Câu 54 trang 47 Sách Bài Tập (SBT) Toán lớp 7 tập 2. Cho ba tam giác cân ABC, DBC, EBC chung đáy BC. Chứng minh rằng ba điểm A, D, E thẳng hàng. Giải ∆ABC cân tại A => AB = AC Nên A thuộc đường trung trực của BC (1) ∆DBC cân tại D => DB = DC Nên D thuộc đường trung trực của BC (2) ∆EBC cân tại E => EB = EC Nên E thuộc đường trung trực của BC (3) Từ (1), (2) và (3) suy ra: A, D, E thẳng hàng. Câu 55 trang 47 Sách Bài Tập (SBT) Toán lớp 7 tập 2. Cho hai điểm D, E nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng BC. Chứng minh rằng ∆BDE = ∆CDE. Giải D thuộc đường trung trực của BC \( \Rightarrow \) DB = DC (tính chất đường trung trực) E thuộc đường trung trực của BC \( \Rightarrow \) EB = EC (tính chất đường trung trực) Xét ∆BDE = ∆CDE: DB = DC (Chứng minh trên) DE cạnh chung EB = EC (chứng minh trên) Do đó: ∆BDE = ∆CDE (c.c.c) Câu 56 trang 47 Sách Bài Tập (SBT) Toán lớp 7 tập 2. Cho đường thẳng d và hai điểm A, B thuộc cùng một nửa mặt phẳng có bờ d. Tìm một điểm C nằm trên d sao cho C cách đều A và B. Giải a) Nếu AB không vuông góc với d. - Điểm C cách đều hai điểm A và B nên điểm C nằm trên đường trung trực của AB - Điểm C ∈ d. Vậy C là giao điểm của đường trung trực của AB và đường thẳng d. Vậy dừng đường thẳng m là đường trung trực của đoạn thẳng AB cắt đường thẳng d tại C. Điểm C là điểm cần tìm. b) Nếu \(AB \bot d\) thì đường trung trực của AB song song với đường thẳng d nên không tồn tại điểm C. Câu 57 trang 47 Sách Bài Tập (SBT) Toán lớp 7 tập 2. Đường trung trực d của đoạn thẳng AB chia mặt phẳng thành hai phần I và II như hình sau. Cho điểm M thuộc phần I và điểm N thuộc phần II. Chứng minh rằng: a) MA < MB b) NA > NB Giải a) Nối MA, MB. Gọi C là giao điểm của MB với đường thẳng d, nối CA. Ta có: MB = MC + CB Mà CA = CB (tính chất đường trung trực) Suy ra: MB = MC + CA (1) Trong ∆ MAC ta có: MA < MC + CA (bất đẳng thức tam giác) (2) Từ (1) và (2) suy ra: MA < MB b) Nối NA, NB. Gọi D là giao điểm của NA với đường thẳng d, nối DB. Ta có: NA = ND + DB Mà: DA = DB (tính chất đường trung trực) Suy ra: NA = ND + DB (3) Trong ∆NDB ta có: NB < ND + DB (bất đẳng thức tam giác) (4) Từ (3) và (4) suy ra: NA > NB Câu 58 trang 48 Sách Bài Tập (SBT) Toán lớp 7 tập 2. Cho hình 11. Chứng minh rằng AB vuông góc với CD. Giải AC = AD (gt) Suy ra: A thuộc đường trung trực của CD Mà # B nên AB là đường trung trực của CD. Vậy \(AB \bot C{\rm{D}}\) Câu 59 trang 48 Sách Bài Tập (SBT) Toán lớp 7 tập 2. Cho hai điểm A, B và một đường thẳng d. Vẽ đường tròn tâm O đi qua hai điểm A, B sao cho O nằm trên đường thẳng d. Giải Đường tròn tâm O đi qua hai điểm A và B. Ta có: OA = OB nên O thuộc đường trung trực của đoạn AB. - Tâm O nằm trên đường thẳng d. Vậy tâm O là giao điểm của đường trung trực của AB và đường thẳng d. - Dựng đường thẳng m là đường trung trực của AB cắt d tại O. - Vẽ đường tròn tâm O bán kính OA (hoặc OB). (Chú ý nếu m // d thì không dựng được tâm O, nếu m trung với d thì có vô số điểm chung O do đó có vô số đường tròn thỏa mãn). Câu 60 trang 48 Sách Bài Tập (SBT) Toán lớp 7 tập 2. Cho đoạn thẳng AB. Tìm tập