Xác suất có điều kiện và các bài tập áp dụng

  1. Tác giả: LTTK CTV28
    Đánh giá: ✪ ✪ ✪ ✪ ✪

    1) Định nghĩa xác suất có điều kiện
    Như chúng ta đã biết, xác suất của một sự kiện có thể phụ thuộc nhiều yếu tố, điều kiện khác nhau. Để chỉ ra một cách cụ thể hơn về việc xác suất của một sự kiện A nào đó phụ thuộc vào một điều kiện B nào đó, người ta đưa ra khái niệm xác suất có điều kiện. Ta xét ví dụ sau đây:
    Ví dụ 1: Một bình đựng 5 viên bi như nhau, trong đó có 3 viên bi xanh và 2 viên bi trắng. Lấy ngẫu nhiên ra một viên bi ta được viên bi màu xanh, rồi lại lấy ngẫu nhiên ra một viên bi nữa. Tính xác suất để lấy được viên bi trắng ở lần thứ hai.
    Lời giải: Gọi A là biến cố: “Lấy được một viên bi trắng ở lần thứ hai”. Vì một viên bi xanh đã được lấy ra ở lần thứ nhất nên còn lại trong bình 4 viên bi trong đó số viên bi trắng là 2 và số viên bi xanh cũng là 2. Do đó $\mathbb{P}(A)=\frac{2}{4}=0,5$.
    Như vậy khi nghiên cứu các hiện tương ngẫu nhiên, xuất hiện một vấn đề sau: xác suất của một biến cố sẽ thay đổi thế nào khi một biến cố khác đã xảy ra. Ta xét tiếp ví dụ sau đây:
    Ví dụ 2: Gieo một con xúc xắc cân đối và đồng chất hai lần. Gọi A là biến cố: “Lần đầu gieo xuất hiện mặt 1 chấm”, B là biến cố: “Tổng số chấm trong hai lần gieo không vượt quá 3”. Ta thấy
    [​IMG]
    ở đây $(i,j)$ là kết quả: “Lần đầu xuất hiện mặt $i$ chấm, lần sau xuất hiện mặt $j$ chấm”.
    Khi đó
    [​IMG]
    [​IMG]
    [​IMG]
    Theo định nghĩa của xác suất ta có
    [​IMG]
    Nếu biết rằng B đã xảy ra thì A xảy ra khi một trong hai kết quả $(1,1)$
    và $(1,2)$ xảy ra. Do đó xác suất của A với điều kiện B là
    [​IMG]
    Trong một số trường hợp chúng ta cần phải tính xác suất của biến cố A
    khi một biến cố B đã xảy ra với xác suất dương. Ta gọi đó là xác suất có điều kiện của biến cố A khi biến cố B đã xảy ra và ký hiệu là
    [​IMG]
    Giả sử số các kết quả đồng khả năng có thể xảy ra khi thực hiện phép thử đó là N, m
    số kết quả thuận lợi cho biến cố B và $n$ số kết quả thuận lợi cho biến cố AB.
    Khi đó
    [​IMG]
    Khi biến cố B đã xảy ra thì số các kết quả đồng khả năng của phép thử có thể xảy ra đối với biến cố A là m, trong đó có n kết quả thuận lợi cho A xảy ra. Do đó
    [​IMG]
    .
    Như vậy ta có định nghĩa sau:
    Định nghĩa xác suất có điều kiện: Xác suất có điều kiện của biến cố A với điều kiện B là một số được ký hiệu là $\mathbb{P}(A|B)$ xác định theo công thức
    [​IMG]
    Từ định nghĩa trên ta dễ dàng nhận được các tính chất sau của xác suất có điều kiện
    a)
    [​IMG]
    .
    b)
    [​IMG]
    .
    c) Nếu
    [​IMG]
    là các biến cố xung khắc từng đôi một, nghĩa là
    [​IMG]
    với mọi $i\neq j$, ta có
    [​IMG]
