….CK; AG = … GM; GK = … CG; AM = ….AG; AM = … GM. Giải \(GK = {1 \over 3}CK;AG = 2GM\) \(GK = {1 \over 2}CG;AM = {3 \over 2}AG\) AM = 3GM Câu 32 trang 42 Sách Bài Tập (SBT) Toán lớp 7 tập 2. Chứng minh rằng nếu một tam giác có hai đường trung tuyến bằng nhau thì tam giác đó là tam giác cân. Giải Giả sử ∆ABC có hai đường trung tuyến BD, CE và BD = CE. Gọi G là giao điểm BD và CE. \(BG = {2 \over 3}B{\rm{D}}\) (tính chất đường trung tuyến) \(CG = {2 \over 3}CE\) (tính chất đường trung tuyến) Suy ra: BG = CG BD = CE \( \Rightarrow \) BG + GD = CG + GE Xét ∆BGE và ∆CGD: BG = CG (chứng minh trên) \(\widehat {BGE} = \widehat {CG{\rm{D}}}\) (đối đỉnh) GE = GD (chứng minh trên) Do đó: ∆BGE = ∆CGD (c.g.c) \( \Rightarrow \) BE = CD (1) \(BE = {1 \over 2}AB\) (Vì E là trung điểm AB) (2) \(C{\rm{D = }}{1 \over 2}AC\) (Vì D là trung điểm AC) (3) Từ (1), (2) và (3) suy ra: AB = CD.Vậy ∆ABC cân tại A. Câu 33 trang 42 Sách Bài Tập (SBT) Toán lớp 7 tập 2. Tam giác ABC cân tại A có AB = AC = 34cm, BC = 32cm. Kẻ đường trung tuyến AM. a) Chứng minh rằng \(AM \bot BC\) b) Tính độ dài AM. Giải a) Xét ∆AMB và ∆AMC: AM = AC (gt) BM = CM (gt) AM cạnh chung Do đó: ∆AMB = ∆AMC (c.c.c) \( \Rightarrow \widehat {AMB} = \widehat {AMC}\) (1) Ta có: \(\widehat {AMB} + \widehat {AMC} = 180^\circ \) (hai góc kề bù) (2) Từ (1) và (2) suy ra: \(\widehat {AMB} = \widehat {AMC} = 90^\circ \) Vậy: \(AM \bot BC\) b) Xét tam giác vuông AMB ta có: \(\widehat {AMB} = 90^\circ \) Theo định lý Pitago ta có: $$\eqalign{ & \,\,\,\,A{B^2} = A{M^2} + B{M^2} \cr & \Rightarrow A{M^2} = A{B^2} - B{M^2} = {34^2} - {16^2} \cr & \,\,\,\,\,A{M^2} = 1156 - 256 = 900 \cr & \Rightarrow AM = 30\left( {cm} \right) \cr} $$ Câu 34 trang 42 Sách Bài Tập (SBT) Toán lớp 7 tập 2. Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC. Vẽ điểm D sao cho G là trung điểm của AD. Chứng minh rằng: a) Các cạnh của tam giác BGD bằng \({2 \over 3}\) các đường trung tuyến của tam giác ABC b) Các đường trung tuyến của tam giác BGD bằng một nửa các cạnh của tam giác ABC. Giải a) Gọi AM, BN, CP là các đường trung tuyến của ∆ABC cắt nhau tại G. AG = GD (gt) AG = 2GM (suy ra từ tính chất đường trung tuyến) Nên GD = 2GM GD = GM + MD Suy ra: GM = MD Xét ∆BMD và ∆CMG: BM = CM (gt) \(\widehat {BM{\rm{D}}} = \widehat {CMG}\) (đối đỉnh) MD = GM (chứng minh trên) Do đó: ∆BMD = ∆CMG (c.g.c) \( \Rightarrow \) BD = CG \(CG = {2 \over 3}CP\) (tính chất đường trung tuyến) Suy ra: \(B{\rm{D = }}{2 \over 3}CP\) (1) \(BG = {2 \over 3}BN\) (tính chất đường trung tuyến) (2) \({\rm{A}}G = {2 \over 3}AM\) (tính chất đường trung tuyến) Suy ra: \(G{\rm{D}} = {2 \over 3}AM\) (3) Từ (1), (2) và (3) suy ra các cạnh của ∆BGD bằng \({2 \over 3}\) các đường trung tuyến của ∆ABC. b) GM = MD (chứng minh trên) nên BM = MD là đường trung tuyến của ∆BGD \(BM = {1 \over 2}BC\) (4) Kẻ đường trung tuyến GE và DF của ∆BGD \( \Rightarrow FG = {1 \over 2}BG\) \(GN = {1 \over 2}BG\) (tính chất đường trung