Bài 1: Chứng minh rằng với mọi x thuộc $\mathbb{R}$: $$\sum_{k=0}^{n}(\frac{k}{n}-x)^2.C_{n}^k.x^k.(1-x)^{n-k}=\frac{x(1-x)}{n}$$
Bài 2: Chứng minh rằng: $$C_{n}^{0}.C_{n}^{k}+C_{n}^{1}.C_{n}^{k+1}+C_{n}^{2}.C_{n}^{k+2}+...+C_{n}^{n-k}.C_{n}^{n}=\frac{(2n)!}{(n-k)!.(n+k)!))}$$
Bài 4: Với mọi số nguyên $n>2$. Chứng minh rằng: $\sum_{k=0}^{[n/3]}(-1)^{k}C_{n}^{3k}$ chia hết cho $3$ Spoiler: Lời giải Với mọi số nguyên không âm $n$, ta có đẳng thức sau: $C_{n+1}^{j}=C_{n}^{j}+C_{n}^{j-1}\forall 0\le j \le n(1)$.(Bạn đọc tự chứng minh) Và chúng ta định nghĩa rằng: $C_{n}^{j}=0$ với $j<0$ và $j>n(2)$. Ta xét ba tổng sau: $A_n=\sum_{k}(-1)^{k}C_{n}^{3k}$ $B_n=\sum_{k}(-1)^{k}C_{n}^{3k-1}$ $C_{n}=\sum_{k}(-1)^{k}C_{n}^{3k-1}$. Trong đó $k$ được mặc định chạy từ $-\infty\rightarrow +\infty$ (do trong các tổng $A_n,B_n,C_n$ chỉ có hữu hạn các số khác không trải dài từ $0\rightarrow [k/3]$,còn các phần tử lại đều bằng $0$). Và ta sẽ đi chứng minh rằng: $A_n\equiv B_n\equiv C_n\equiv 0(\text{ mod } 3)\forall n\ge 3$. Sử dụng đẳng thức $(1)$, ta có: $A_{n+1}=\sum_{k}(-1)^{k}C_{n+1}^{3k}$. $=\sum_{k}(-1)^{k}C_{n}^{3k}+\sum_{k}(-1)^{k}C_{n}^{3k-1}$. $=A_n+B_n(5)$ $+B_{n+1}=\sum_{k}(-1)^{k}C_{n+1}^{3k-1}$ $=\sum_{k}(-1)^{k}C_{n}^{3k-1}+\sum_{k}(-1)^kC_{n}^{3k-2}(6)$ $=B_n+C_n$. Và $C_{n+1}=\sum_{k}(-1)^{k}C_{n+1}^{3k-2}$. $=\sum_{k}(-1)^{k}C_{n}^{3k-2}+\sum_{k}(-1)^{k}C_{n}^{3k-3}$. $=\sum_{k}(-1)^{k}C_{n}^{3k-2}+\sum_{l}(-1)^{l+1}C_{n}^{3l}$ $=\sum_{k}(-1)^{k}C_n^{3k-2}-\sum_{l}(-1)^{l}C_{n}^{3l}$. $=C_n-A_n$. Và bởi vì $A_3=1-1=0;B_3=-3,C_3=-3$, nên từ đây ta suy ra được:$A_n\equiv B_n\equiv C_n\equiv 0(\text{ mod } 3),\forall n\ge 3$. Và ta có điều phải chứng minh.
