1. So sánh hai phân số cùng mẫu số Quy tắc: Trong hai phân số có cùng mẫu số: +) Phân số nào có tử số bé hơn thì phân số đó bé hơn. +) Phân số nào có tử số lớn hơn thì phân số đó lớn hơn. +) Nếu tử số bằng nhau thì hai phân số đó bằng nhau. Ví dụ:\(\dfrac{2}{5} < \dfrac{3}{5}; \;\;\;\;\; \dfrac{3}{5} > \dfrac{2}{5}; \;\;\;\;\; \dfrac{2}{5} = \dfrac{3}{5}\) 2. So sánh hai phân số cùng tử số Quy tắc: Trong hai phân số có cùng tử số: +) Phân số nào có mẫu số bé hơn thì phân số đó lớn hơn. +) Phân số nào có mẫu số lớn hơn thì phân số đó bé hơn. +) Nếu mẫu số bằng nhau thì hai phân số đó bằng nhau. Ví dụ: \(\dfrac{1}{2} > \dfrac{1}{4}; \;\;\;\;\; \dfrac{2}{5} < \dfrac{2}{3}; \;\;\;\;\; \dfrac{5}{6} = \dfrac{5}{6}\) Chú ý: Phần so sánh các phân số cùng tử số, học sinh rất hay bị nhầm, các bạn học sinh nên chú ý nhớ và hiểu đúng quy tắc. 3. So sánh các phân số khác mẫu a) Quy đồng mẫu số Quy tắc: Muốn so sánh hai phân số khác mẫu số, ta có thể quy đồng mẫu số hai phân số đó rồi so sánh các tử số của hai phân số mới. Phương pháp giải: Bước 1: Quy đồng mẫu số hai phân số. Bước 2: So sánh hai phân số có cùng mẫu số đó. Bước 3: Rút ra kết luận. Ví dụ: So sánh hai phân số: \(\dfrac{2}{3}\)và \(\dfrac{3}{4}\) Cách giải: Ta có: \(MSC = 12\). Quy đồng mẫu số hai phân số ta có: \(\dfrac{2}{3} = \dfrac{{2 \times 4}}{{3 \times 4}} = \dfrac{8}{{12}};\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\dfrac{3}{4} = \dfrac{{3 \times 3}}{{4 \times 3}} = \dfrac{9}{{12}}\) Ta có: \(\dfrac{8}{{12}} < \dfrac{9}{{12}}\) (vì \(8<9\)) Vậy \(\dfrac{2}{3} < \dfrac{3}{4}.\) b) Quy đồng tử số Điều kiện áp dụng: Khi hai phân số có mẫu số khác nhau nhưng mẫu số rất lớn và tử số nhỏ thì ta nên áp dụng cách quy đồng tử số để việc tính toán trở nên dễ dàng hơn. Quy tắc: Muốn so sánh hai phân số khác tử số, ta có thể quy đồng tử số hai phân số đó rồi so sánh các mẫu số của hai phân số mới. Phương pháp giải: Bước 1: Quy đồng tử số hai phân số. Bước 2: So sánh hai phân số có cùng tử số đó. Bước 3: Rút ra kết luận. Ví dụ: So sánh hai phân số: \(\dfrac{2}{{125}}\)và \(\dfrac{3}{{187}}\) Cách giải: Ta có: \(TSC = 6\). Quy đồng tử số hai phân số ta có: \(\dfrac{2}{{125}} = \dfrac{{2 \times 3}}{{125 \times 3}} = \dfrac{6}{{375}};\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\dfrac{3}{{187}} = \dfrac{{3 \times 2}}{{187 \times 2}} = \dfrac{6}{{374}}\) Ta thấy hai phân số \(\dfrac{6}{{375}}\) và \(\dfrac{6}{{374}}\) đều có tử số là $6$ và \(375 > 374\) nên \(\dfrac{6}{{375}} < \dfrac{6}{{374}}.\) Vậy \(\dfrac{2}{{125}} < \dfrac{3}{{187}}.\) 4. Một số cách so sánh khác Dạng 1: So sánh với \(1\) Điều kiện áp dụng: Phương pháp này áp dụng cho dạng bài so sánh hai phân số, trong đó một phân số bé hơn \(1\) và một phân số lớn hơn \(1\). Ví dụ: So sánh hai phân số \(\dfrac{8}{9}\)và \(\dfrac{7}{5}\). Cách giải: Ta thấy \(\dfrac{8}{9} < 1\) và \(1 < \dfrac{7}{5}\) nên \(\dfrac{8}{9} < \dfrac{7}{5}\). Dạng 2: So sánh với phân số trung gian Điều kiện áp dụng: Phương pháp này áp dụng khi tử số