tuyến) Nên FN = GN Xét ∆DFG và ∆ANG: AG = GD (gt) \(\widehat {DGF} = \widehat {AGN}\) (đối đỉnh) GF = GN (chứng minh trên) Do đó ∆DFG = ∆ANG (c.g.c) \( \Rightarrow \) DF = AN \(AN = {1 \over 2}AC\) (gt) Suy ra: \({\rm{D}}F = {1 \over 2}AC\) (5) BD = CG (chứng minh trên) \({\rm{ED}} = {1 \over 2}B{\rm{D}}\) (Vì E là trung điểm BD) \(GP = {1 \over 2}CG\) (tính chất đường trung tuyến) Suy ra: ED = GP ∆BDM = ∆CGM (chứng minh trên) \( \Rightarrow \widehat {B{\rm{D}}M} = \widehat {CGM}\) hay \(\widehat {E{\rm{D}}G} = \widehat {CGM}\) \(\widehat {CGM} = \widehat {PGA}\) (đối đỉnh) Suy ra: \(\widehat {{\rm{ED}}G} = \widehat {PGA}\) AG = GD (gt) Suy ra: ∆PGA = ∆EDG (c.g.c)=> GE = AP mà Suy ra: \(GE = {1 \over 2}AB\) (6) Từ (4),(5) và (6) suy ra các đường trung tuyến của ∆BGD bằng một nửa cạnh của ∆ABC. Câu 35 trang 42 Sách Bài Tập (SBT) Toán lớp 7 tập 2. Tam giác ABC có BC = 10cm, các đường trung tuyến BD và CE. Chứng minh rằng BD + CE < 15cm. Giải Gọi G là giao điểm của 2 đường trung tuyến BD và CE. Trong ∆GBC ta có: GB + GC > BC (bất đẳng thức tam giác) \(GB = {2 \over 3}B{\rm{D}}\) (tính chất đường trung tuyến) \(GC = {2 \over 3}CE\) (tính chất đường trung tuyến) BC = 10cm (gt) Suy ra: \({2 \over 3}\left( {B{\rm{D}} + CE} \right) > 10 \) \(\Rightarrow B{\rm{D}} + CE > 10:{2 \over 3} = 10.{3 \over 2} = 15\) Vây BD + CE > 15 (cm) Câu 36 trang 43 Sách Bài Tập (SBT) Toán lớp 7 tập 2. Cho tam giác ABC. Trên tia đối của tia BA lấy điểm D sao cho BD = BA. Trên cạnh BC lấy điểm E sao cho \(BE = {1 \over 3}BC\). Gọi K là giao điểm của AE và CD. Chứng minh rằng DK = KC. Giải Trong ∆ACD ta có CB là đường trung tuyến kẻ từ đỉnh C. E ∈ BC và \(BE = {1 \over 3}BC\) (gt) Suy ra: \(CE = {2 \over 3}CB\) nên E là trọng tâm của ∆ACD. Do đó AK là đường trung tuyến của ∆ACD. Xuất phát từ đỉnh A nên K là trung điểm của CD. Vậy KD = KC. Câu 37 trang 43 Sách Bài Tập (SBT) Toán lớp 7 tập 2. Theo kết quả của bài 64 chương II, SBT Toán 7 tập 1 ta có: Đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh của một tam giác thì song song với cạnh thứ ba và bằng nửa cạnh ấy. Vận dụng kết quả trên để giải bài toán sau: Cho tam giác ABC, đường trung tuyến AD. Kẻ đường trung tuyến BE cắt AD ở G. Gọi I, K theo thứ tự là trung điểm của GA, GB. Chứng minh rằng: a) IK // DE, IK = DE b) \({\rm{A}}G = {2 \over 3}A{\rm{D}}\) Giải a) Áp dụng kết quả của bài 64 chương II sách bài tập toán 7 vào ∆ABC vào ∆AGB ta có: DE // AB và \({\rm{D}}E = {1 \over 2}AB\) (1) IK // AB và \(IK = {1 \over 2}AB\) (2) Từ (1) và (2) suy ra: DE // IK và DE // IK b) AD và BE là 2 đường trung tuyến của ∆ABC cắt nhau tại G. \( \Rightarrow AG = {2 \over 3}AD\) (tính chất đường trung tuyến) Câu 38 trang 43 Sách Bài Tập (SBT) Toán lớp 7 tập 2. Cho tam giác ABC vuông tại A, đường trung tuyến AM. Trên tia đối của tia MA lấy điểm M sao cho MD = MA. a) Tính số đo góc ABD. b) Chứng minh:∆ABC = ∆BAD. c) So sánh độ dài AM và BC. Giải a) Xét ∆AMC và ∆BMD: BM = MC (gt) \(\widehat {ABM} = \widehat {BMC}\) (đối đỉnh) AM = MD (gt) Do đó: ∆AMC = ∆DMB (c.g.c) \( \Rightarrow \widehat {MAC} = \widehat D\) (2 góc tương ứng) Suy ra: AC // BD (vì có hai góc ở vị trí so le trong bằng nhau) \(AB \bot AC\left( {gt} \right)\) Suy ra \(AB \bot B{\rm{D}}\). Vậy \(\widehat {AB{\rm{D}}} = 90^\circ \) b) Xét ∆ABC và ∆BAD: AB cạnh chung \(\widehat {BAC} = \widehat {AB{\rm{D}}} = 90^\circ \) AC = BD (Vì ∆AMC = ∆DMB) Do đó: ∆ABC = ∆BAD (c.g.c) c) ∆ABC = ∆BAD => BC = AD (2 cạnh tương ứng) Ta có: \(AM = {1 \over 2}A{\rm{D}}\). Suy ra: \({\rm{A}}M = {1 \over 2}BC\) Câu 39 trang 43 Sách Bài Tập (SBT) Toán lớp 7 tập 2. Tam giác ABC có đường trung tuyến AM bằng nửa cạnh BC. Chứng minh rằng \(\widehat {BAC} = 90^\circ \). Giải Ta có AM là đường trung tuyến của ∆ABC. \( \Rightarrow BM = MC = {1 \over 2}BC\) \(AM = {1 \over 2}BC\left( {gt} \right)\) Suy ra: AM = BM = MC ∆AMB có AM = MB nên ∆AMB cân tại M. \( \Rightarrow \widehat B = \widehat {{A_1}}\) (tính chất tam giác cân) (1) ∆AMC có AM = MC nên ∆AMC cân tại M. \( \Rightarrow \widehat C = \widehat {{A_2}}\) (tính chất tam giác cân) (2) Từ (1) và (2) suy ra: \(\widehat B + \widehat C = \widehat {{A_1}} + \widehat {{A_2}} = \widehat {BAC}\) (3) Trong ∆ABC ta có: \(\widehat B + \widehat C + \widehat {BAC} = 180^\circ \) (tổng ba góc trong tam giác) (4) Từ (3) và (4) suy ra: \(\widehat {BAC} + \widehat {BAC} = 180^\circ \) \( \Rightarrow 2\widehat {BAC} = 180^\circ \Rightarrow \widehat {BAC} = 90^\circ \) Vậy ∆ABC vuông tại A. Câu 4.1 trang 43 Sách Bài Tập (SBT) Toán lớp 7 tập 2 Cho tam giác ABC. Trên đường trung tuyến AM của tam giác đó, lấy hai điểm D, E sao cho AD = DE = EM. Gọi O là trung điểm của đoạn thẳng DE. Khi đó trọng tâm của tma giác ABC là: (A) Điểm D (B) Điểm E (C) Điểm O (D) Cả (A), (B), (C) đều sai Giải Do khoảng cách từ trọng tâm tới một đỉnh của tam giác bằng \({2 \over 3}\) độ dài đường trung tuyến đi qua đỉnh đó nên E là trọng tâm của tam giác ABC. Chọn (B) Điểm E. Câu 4.2 trang 43 Sách Bài Tập (SBT) Toán lớp 7 tập 2 Cho tam giác ABC, trên đường trung tuyến AD. Gọi G là điểm nằm giữa A và D sao cho \({{AG} \over {A{\rm{D}}}} = {2 \over 3}\). Tia BG cắt AC, tia CG cắt AB tại F. Khẳng định nào sau đây sai? \(\left( A \right){{BG} \over {EG}} = 2\) \(\left( B \right){{FG} \over {CG}} = {2 \over 3}\) (C) E là trung điểm của cạnh AC (D) F là trung điểm của cạnh AB Giải Do ba đường trung tuyến của một tam giác quy đồng tại trọng tâm của tam giác và trọng tâm cách mỗi đỉnh một khoảng bằng \({2 \over 3}\) độ dài đường trung tuyến đi qua đỉnh đó nên (B) sai (vì \({{FG} \over {CG}} = {1 \over 2}\)). Chọn \(\left( B \right){{FG} \over {CG}} = {2 \over 3}\) Câu 4.3 trang 44 Sách Bài Tập (SBT) Toán lớp 7 tập 2 Hai đoạn thẳng AB và CD cắt nhau tại trung điểm của mỗi đoạn. Gọi E và F theo thứ tự là trung điểm của các đoạn thẳng AD và BC. Các đoạn thẳng CE và CF lần lượt cắt đoạn thẳng AB tại I, J. Chứng minh rằng: AI = IJ = JB