    Ví dụ 3: Gieo đồng thời ba con xúc xắc cân đối đồng chất. Tính xác suất để tổng số chấm xuất hiện trên ba con bằng 8 biết rằng ít nhất có một con ra 5 chấm.
    Lời giải:
    Không gian mẫu
    [​IMG]
    ở đây
    [​IMG]
    là kết quả: “Con xúc xắc thứ nhất xuất hiện mặt i chấm, con xúc xắc thứ hai xuất hiện mặt j chấm và con xúc xắc thứ ba xuất hiện mặt k chấm”.
    Gọi
    A là biến cố: “Tổng số chấm xuất hiện trên ba con xúc sắc bằng 8”,
    Blà biến cố: “Ít nhất một con xúc xắc ra 5 chấm”. Ta cần tính $\mathbb{P}(A|B)$.
    .
    Ta có
    [​IMG]
    [​IMG]
    là biến cố: “Ít nhất một con xúc xắc ra 5 chấm” nên
    [​IMG]
    là biến cố: “Không có con xúc xắc nào ra 5 chấm”, do đó
    [​IMG]
    Suy ra
    [​IMG]
    Do đó
    [​IMG]
    Ta thấy AB là biến cố: “Tổng số chấm xuất hiện trên ba con xúc xắc bằng 8 và ít nhất một con xúc xắc ra 5 chấm”, do đó
    [​IMG]
    Suy ra
    [​IMG]
    Vậy
    [​IMG]
    2) Công thức nhân xác suất
    Từ công thức
    [​IMG]
    ta suy ra công thức nhân xác suất
    [​IMG]
    với
    [​IMG]
    ,
    [​IMG]
    .
    Công thức nhân xác suất có ý nghĩa như sau: trong một số trường hợp, ta có thể biết ngay xác suất $\mathbb{P}(B|A)$, từ đó tính được xác suất $\mathbb{P}(AB)$.
    Ví dụ 4: Một bình đựng 5 viên bi như nhau, trong đó có 3 viên bi xanh và 2 viên bi trắng. Lấy ngẫu nhiên ra một viên bi, rồi lại lấy ngẫu nhiên ra một viên bi nữa. Tính xác suất để lấy được một viên bi xanh ở lần thứ nhất và một viên bi trắng ở lần thứ hai.
    Lời giải:
    Gọi
    A là biến cố: “Lấy được một viên bi xanh ở lần thứ nhất”,
    B là biến cố: “Lấy được một viên bi trắng ở lần thứ hai”. Bài toán yêu cầu tính $\mathbb{P}(AB)$.
    Theo công thức nhân xác suất
    [​IMG]
    .
    Vì có 3 viên bi xanh trong tổng số 5 viên bi nên
    [​IMG]
    Nếu A đã xảy ra, tức là một viên bi xanh đã được lấy ra ở lần thứ nhất, thì còn lại trong bình 4 viên bi trong đó số viên bi trắng là 2, do đó
    [​IMG]
    Vậy
    [​IMG]
    Bằng quy nạp, ta có công thức nhân xác suất tổng quát sau:
    Giả sử $n\geq 2$ và
    [​IMG]
    là các biến cố sao cho
    [​IMG]
    . Khi đó ta có
    [​IMG]
    Ví dụ 5: Một thủ kho có một chùm chìa khóa gồm 9 chiếc bề ngoài giống hệt nhau trong đó chỉ có hai chiếc mở được cửa kho. Anh ta thử ngẫu nhiên từng chìa (chìa nào không trúng thì bỏ ra khỏi chùm chìa khóa). Tìm xác suất để lần thử thứ ba thì anh ta mới mở được cửa.
    Lời giải:
    Gọi
    $A_{1}$ là biến cố: “Không mở được cửa ở lần thử thứ 1”,
    $A_{2}$ là biến cố: “Không mở được cửa ở lần thử thứ 2” và
    $A_{3}$ là biến cố: “Mở được cửa ở lần thử thứ 3”. Ta phải tìm $\mathbb{P}(A_{1}A_{2}A_{3})$.
    . Theo công thức nhân xác suất ta có
    [​IMG]
    Ta có
    [​IMG]
    Do đó
    [​IMG]
     
    Chỉnh sửa cuối: 27/5/19