của phân số thứ nhất bé hơn tử số của phân số thứ hai và mẫu số của phân số thứ nhất lại lớn hơn mẫu số của phân số thứ hai hoặc ngược lại. Khi đó ta so sánh với phân số trung gian là phân số có tử số bằng tử số của phân số thứ nhất, có mẫu số bằng mẫu số của phân số thứ hai hoặc ngược lại. Phương pháp giải: Bước 1: Chọn phân số trung gian. Bước 2: So sánh hai phân số ban đầu với phân số trung gian. Bước 3: Rút ra kết luận. Lưu ý: So sánh hai phân số \(\dfrac{a}{b}\) và \(\dfrac{c}{d}\) (\(a, b, c, d\) khác \(0\)). Nếu \(a>c\) và \(b<d \) (hoặc \(a<c\) và \(b>d \) thì ta có thể chọn phân số trung gian là \(\dfrac{a}{d}\) hoặc \(\dfrac{c}{b}\). Ví dụ: So sánh hai phân số \(\dfrac{{27}}{{35}}\) và \(\dfrac{{28}}{{33}}\). Cách giải: Chọn phân số trung gian là \(\dfrac{{27}}{{33}}\). Ta thấy \(\dfrac{{27}}{{35}} < \dfrac{{27}}{{33}}\) và \(\dfrac{{27}}{{33}} < \dfrac{{28}}{{33}}\) nên \(\dfrac{{27}}{{35}} < \dfrac{{28}}{{33}}\). Dạng 3: So sánh bằng phần bù Điều kiện áp dụng: Nhận thấy mẫu số lớn hơn tử số ( phân số bé hơn \(1\)) và hiệu của mẫu số với tử số của tất cả các phân số đều bằng nhau hoặc nhỏ thì ta tìm phần bù với \(1\). Chú ý: Phần bù với \(1\) của phân số là hiệu giữa \(1\) và phân số đó. Quy tắc: Trong hai phân số, phân số nào có phần bù lớn hơn thì phân số đó nhỏ hơn và ngược lại phân số nào có phần bù nhỏ hơn thì phân số đó lớn hơn . Phương pháp giải: Bước 1: Tìm phần bù của hai phân số. Bước 2: So sánh hai phần bù với nhau. Bước 3: Rút ra kết luận. Ví dụ: So sánh hai phân số \(\dfrac{{997}}{{998}}\) và \(\dfrac{{998}}{{999}}\). Cách giải: Phần bù của \(\dfrac{{997}}{{998}}\) là \(1 - \dfrac{{997}}{{998}} = \dfrac{1}{{998}}\) Phần bù của \(\dfrac{{998}}{{999}}\) là \(1 - \dfrac{{998}}{{999}} = \dfrac{1}{{999}}\) So sánh hai phân số \(\dfrac{1}{{998}}\) và \(\dfrac{1}{{999}}\) ta thấy đều có tử số là \(1\) và \(998 < 999\) nên \(\dfrac{1}{{998}} > \dfrac{1}{{999}}\). Do đó \(\dfrac{{997}}{{998}} < \dfrac{{998}}{{999}}\). Dạng 4: So sánh bằng phần hơn Điều kiện áp dụng: Nhận thấy tử số lớn hơn mẫu số ( phân số lớn hơn \(1\)) và hiệu của tử số với mẫu số của tất cả các phân số đều bằng nhau hoặc nhỏ thì ta tìm phần hơn với \(1\). Chú ý: Phần hơn với \(1\) của phân số là hiệu giữa phân số đó và \(1\). Quy tắc: Trong hai phân số, phân số nào có phần hơn lớn hơn thì phân số đó lớn hơn và ngược lại phân số nào có phần hơn nhỏ hơn thì phân số đó nhỏ hơn. Phương pháp giải: Bước 1: Tìm phần hơn của hai phân số. Bước 2: So sánh hai phần hơn với nhau. Bước 3: Rút ra kết luận. Ví dụ: So sánh hai phân số \(\dfrac{{335}}{{333}}\) và \(\dfrac{{279}}{{277}}\). Cách giải: Phần hơn của \(\dfrac{{335}}{{333}}\) là $\dfrac{{335}}{{333}} - 1 = \dfrac{2}{{333}}$ Phần hơn của \(\dfrac{{279}}{{277}}\) là $\dfrac{{279}}{{277}} - 1 = \dfrac{2}{{277}}$ So sánh hai phân số \(\dfrac{2}{{333}}\) và \(\dfrac{2}{{277}}\) ta thấy đều có tử số là \(2\) và \(333 > 277\) nên \(\dfrac{2}{{333}} < \dfrac{2}{{277}}\) . Do đó \(\dfrac{{335}}{{333}} < \dfrac{{279}}{{277}}\).