Giải Gọi O là giao điểm của gai đoạn thẳng AB và CD. Xét hai tam giác ACD và BCD. Từ giả thiết suy ra I, J lần lượt là trọng tâm của tam giác ACD và tam giác BCD. Do đó: \(OI = {1 \over 3}AO,AI = {2 \over 3}AO,{\rm{OJ}} = {1 \over 3}BO,BJ = {2 \over 3}BO\) Theo giả thiết AO = BO nên $${\rm{IJ}} = OI + {\rm{OJ = }}{1 \over 2}{\rm{AO = AI = BJ}}$$ Câu 4.4 trang 44 Sách Bài Tập (SBT) Toán lớp 7 tập 2 Trong tam giác ABC, hai đường trung tuyến \({\rm{A}}{{\rm{A}}_1}\) và \(B{B_1}\) cắt nhau tại điểm O. Hãy tính diện tích tam giác ABC nếu diện tích tam giác ABO bằng \(5c{m^2}\). Giải Ta có: \({S_{AOB}} = {2 \over 3}{S_{{\rm{A}}{{\rm{A}}_1}B}}\) (Vì \({\rm{A}}O = {2 \over 3}{\rm{A}}{{\rm{A}}_1}\)); \({{\rm{S}}_{AB{A_1}}} = {1 \over 2}{S_{ABC}}\) (Vì \(B{A_1} = {1 \over 2}BC\)) ; Từ đó suy ra \({{\rm{S}}_{ABC}} = 2{{\rm{S}}_{AB{A_1}}} = 3{{\rm{S}}_{AOB}}\) Nếu \({{\rm{S}}_{AOB}} = 5c{m^2}\) thì \({S_{ABC}} = 3.5 = 15\left( {c{m^2}} \right)\) Câu 4.5 trang 44 Sách Bài Tập (SBT) Toán lớp 7 tập 2 Chứng minh rằng các trung tuyến của một tam giác phân chia tam giác đó thành 6 tam giác mà diện tích của chúng (đôi một) bằng nhau. Giải Xét sáu tam giác được đánh số là: 1, 2, 3, 4, 5, 6 Chứng minh hoàn toàn tương tự như bài 4.4 ta có \({S_{GAB}} = {S_{GBC}} = {S_{GCA}} = {1 \over 3}{S_{ABC}}\) Ta lại có \({{\rm{S}}_1} = {S_2},{S_3} = {S_4},{S_5} = {S_6}\) (vì mỗi cặp tam giác có chung đường cao và hai đáy bằng nhau, vậy sáu tam giác 1, 2, 3, 4, 5, 6 có diện tích bằng nhau) Câu 4.6 trang 44 Sách Bài Tập (SBT) Toán lớp 7 tập 2 Cho tam giác ABC với đường trung tuyến AD. Trên tia AD lấy điểm E sao cho AD = DE, trên tia BC lấy điểm M sao cho BC = CM. a) Tìm trọng tâm của tam giác AEM. b) So sánh các cạnh của tam giác ABC với các đường trung tuyến của tam giác AEM c) So sánh các đường trung tuyến của tam giác ABC với các cạnh của tam giác AEM. Giải a) Do AD = DE nên MD là một đường trung tuyến của tam giác AEM. Hơn nữa do $$C{\rm{D}} = {1 \over 2}CB = {1 \over 2}CM$$ Nên C là trọng tâm của tam giá AEM. b) Các đường thẳng AC, EC lần lượt cắt EM, AM tại F, I. Tam giác AEM có các đường trung tuyến là AF, EI, MD. Ta có ∆ADB = ∆EDG (c.g.c) nên AB = EC Vậy: \(AC = {2 \over 3}{\rm{AF;BC = CM = }}{2 \over 3}{\rm{MD}};AB = EC = {2 \over 3}EI\) c) Trước tiên, theo giả thiết, ta có AD = DE nên \(A{\rm{D}} = {1 \over 2}A{\rm{E}}\) Gọi BP, CQ là các trung tuyến của ∆ABC. ∆BCP = ∆MCF => \(BP = FM = {1 \over 2}EM\). Ta sẽ chứng minh \(CQ = {1 \over 2}AM\) Ta có: \(\eqalign{ & \Delta AB{\rm{D}} = \Delta EC{\rm{D}} \Rightarrow \widehat {BA{\rm{D}}} = \widehat {CED} \cr & \Rightarrow AB//EC \Rightarrow \widehat {QAC} = \widehat {IC{\rm{A}}} \cr} \) Hai tam giác ACQ và CAI có cạnh AC chung, \(\widehat {QAC} = \widehat {IC{\rm{A}}}\); \(AQ = {1 \over 2}AB = {1 \over 2}EC = IC\) nên chúng bằng nhau. Vậy \(CQ = AI = {1 \over 2}AM\). Tóm lại: \(A{\rm{D}} = {1 \over 2}A{\rm{E,BP = }}{1 \over 2}{\rm{EM,CQ = }}{1 \over 2}{\rm{AM}}\)