hợp các điểm C sao cho tam giác ABC là tam giác cân có đáy là AB. Giải ∆CAB cân tại C => CA = CB nên C thuộc đường trung trực của AB. Điểm C thay đổi ∆CAB luôn cân tại C. Vậy C thuộc trên đường thẳng d là trung trực của AB. Ngược lại: Trên đường thẳng d lấy điểm C bất kỳ nối CA, CB (C khác trung điểm M của AB) Ta có: CA = CB (tính chất đường trung trực) Suy ra: ∆CAB cân tại C Tập hợp các điểm C có tính chất CA = CB và ba điểm A, B, C không thẳng hàng là đường thẳng d trung trực của AB (trừ trung điểm M của AB) Câu 61 trang 48 Sách Bài Tập (SBT) Toán lớp 7 tập 2. Cho góc xOy bằng 60°, điểm A nằm trong góc xOy. Vẽ điểm B sao cho Ox là đường trung trực của AB. Vẽ điểm C sao cho Oy là đường trung trực của AC. a) Chứng minh rằng OB = OC b) Tính số đo góc BOC. Giải a) Ox là đường trung trực của AB. ð OB = OA (tính chất đường trung trực) (1) Oy là đường trung trực của AC. ð OA = OC (tính chất đường trung trực) (2) Từ (1) và (2) suy ra: OB = OC. b) ∆OAB cân tại O. Ox là đường trung trực của AB. Nên Ox là đường phân giác của \(\widehat {AOB}\) (tính chất tam giác cân) \( \Rightarrow \widehat {{O_3}} = \widehat {{O_4}}\) ∆OAC cân tại O Oy là đường trung trực của AC. Nên Oy là đường phân giác của \(\widehat {AOC}\) (tính chất tam giác cân) \( \Rightarrow \widehat {{O_1}} = \widehat {{O_2}}\) Suy ra: \(\widehat {{O_1}} + \widehat {{O_3}} = \widehat {{O_2}} + \widehat {{O_4}}\) \(\widehat {BOC} = \widehat {{O_1}} + \widehat {{O_2}} + \widehat {{O_3}} + \widehat {{O_4}} \) \(= 2\left( {\widehat {{O_1}} + \widehat {{O_3}}} \right) \) \(= 2\widehat {xOy} \) \(= 2.60^\circ = 120^\circ \) Câu 62 trang 48 Sách Bài Tập (SBT) Toán lớp 7 tập 2. Cho hình bên, M là một điểm tùy ý nằm trên đường thẳng a. Vẽ điểm C sao cho a là đường trung trực của AC. a) Hãy so sánh MA + MB với BC. b) Tìm vị trí của điểm M trên đường thẳng a để MA + MB là nhỏ nhất. Giải a) Gọi N là giao điểm của BC với đường thẳng a. Nếu M # N Nối MC a là đường trung trực của AC M ∈ a \( \Rightarrow \) MA = MC (tính chất đường trung trực) (1) Trong ∆MBC ta có: BC < MB + MC (bất đẳng thức tam giác) (2) Thay (1) vào (2) ta có: BC < MA + MB Nếu M trùng với N, ta nối NA NA = NC (tính chất đường trung trực) MA + MB = NA + NB = NC + NB = BC Vậy: MA + MB ≥ BC b) Theo chứng minh A ta có: Khi M trùng với N. MA + MB = BC là bé nhất Vậy M là giao điểm của BC với đường thẳng a thì MA + MB bé nhất. Câu 63 trang 48 Sách Bài Tập (SBT) Toán lớp 7 tập 2. Hai nhà máy được xây dựng tại hai điểm A và B nằm về một phía của khúc sông thẳng. Tìm trên bờ sông một địa điểm C để xây một trạm bơm sao cho tổng chiều dài đường ống dẫn nước từ C đến A và đến B là nhỏ nhất. Giải Dựng điểm A' sao cho bờ sông là trung trực của AA' Nối A'B cắt bờ sông tại điểm C. Theo chứng minh của bài 62, điểm C là điểm cần tìm có khoảng cách CA + CB ngắn nhất. Câu 7.1 trang 48Sách Bài Tập (SBT) Toán lớp 7 tập 2 Trên đường trung trực của đoạn thẳng AB, lấy hai điểm phân biệt M, N. Khi đó khẳng định nào sau đây đúng? \(\left( A \right)\widehat {AMN} \ne \widehat {BMN}\) \(\left( B \right)\widehat {MAN} \ne \widehat {MBN}\) \(\left( C \right)\widehat {MNA} \ne \widehat {MNB}\) \(\left( D \right)\Delta AMN = \Delta BMN\) Giải Vì M thuộc đường trung trực của đoạn thẳng AB nên MA = MB. Tương tự, NA = NB. Ta có ∆AMN = ∆BMN (c.c.c) nên các khẳng định (A), (B), (C) sai, (D) đúng. Câu 7.2 trang 49 Sách Bài Tập (SBT) Toán lớp 7 tập 2 Cho hai tam giác cân chung đáy ABC và ABD, trong đó ABC là tam giác đều. Gọi E là trung điểm của AB. Khi đó, khẳng định nào sau đây là sai? (A) Đường thẳng CD là đường trung trực của AB. (B) Điểm E không nằm trên đường thẳng CD. (C) Đường trung trực của AC đi qua B. (D) Đường trung trực của BC đi qua A. Giải Vì M thuộc đường trung trực của đoạn thẳng AB nên MA = MB. Tương tự NA = NB. Ta có ∆AMN = ∆BMN (c.c.c) nên các khẳng định (A), (B), (C) sai và (D) đúng. Đáp số (D) Đường trung trực của BC đi qua A. Câu 7.3 trang 49 Sách Bài Tập (SBT) Toán lớp 7 tập 2 Đường trung trực của cạnh BC trong tam giác ABC cắt cạnh AC tại D. Hãy tìm: a) AD và CD nếu BD = 5cm; AC = 8cm; b) AC nếu BD = 11,4cm; AD = 3,2cm. Giải a) Vì D thuộc đường trung trực của BC nên DB = DC. Mặt khác, D ở giữa A và C nên AD = AC – DC Nếu BD = 5cm; AC = 8cm, thì CD = BD = 5cm và AD = 8 – 5 = 3 (cm). b) AC = AD + DC = AD + BD = 3,2 + 11,4 = 14,6 (cm). Câu 7.4 trang 49 Sách Bài Tập (SBT) Toán lớp 7 tập 2 Trong tam giác ABC, hai đường trung trực của hai cạnh AB và AC cắt nhau tại điểm D nằm trên cạnh BC. Chứng minh rằng: a) D là trung điểm của cạnh BC. b) \(\widehat A = \widehat B + \widehat C\) Giải a) Vì ba đường trung trực của tam giác đồng quy nên D thuộc đường trung trực của cạnh BC. Mặt khác đường trung trực của cạnh BC đi qua trung điểm của BC nên D là trung điểm của cạnh BC. b) Ta có ∆DEB = ∆DEA(c.g.c) nên \(\widehat B = \widehat {{A_1}}\). Tương tự \(\widehat C = \widehat {{A_2}}\). Suy ra \(\widehat A = \widehat {{A_1}} + \widehat {{A_2}} = \widehat B + \widehat C\) Câu 7.5 trang 49 Sách Bài Tập (SBT) Toán lớp 7 tập 2 Chứng minh rằng nếu trong tam giác ABC có hai cạnh AB và AC không bằng nhau thì đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh A không vuông góc với BC. Giải Vì AM là đường trung tuyến của tam giác ABC nên M là trung điểm của cạnh BC. Giả sử \(AM \bot BC\). Khi đó AM là đường trung trực của đoạn thẳng BC. Suy ra A = AC. Điều này mâu thuẫn với giả thiết AB # AC. Vậy trung tuyến AM không vuông góc với BC. Câu 7.6 trang 49 Sách Bài Tập (SBT) Toán lớp 7 tập 2 Cho đường thẳng d và hai điểm A, B nằm về một phía của d sao cho AB không vuông góc với d. Hãy tìm trên d một điểm M sao cho \(\left| {MA - MB} \right|\) có giá trị nhỏ nhất. Giải Ta có \(\left| {MA - MB} \right| \ge 0\) với một điểm M tùy ý và \(\left| {MA - MB} \right| = 0\) chỉ với các điểm M mà MA = MB, tức là chỉ với các điểm M nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng AB. Mặt khác M phải thuộc d. Vậy M là giao điểm của đường thẳng d và đường trung trực của đoạn thẳng AB. Có giao điểm này vì AB không vuông góc với d. Tóm lại: Khi M là giao điểm của d và đường trung trực của đoạn thẳng AB thì \(\left| {MA - MB} \right|\) đạt giá trị nhỏ nhất và bằng 0.
